九章録要卷五 (2/2)

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并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二却於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之一率　二十三又三之一〈總衰〉

    二率　七十〈總實　一率除二率得三〉

    按一數遞加一分遞加衰分只三人甲數與乙丙數齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也

    同較衰分又法　前同較衰分八法皆謂每等只一人者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每等一人耳（?艹石）但欲衰分則雖每等之中復有人數多寡不齊非無法以分之　假如銀三百二十四兩甲乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二十一為甲等一人所得數遞減較得各等數〈右一條新增或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等數〉

    母子差分〈此謂商賈以母銀得息非帶分之母子也〉假如三商共得子銀四百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月

    一率　二百〈甲子〉

    二率　三千〈甲母乗月數〉

    三率　一百二十〈乙子〉　八十〈丙子〉

    四率　一千八百〈乙母兼月數〉　一千二百〈丙母兼月數〉各再以母除得月數乙得三丙得一又二之一

    又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問乙月丙母

    一率　六十〈甲子〉

    二率　二千四百〈甲母乗月數〉

    三率　四十八〈乙子〉　三十〈丙子〉

    四率　一千九百二十〈乙母兼月數〉一千二百〈丙母兼月數

    乙再以母除　丙再以月除得得八月　一百二十兩〉

    又如三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千八十兩乙母三百六十兩丙不知母其子銀則丙得二百四十兩問甲乙各子及丙母

    一率　一千四百四十〈甲乙共母〉

    二率　一千二百八十〈總子減丙子得甲乙共子〉

    三率　一千八十〈甲母〉三百六十〈乙母〉

    四率　九百六十〈甲子〉三百二十〈乙子〉

    又

    一率　一千二百八十〈甲乙共子〉

    二率　一千四百四十〈甲乙共母〉

    三率　二百四十〈丙子〉

    四率　二百七十〈丙母〉

    又如二商共得子銀一百兩甲母倍於乙外又一十五兩其子銀則甲得六十八兩乙得三十二兩問甲乙母各幾何

    一率　四〈甲子倍乙外又盈此數〉

    二率　十五〈甲母倍乙外又盈此數〉

    三率　六十八〈甲子〉　三十二〈乙子〉

    四率　二百五十五〈甲母〉一百二十〈乙母〉

    貴賤差分　法以貴價乗總物數與總價數相減餘以貴賤價較數為法除之得賤物數或以賤價乗總物數與總價數相減餘以價較數為法除之得貴物數假如米每石價二兩麥每石價一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各幾何法以米價乗總石數得八十減總價得六以米麥價較五分兩之二為法除之得一十五是麥石數餘為米石數或先求米石數亦可

    又如上酒每斗價錢三百次酒每斗價二百二十今欲襍和二酒立價二百五十問一斗内上酒幾何次酒幾何法以上酒價減立價餘五十以上次價較八十為法除之得八分斗之五為次酒餘八分斗之三為上酒也或以次酒價減立價算之先得上酒數亦同

    匿價差分　假如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾比羅每匹多六錢羅比絹每匹多八錢問三物各價幾何法以羅二百匹乗羅絹價較得一百六十兩以綾一百匹乗綾羅羅絹二價較得一百四十兩并之得三百兩以減總價得五百兩以總匹數五百除之得一兩為絹每匹價以次推得綾羅價或以羅二百匹乗綾羅價較得一百二十兩以絹二百匹乗綾羅羅絹二價較得二百八十兩并之得四百兩以并總價得一千二百兩以總匹數五百除之得二兩四錢為綾每匹價又或先求羅價亦可又如米十四石麥十八石兩總價適等但云米每石價多於麥三錢六分問二物各價幾何法以米麥石數較四除價較得九分以麥數十八乗之得米每石價以米數十四乗之得麥每石價

    又如金九塊銀十一塊其總重適等交換一塊則金輕十三兩問金銀各塊重法以輕重較十三兩折半得六兩五錢以金銀塊數較二除之得三兩二錢五分以銀數十一乗之得金每塊重以金數九乗之得銀每塊重〈此與上米麥例同惟折半不同耳葢輕重交換較二實止較一故須折也〉

