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刘徽
昔在包牺氏始画八卦〔2〕，以通神明之德，以类万物之情〔3〕，作九九之术〔4〕，以合六爻之变〔5〕。暨于黄帝神而化之〔6〕，引而伸之〔7〕，于是建历纪，协律吕〔8〕，用稽道原〔9〕，然后两仪四象精微之气可得而效焉〔10〕。记称“隶首作数”〔11〕，其详未之闻也。按：周公制礼而有九数〔12〕，九数之流，则《九章》是矣〔13〕。往者暴秦焚书，经术散坏〔14〕。自时厥后〔15〕，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世〔16〕。苍等因旧文之遗残，各称删补〔17〕。故校其目则与古或异〔18〕，而所论者多近语也〔19〕。
【注释】
〔1〕算：系南宋本、大典本原文，戴震辑录本改作“算”字，全书同。《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》、《诸家算法及序记》及其后诸本均作“算”。算：本指算筹。《说文解字》：“算，长六寸，计历数者。从竹，从弄，言常弄乃不误也。”又同算。《尔雅》：“算，数也。”陆德明《经典释文》：“算，字又作算。”算：数，计算。《说文解字》：“算，数也。从竹，从具，读若算。”王筠释例：算、算“二字经典通用”。清中叶以前的数学著作中，大都用“算”，鲜有用“算”字者。1983年底荆州张家山汉墓出土的《算数书》竹简、岳麓书院藏秦简《数》、北京大学藏秦简《算书》等也统统用“算”。戴震自《永乐大典》辑录汉唐算经，始将全部的“算”改作“算”字，无一例外。
〔2〕包牺氏：又作庖牺氏、伏羲氏、宓羲、伏戏，又称牺皇、皇羲。神话中的人类始祖，人类由他与其妹女娲婚配而产生。教民结网，渔猎畜牧，又画八卦，反映中国原始社会早期的文明情况。 始：曾，尝。 八卦：《周易》中的八种符号。《周易》中构成卦的横画叫作爻。是阳爻，是阴爻。每三爻合成一卦，可得八卦：（乾），（震），（兑），（离），（巽），（坎），（艮），（坤）。分别象征天，雷，泽，火，风，水，山，地，代表一定属性的若干事务。其中乾与坤，震与巽，坎与离，艮与兑是对立的。两卦相叠，成为六十四卦，象征自然界和社会现象的发展变化。
〔3〕以通神明之德，以类万物之情：为的是通达客观世界变化的规律，描摹其万物的情状。语出《周易·系辞下》。此后“通神明”、“类万物”遂成为中国古代关于数学两种作用的传统思想。神明，本来指主宰自然界和人类社会变化的神灵，后来演变为古代哲学用以说明变化的术语。《管子·内业》认为精气“流于天地之间，谓之鬼神”。《周易·系辞下》云：“阴阳合德，而刚柔有体，以体天地之变，以通神明之德。”进而将通过事物的变化预测未来的能力称为神。《周易·系辞下》云“阴阳不测之谓神”。其人格神的意义已相当弱，成为哲学术语。虽然，“通神明”的作用还是会将数学导向象数学，而“类万物”则是描绘万物的数量关系，是中国古典数学的主要作用。德，客观规律。类，象，相似，像。
〔4〕九九：即九九乘法表。因古代自“九九八十一”始，故名“九九”；元朱世杰《算学启蒙》（1299）始，才改为从“一一如一”起。李籍《九章算术音义》（本书以下凡云“李籍云”者，均出《九章算术音义》）引《汉书·梅福传》云：“臣闻齐桓之时，有以九九见者，桓公不逆，欲以致大也。”后亦指数学。李籍引师古曰：“九九算术，若今《九章》、《五曹》之辈。”李冶云：《测圆海镜》“虽九九小数，后世必有知者。”术：方法，解法，算法，程序，宋元时期又称为“法”。“术”的本义是邑中的道路。《说文解字》：“术，邑中道也。”《墨子·旗帜》：“巷术周道者，必为之门。”进而指一般的道路，再引申为途径，《礼记·乐记》：“应感起物而动，然后心术形焉。”又引申为解决问题的途径，这就是方法、手段。《礼记·祭统》：“惠术也，可以观政矣。”《淮南子·人间训》：“见本而知末，观指而睹归，执一而应万，握要而治详，谓之术。”这里的“术”与《九章算术》的“术”同义。笔者与林力娜（K. Chemla）博士的中法双语评注本《九章算术》将“术”译为procédure，而将《九章算术》译为Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques，相应的英译为The Nine chapters of mathematical procedures，见Introduction of Jade Mirror of the Four Unknowns（汉英对照《四元玉鉴》前言，辽宁教育出版社，2006年）。英国李约瑟（Joseph Needham）博士主编的《中国科学技术史》第三卷将《九章算术》的“术”理解为“技艺”，因而将其翻译为The Nine Chapters on the Mathematical Art。李籍云：“术者，有所述也。”亦未得要领。
