请安装我们的客户端
更新超快的免费小说APP
添加到主屏幕
请点击
，然后点击“添加到主屏幕”
。
〔13〕通而不黩（dú）：通达而不繁琐。黩，频繁，多次。《中华大字典》此字的最早例句即刘徽此语。
〔14〕思过半：语出《周易·系辞下》：“知者观其彖辞，则思过半矣。”
〔15〕六艺：礼、乐、射、驭、书、数，是为周代贵族子弟所受教育的六门主要课程。《周礼·地官司徒》云六艺：“一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”说明数学在商周之交已形成一门学科。
〔16〕宾兴：周代举贤之法。谓乡大夫自乡小学举荐贤能而宾礼之，以升入国学。《周礼·地官·大司徒》：“以乡三物教万民而宾兴之。”郑玄注：“兴，犹举也。”
〔17〕国子：公卿大夫的子弟。《周礼·地官·师氏》：“以三德教国子。”郑玄注：“国子，公卿大夫之子弟。”
〔18〕东汉郑玄（127——200）引郑众（？——83）《周礼注》曰：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”唐陆德明认为“夕桀”系衍文。
〔19〕无方：没有止境。方，境，边境。
〔20〕法：方法。这里指数学方法。
〔21〕规矩度量可得而共：就是说空间形式和数量关系中那些可以得到并且有共性的东西。规，是画圆的工具。矩，是画方的工具。图0-1为女娲伏羲执规矩图。这里引申为反映事物的空间形式。《尸子》说倕作规矩。《墨子·天文志》云：“轮匠执其规矩，以度天下之方圆。”后来规矩也成了汉语中表示标准、法则，甚至道德规范的常用词。度量，度量衡。用度量衡量度某物，得到其长度、容积和重量，反映事物的数量关系。因此，规矩、度量就是人们常说的空间形式和数量关系。众所周知，中国古代，所有的几何问题都考虑其数量关系，都要化成算术或代数问题解决。刘徽的话高度概括了中国古典数学几何与算术、代数相结合的特点。
图0-1 汉武梁祠女娲伏羲执规矩
【译文】
我童年的时候学习过《九章算术》，成年后又作了详细研究。我考察了阴阳的区别对立，总结了算术的根源，在窥探它的深邃道理的余暇时间，领悟了它的思想。因此，我不揣冒昧，竭尽愚顽，搜集所见到的资料，为它作注。各种事物按照它们所属的类别互相推求，分别有自己的归宿。所以，它们的枝条虽然分离而具有同一个本干的原因就在于都发自于一个开端。如果用言辞表述对数理的分析，用图形表示对立体的分解，那差不多就会使之简约而周密，通达而不繁琐，凡是阅读它的人就能理解其大半的内容。而算学是六艺之一，古代以它举荐贤能的人而宾礼之，教育贵族子弟；虽然叫作九数，其功用却能穷尽非常细微的领域，探求的范围是没有极限的；至于世代所传的方法，只不过是规、矩、度、量中那些可以得到并且有共性的东西，并不是特别难以做到的。现在喜欢算学的人很少，所以世间虽然有许多通才达学，却不一定能对此融会贯通。
《周官·大司徒》职〔1〕，夏至日中立八尺之表〔2〕。其景尺有五寸，谓之地中〔3〕。说云，南戴日下万五千里〔4〕。夫云尔者，以术推之〔5〕。按《九章》立四表望远及因木望山之术〔6〕，皆端旁互见〔7〕，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也〔8〕。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差〔9〕、句股〔10〕，则必以重差为率〔11〕，故曰重差也。立两表于洛阳之城〔12〕，令高八尺，南北各尽平地，同日度其正中之时。以景差为法〔13〕，表高乘表间为实〔14〕，实如法而一〔15〕。所得加表高，即日去地也〔16〕。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也〔17〕。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也〔18〕。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也〔19〕。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉〔20〕。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志〔21〕，以阐世术之美，辄造《重差》〔22〕，并为注解，以究古人之意，缀于《句股》之下。度高者重表〔23〕，测深者累矩〔24〕，孤离者三望〔25〕，离而又旁求者四望〔26〕。触类而长之〔27〕，则虽幽遐诡伏，靡所不入〔28〕。博物君子〔29〕，详而览焉。