    襍差分法　假如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各幾隻各總載兵幾何

    一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉

    二率　一十二〈三隻四隻相乗船數為大小船各衰〉

    三率　四千三百五十〈總兵數〉

    四率　一十八〈大小船各數〉

    次求大小船各總載兵數

    一率　三　四

    二率　五百三百

    三率　一十八　一十八

    四率　三千〈大船總載兵數〉　一千三百五十〈小船總載兵數〉右例亦可先求大小船各總載兵數

    一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉

    二率　四千三百五十〈總兵數〉

    三率　二千〈四隻互乗五百名為大船兵衰〉　九百〈三隻互乗三百名為小船兵衰〉

    四率　三千一千三百五十

    次求大小船各數

    一率　五百三百

    二率　三　四

    三率　三千一千三百五十

    四率　一十八　一十八

    又如出兵左右營兵數相等左營用大船每三隻載五百名右營用小船每四隻載三百名共用船一百七十四隻問左右營兵各幾何各總用船幾隻一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得船數約為二十九〉二率　一十五萬〈五百三百相乗兵數約為一千五百　以百為通數〉

    三率　一百七十四〈總船數〉

    四率　九千〈左右營各兵數〉

    次求各總用船數

    一率　五百　三百

    二率　三四

    三率　九千　九千

    四率　五十四〈左營用大船數〉　一百二十〈右營用小船數〉

    右例亦可先求大小船各總數

    一率　二千九百〈三隻五百四隻三百互乗并得船數為船總衰約為二十九〉二率　一百七十四〈總船數〉

    三率　九百〈三百互乗三隻為大船衰約為九〉　二千〈五百互乘四隻為小船衰約為二十〉

    四率　五十四一百二十

    次求各總載兵數

    一率　三四

    二率　五百　三百

    三率　五十四一百二十

    四率　九千　九千

    又如犒師每二十四名給牛一頭每五名給羊一頭共用牛羊一千七百四十頭問兵幾何牛羊各幾何一率　二十九〈二十四名一頭五名一頭互乗并得牛羊數〉

    二率　一百二十〈二十四名五名相乗兵數〉

    三率　一千七百四十〈牛羊總數〉

    四率　七千二百〈兵數〉

    次求牛羊各總數

    一率　二十四　五

    二率　一　一

    三率　七千二百七千二百

    四率　三百〈牛數〉一千四百四十〈羊數〉

    右例初測第一率不必互乗直以五與二十四并得二十九再測不必列第二率直以二十四與五除兵數即得牛與羊各總數而立法必如是者葢此例與前二例本同一法若從簡省乃似别為一法而學者反眩惑也

    右例亦可先求牛羊各數

    一率　二十九〈如前互乗并得牛羊數為牛羊總衰〉

    二率　一千七百四十〈牛羊總數〉

    三率　五〈五名互乗一頭為牛衰〉二十四〈二十四名互乗一頭為羊衰〉

    四率　三百一千四百四十

    次求兵數如前二例不復贅　又按右例謂兵既給牛又給羊者不然則給牛之兵與給羊之兵數等者若兩營兵一給牛一給羊牛羊數等而兩營兵數不等乃舉兩營兵總數問兩營各數及牛羊數〈依上以一千七百四十為兵總數餘並同〉則以二十九為一率以一為二率〈一與一相乗仍得一也〉以一千七百四十為三率求得六十為四率為牛羊各數又或先求兩營兵各數則以二十九為兵總衰為一率一千七百四十為二率二十四為給牛兵衰五為給羊兵衰為三率求得一千四百四十與三百為四率為給牛與給羊兵各數也?觀前諸例其法自備不復詳列

    又如賞軍毎馬兵五名給紬三匹毎歩兵四名給布六匹總計馬歩兵共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩兵各幾何紬布各幾何此與前例不同葢馬兵與步兵數既不等紬與布數又不等也法以馬兵五名紬三匹歩兵四名布六匹互乗得數相減餘一十八為法别以馬兵五名紬三匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘二萬零七百以法除之得一千一百五十為步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵總四千六百名以布六匹乗之得布總六千九百匹其餘則馬兵及紬總數也或以步兵四名布六匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘一萬二千六百以法除之得七百為馬兵及紬衰乃以馬兵五名乗之得馬兵總三千五百名以紬三匹乗之得紬總二千一百匹其餘則步兵及布總數

    又如大船四櫓四槳小船二櫓八槳今但見總作櫓一百張槳二百零八張問大小船各幾何法以四櫓四槳二櫓八槳互乗得數相減餘二十四為法别以大船四櫓四槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘四百三十二以法除之得一十八為小船數或以小船二櫓八槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘三百八十四以法除之得一十六為大船數右例與前賞馬步兵紬布例同前馬兵及紬衰步兵及布衰在此即大小船各數也〈右一條新訂〉

    又如漏壺一具上有渇烏注水三時而滿下有天池洩水八時而盡今且注且洩問幾時可滿一壺〈法先求一時所注所洩之數〉

    一率　三時八時

    二率　一壺一壺

    三率　一時一時

    四率　三分壺之一〈注〉八分壺之一〈洩〉

    次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求全壺滿時

    一率　二十四分壺之五

    二率　一時

    三率　一壺

    四率　四時又五分時之四

    又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿幾何法先求一時所注所洩之數置率如前次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求五時又三分時之一所注之數