〔5〕六爻：将八卦中每两卦相叠所构成的卦象。每卦含有阴阳交错的六个爻，故名。凡有六十四卦。
〔6〕暨：及，至，到。《玉篇》：“暨，至也。”黄帝：姬姓，号轩辕氏，有熊氏，传说中的中华民族祖先。相传败炎帝，杀蚩尤，被拥戴为部落联盟首领，以代神农氏。命大桡作甲子，容成造历，羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，隶首作算数。相传蚕桑、医药、舟车、宫室、文字等之制，皆创始于黄帝之时，反映了新石器时代的情况。 神而化之：神妙地使之潜移默化。语出《周易·系辞下》：“黄帝尧舜氏作，通其变，使民不倦，神而化之，使民宜之。”
〔7〕引而伸之：语出《周易·系辞上》：“引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。”
〔8〕历：推算日月星辰运行及季节时令的方法，又指历书。 纪：古代纪年月的单位，十二年为一纪。《书经·毕命》：“既历三纪，世变风移。”孔传：“十二年曰纪。”亦有以二十五个月、一千五百年等为一纪的。 律吕：乐律、音律的统称。律，本是古代用来校正乐音标准的管状仪器。以管的长短来确定音阶。从低音算起，有十二根管，成奇数的六根管黄钟、太蔟、姑洗、蕤宾、夷则、无射叫律，成偶数的六根管大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟叫吕，统称十二律。
〔9〕用稽道原：用以考察道的本原。稽，考核，调查。《书经·大禹谟》：“无稽之言勿听。”
〔10〕两仪：指天、地。《周易·系辞上》：“是故易有太极，是生两仪。”宋儒又谓指阴、阳。 四象：指金、木、水、火。《周易·系辞上》：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”王弼注：“四象谓金、木、水、火。震木、离火、兑金、坎水，各主一时。”宋儒又谓指太阳、太阴、少阳、少阴。 精微：精深微妙。《礼记·经解》：“絜静精微，《易》教也。”气：古代的哲学概念。诸家理解不一。一指主观精神。一指形成宇宙万物的最根本的物质实体。《周易·系辞上》：“精气为物，游魂为变。”刘徽当用后者之义。
〔11〕记：典籍。这里当指《世本》。《世本》云：“隶首作数。”一作“隶首作算数”。 隶首：相传为黄帝的臣子。 数：算学、数学。
〔12〕周公：周初政治家，名姬旦，协助周武王灭商，后又辅佐周成王。相传他制定了周朝的典章礼乐制度。 九数：古代数学的九个分支。东汉末郑玄《周礼注》引东汉初郑众云：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”唐陆德明等谓“夕桀”非郑注。周公制礼时会有称为“九数”的数学九个分支，但不会完全同于二郑所云“九数”。李籍云：九数“即《九章》也。以算言之，故曰九数；以篇言之，故曰《九章》。”
〔13〕九数之流，则《九章》是矣：刘徽认为，“九数”在先秦已经发展为《九章算术》。此种《九章算术》已不存，现存《九章算术》中采取术文统率例题部分的大多数内容应是它的主要部分。流，本义是水的流动，引申为演变，变化。
〔14〕暴秦焚书：秦始皇于三十四年（前213）采纳李斯建议，下令除秦记、医药、卜筮、种树书外，民间所藏所有《诗》、《书》和百家书皆交地方官三十六天内焚毁，是为对中国文化的一次极大破坏。不过，秦末战乱尤其是项羽的焚烧掳掠对先秦经典的破坏不会亚于秦始皇焚书。刘徽认为，《九章算术》在秦始皇焚书时遭到破坏。
〔15〕厥：之。《书经·无逸》：“自时厥后，亦罔或克寿。”
〔16〕北平：西汉初侯国。高祖封张苍为北平侯，属中山国，治所在今河北满城北。 大司农中丞：大司农属官，汉武帝太初元年（前104）置，掌财政支出，均输漕运事。 命世：著名于世。
〔17〕称：述说，声言。《史记·屈原贾生列传》：“上称帝喾，下道齐桓，中述汤武，以刺世事。” 删补：删节补充。张苍与耿寿昌对《九章算术》删节的内容，是不是删去了某些定义与推理，不可详考。但是，卷三衰分章的非衰分问题，卷六均输章的非均输问题，卷九勾股章的解勾股形问题，即采取应用问题集形式的内容，以及带有汉代特征的某些问题肯定是他们补充的。