【注释】
〔1〕周官：即《周礼》，相传周公所作。学术界一般认为是战国时期的作品。 职：记，志。《史记·屈原贾生列传》：“章画职墨兮，前度未改。”司马贞索隐：“《楚辞》职作志。志，念也。”
〔2〕日中：一天的正中午，相当于今中午12点。 表：古代测望用的标杆。
〔3〕景（yǐnɡ）：后作“影”。《周礼·大司徒》：“以土圭之法，测土深，正日景以求地中。”地中：大地的中心。
〔4〕此“说”指郑玄《周礼注》的有关内容。 南戴日下：即夏至日中太阳直射地面之处。
〔5〕推：计算。《淮南子·本经训》：“星月之行，可以历推得也。”
〔6〕立四表望远、因木望山：系《九章算术》勾股章的两个题目。
〔7〕端旁：某点或侧面。
〔8〕原其指趣：推究它的宗旨。原，推求本原，推究。《易经·系辞下》：“《易》之为书也，原始要终，以为质也。”指趣，宗旨，意义。王充《论衡·案书》：“《六略》之录，万三千篇，虽不尽见，指趣可知。”
〔9〕重（chónɡ）差：郑众所说汉代发展起来的数学分支之一。因重表法的基本公式（见注〔16〕公式0-1，注〔17〕公式0-2）要用到两表影长之差l2-l1，及两表到目的物的距离之差即两表间距l，故名。李籍云“重，复也”，又云差“楚佳切”，是对的。但又云“差，不齐也”，则不当。
〔10〕句股：明清之后作“勾股”，郑众所说汉代发展起来的数学分支之一，张苍等将其编入《九章算术》，并将旁要纳入其中。
〔11〕必以重差为率：必须以重差建立率。率，参见卷一经分术注〔8〕。李籍云，率“约数也”，不妥。
〔12〕洛阳：今属河南省。中国古都，东周、东汉等建都于此。
〔13〕法：这里指除数。“法”的本义是标准。《管子·七法》：“尺寸也，绳墨也，规矩也，衡石也，斗斛也，角量也，谓之法。”除法实际上是用同一个标准分割某些东西，这个标准数量就是除数，故称为“法”。后来的开方式即一元方程的一次项也称为法。
〔14〕乘：本义是登，升。《释名》：“乘，升也，登亦如之也。”引申为加其上。进而引申为乘法运算。 实：这里指被除数。中国古典数学密切联系实际，被分割的东西，即被除数，都是实际存在的，故称为“实”。后来被开方数和开方式、方程即线性方程组的常数项也称为实。
〔15〕实如法而一：亦称实如法得一。实中如果有与法相等的部分就得一，那么实中有几个与法相等的部分就得几，故除法的过程称为“实如法而一”或“实如法得一”。除法的表示从先秦到西汉有一个发展规范的过程。由《数》、《算书》、《算数书》知道，在先秦，除法的表示方式是不统一的，有的没有“法”、“实”的名称，有的只指出“法”，或只指出“实”，有的指出了“法”与“实”，却没有术语“实如法”，有的则“法”、“实”、“实如法而一”或“实如法得一尺（或其他单位）”俱全。张苍等整理《九章算术》时，将抽象性的算法表示成“实如法而一”或“实如法得一”，而具体的计算常用“实如法得一尺（或其他单位）”。
〔16〕所得加表高，即日去人也：此处给出了日到地面的距离。如图0-2，设日为P，日去地距离PQ=H；南表为AC，影长为BC=l1；北表EG，影长GF=l2，AC=EG=h；两表间距CG=l。此即重差术求日去地距离的公式
图0-2 重表法
（采自钱宝琮主编《中国数学史》）
〔17〕“以南表之景”三句：此处给出了南表至日直射处的距离。设南表至日直射处的距离CQ为L，此即重差术求南表至日直射处距离的公式
〔18〕“以南戴日下”三句：此处给出了日到人的距离。设日去人的距离PB=m，利用勾股术，即求出日去人的距离。