    一率　一時

    二率　二十四分壺之五

    三率　五時又三分時之一

    四率　一壺又九分壺之一

    又如漏壺一具下開三孔洩水大孔四時盡一壺次六時而盡又次十二時而盡若三孔俱開則一壺須幾時盡法以三孔一時所洩之數并而計之知一時泄二分壺之一則二時盡一壺

    一率　四時　六時　十二時

    二率　一壺

    三率　一時

    四率　〈四分壺六分壺十二分之一　之一　壺之一〉

    右例或以最小孔十二時為主求餘二孔所注之數乃并而計之知十二時盡幾壺則知幾時盡一壺〈或以中孔六時為主亦同〉

    一率　四時　六時

    二率　一壺

    三率　十二時

    四率　三壺　二壺

    又如甲乙銀各不知數取乙九兩與甲即甲倍多於乙取甲七兩與乙則甲乙正等問各幾何法以乙與甲九兩甲與乙七兩并之得十六兩倍之得三十二兩是倍多之數即以三十二兩為乙衰幷未與甲九兩得乙數四十一兩以六十四兩為甲衰減未得乙九兩得甲數五十五兩〈右一條新訂〉

    又如甲乙銀不知數取乙四兩與甲即甲多於乙二之一乙二而甲三也取甲七兩與乙則甲乙等問各幾何法如前并而倍之得二十二兩是二之一多數即以四十四兩為乙衰六十六兩為甲衰依前求得乙數四十八甲數六十二〈右一條新訂〉

    又如商販不知其母但云每度俱獲倍息〈母一得子亦一〉即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母幾何凡倍上加倍者率三倍而一得八〈一兩三倍之成八兩也四倍則一得十六餘準此推之〉法以八除三百得三十七兩五錢以減三百得二百六十二兩五錢即原母數〈若四度而盡者即以十六除而減之〉

    按右例立法之意乍閲之或未解葢原母倘係三百則每度用其倍息三度後仍存三百矣何得子母俱盡須知三倍後之三百其母為三十七兩五錢故於三百内減之而餘即原母數也一三倍而成八故用八除三百得母三十七兩五錢猶之三度折半爾〈右一條新訂〉

    自貴賤差分至此諸例亦可以借徵法求之别見數條於後

    又如黄金百斤製一鑪既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之則損工費乃以器貯水令滿已知水幾斤即以純金百斤入器内溢出水六十斤加水令滿復以銀百斤入之溢水九十斤再貯滿水却以鑪入之溢水六十五斤問和銀及實金幾何法以金銀溢水之較三十斤以百斤除之得每斤溢水之較十分斤之三為法以除鑪與金溢水之較五斤得和銀數一十六斤又三分斤之二以除鑪與銀溢水之較二十五斤得實金數八十三斤又三分斤之一〈補貴賤差分第三條〉又如犒軍每八名給豕一頭每六名給羊一頭每三名給兔一頭共用豕羊兔一千一百二十五頭問兵幾何豕羊兔各幾何法以八名六名相乗為兔衰八名三名相乗為羊衰六名三名相乗為豕衰〈此所謂三維乗也或先求兵總衰而豕羊兔各以所給兵名數除之亦同〉并之得九十為豕羊兔總衰為一率以八名六名三名累乗得一百四十四為兵總衰為二率豕羊兔總實為三率求得四率一千八百為兵總數豕羊兔各以所給兵名數除之得各數或以豕羊兔總衰為一率豕羊兔總實為二率豕羊兔各衰為三率即先得三物各數乃各以所給兵名數乗之得兵總數〈按此例亦謂兵既給豕又給羊兔者下例同〉又如賞軍每八名給紬五匹每六名給絹四匹每四名給布三匹共用紬絹布三千六百七十五匹問兵幾何紬絹布各幾何法以八名六名相乗再以三匹乗之為布衰八名四名相乗再以四匹乗之為絹衰六名四名相乗再以五匹乗之為紬衰〈或先求兵總衰而紬絹布各以匹數乗之以所給兵數除之亦同〉并之得三百九十二為紬絹布總衰八名六名四名累乗得一百九十二為兵總衰如前法求之得兵總數一千八百〈右二例與零分章并分法相似〉按此例與前例本同一法前例豕羊兔俱以一頭立算故不須以頭數與維乗數再相乗耳但今算家相??僅知有前例而無後例則法有所窮故特出此條其實前例亦暗寓頭數一回乗也〈補襍差分第六第七條　右一條新增〉

    九章録要卷五