〔18〕故校其目则与古或异：刘徽考校了张苍、耿寿昌等删补的《九章算术》与各种资料，发现其目录与先秦的《九章算术》有所不同。
〔19〕所论者多近语：此谓张苍、耿寿昌用西汉的语言改写了先秦的文字。
【译文】
从前，包牺氏曾制作八卦，为的是通达客观世界变化的规律，描摹其万物的情状；又作九九之术，为的是符合六爻的变化。及至黄帝神妙地使之潜移默化，将其引申之，于是建立历法的纲纪，校正律管使乐曲和谐。用它们考察道的本原，然后两仪、四象的精微之气可以效法。典籍记载隶首创作了算学，其详细情形没有听说过。按：周公制定礼乐制度时产生了九数。九数经过发展，就成为《九章算术》。过去，残暴的秦朝焚书，导致经、术散坏。自那以后，西汉的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以擅长算学而著名于世。张苍等人凭借残缺的原有文本，先后进行删削补充。这就是为什么对校它的目录，则有的地方与古代不同，而论述中所使用的大多是近代的语言。
徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂〔1〕，总算术之根源〔2〕，探赜之暇〔3〕，遂悟其意〔4〕。是以敢竭顽鲁〔5〕，采其所见〔6〕，为之作注。事类相推〔7〕，各有攸归〔8〕，故枝条虽分而同本干知〔9〕，发其一端而已〔10〕。又所析理以辞〔11〕，解体用图〔12〕，庶亦约而能周，通而不黩〔13〕，览之者思过半矣〔14〕。且算在六艺〔15〕，古者以宾兴贤能〔16〕，教习国子〔17〕。虽曰九数〔18〕，其能穷纤入微，探测无方〔19〕。至于以法相传〔20〕，亦犹规矩度量可得而共〔21〕，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。
【注释】
〔1〕阴阳：中国古代思想家用以解释自然界和宇宙万物中两种既对立又互相联系、消长的气或物质势力的术语。《老子·第四十二章》：“万物负阴而抱阳。”《周易·系辞上》：“阴阳不测之谓神。”一切现象都有正反两个方面，凡是天地、日月、昼夜、男女、上下、君臣乃至脏腑、气血等均分属阴阳。数学上互相对立又联系的概念，如法与实，数的大与小，整数与分数，正数与负数，盈与不足，图形的表与里，方与矩，等等，都分属阴阳。刘徽考察了数学中阴阳的对立、消长，才能找到数学的根源。
〔2〕算术：清中叶后称“算术”，即今之数学，含有今之算术、代数、几何三角等各个分支的内容。最先见之于《周髀算经》卷上陈子语“此皆算术之所及”。“算术”即“算数之术”，陈子又曰：“算数之术，是用智矣。”
〔3〕探赜（zé）：探索奥秘。赜，幽深玄妙。李籍云：“赜者，含蓄。含蓄者，探之可及。故《易》曰‘探赜’。”李籍《九章算术音义》此条下尚有“索隐”条，今传本刘徽序中无“索隐”二字。
〔4〕悟其意：领会了它的思想。这里指刘徽自己的数学思想和数学创造。
〔5〕顽鲁：顽劣愚钝。这是刘徽的自谦之辞。
〔6〕采其所见：搜集采纳我所见到的数学知识和资料。由此可见，刘徽注尽管是刘徽写的，但是可以分成两部分：一是他自己的数学创造，即“悟其意”者；二是他以前或同代人的数学知识。有人因否认刘徽注中包含了前人的工作，将“采其所见”翻译成“就提出自己的见解”，显然是曲解。
〔7〕推：推求，推断。墨家的一种逻辑术语，《墨子·小取》：“推也者，以其所不取之同于其所取者予之也。”相当于归纳与演绎两种推理形式相结合的推理方式。刘徽深受墨家的影响，在论证《九章算术》与他自己提出的算法、命题，以及考察各种数学概念和命题的关系时，既使用归纳推理，也使用演绎推理，并且以后者为主，有时也采取两者结合的方式。“推”在刘徽注不同处有不同的意义。
〔8〕攸归：所归。攸，助词，在动词前与其组成名词性词组，相当于“所”。《诗经·大雅·灵台》：“王在灵囿，麀鹿攸伏。”郑玄注：“攸，所也。”
〔9〕知：训者。李学勤认为，古籍“者”与“之”互训，用为指事之词。而“知”作为语词，则与“之”通。故“知”也可用作指事之词，与“者”义同。
〔10〕一端：一个开端。端，首，开头。《礼记·礼运》：“故人者，天地之心也，五行之端也。”孔颖达疏：“端，首也。”
〔11〕析理：初见于《庄子·天下篇》：“判天地之美，析万物之理。”但没有方法论的意义。而到魏晋时代，它却成为正始之音和辩难之风的代名词。学术界一般认为，“析理”是郭象（？——312）注《庄子》时概括出来的。实际上，刘徽使用“析理”比郭象早。
〔12〕解体：分解形体。刘徽著有《九章重差图》一卷，已亡佚。
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