〔19〕“以径寸之筒”六句：如图0-3，设日径为D，筒径为d，筒长为q，由于以筒径和筒长为勾、股的勾股形与以日径和人去日为勾、股的勾股形相似，根据勾股“相与之势不失本率”的原理（即对应边成比例，见卷九）得到。
图0-3 测日径
（采自译注本《九章算术》）
〔20〕泰山：五岳之首，位于山东省泰安东。据笔者考证，刘徽确实测望过泰山之高、远。《海岛算经》的第1问的原型当是泰山。盖此问的海岛去表102里150步，岛高4里55步。以1魏尺合今23.8厘米计算，分别是43 911米和1 792.14米。有人以为这是山东沿海的某岛屿。实际上，不仅山东，就是全中国也找不到如此高且距大陆这么近的海岛。而泰山玉皇顶今实测为1 536米，其南偏西方向十分陡峭，7公里外的泰安城的海拔即下降到130多米。到大汶河两岸，今肥城的城宫一带海拔仅为72米，与玉皇顶之间没有任何障碍物，泰山恰似一海岛，如图0-4。清阮元（1764——1849）曾用重差术测望过泰山，测得泰山高233丈5寸分（裁衣尺），以清裁衣尺1尺35.50厘米计算，为827.36米。刘徽所测与实测之误差比阮元小得多。参见郭书春《刘徽测望过泰山之高吗》，载《泰山研究论丛》（五），第265——277页，青岛海洋大学出版社，1992年。收入《郭书春数学史自选集》上册，山东科学出版社，2018年版。
图0-4 刘徽测泰山
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔21〕志：指各种正史中的志书，主要是“地理志”等篇章。
〔22〕《重差》：后来单行，因第1问为测望一海岛之高、远，故名之曰《海岛算经》，为十部算经之一。南宋本《海岛算经》已失传。今传本是戴震从《永乐大典》辑录出来的，只有9问。图及刘徽自注已佚。
〔23〕重表：即重表法，是重差术最主要的测望方法。上述测日及《海岛算经》望海岛问都用重表法。
〔24〕累矩：即累矩法，是重差术的第二种测望方法，《海岛算经》望深谷问即用此法。此外还有连索法，《海岛算经》望方邑问即用此法。望海岛、望方邑、望深谷都是二次测望问题，重表、连索、累矩是重差术的三种最主要的测望方法。
〔25〕《海岛算经》望松、望楼、望波口、望津等4问是三次测望问题。
〔26〕《海岛算经》望清涧、登山临邑等2问是四次测望问题。
〔27〕触类而长（zhǎnɡ）：掌握一类事物的知识，就能据此增加同类事物的知识。语出《周易·系辞上》：“引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。”
〔28〕虽幽遐诡伏，靡所不入：虽然深远而隐秘不露，没有不契合的。幽，深。《尔雅》：“幽，深也。”遐，远。《尔雅》：“遐，远也。”诡伏，奇异而隐秘不露。靡，无，没有。《尔雅》：“靡：无也。”入，合，契合。
〔29〕博物君子：博学多识的人。《左传》昭公元年：“晋侯闻子产之言，曰：博物君子也。”博物，通晓众物。
【译文】
《周官·大司徒》记载，夏至这天中午竖立一根高8尺的表，若其影长是1尺5寸，这个地方就称为大地的中心。《周礼注》说：此处到南方太阳直射处的距离是15 000里。这样说的理由，是由术推算出来的。按：《九章算术》“立四表望远”及“因木望山”等问的方法，所测望的目标的某点或某方面的数值都是互相显现的，没有像这样遥远渺茫的类型。如此说来，张苍等人所建立的方法还不足以穷尽算学所有的分支。我发现九数中有“重差”这一名目，推求其宗旨的本原，就是施用于这一类问题的。凡是测望极高、极深而同时又要知道它的远近的问题必须用重差、勾股，那么必定以重差形成率，所以叫作重差。在洛阳城竖立两根表，高都是8尺，使之呈南北方向，并且都在同一水平地面上。同一天中午测量它们的影子。以它们的影长之差作为法。以表高乘两表间的距离作为实。实除以法，所得到的结果加表高，就是太阳到地面的距离。以南表的影长乘两表间的距离作为实。实除以法，就是南表到太阳直射处的距离。以南表到太阳直射处的距离及太阳到地面的距离分别作为勾和股，求与之相应的弦，就是太阳到人的距离。用直径1寸的竹筒向南测望太阳，让太阳恰好充满竹筒的空间，则以如此确定的竹筒的长度作为股率，以竹筒的直径作为勾率；以太阳到人的距离作为大股，那么与大股相应的勾就是太阳的直径。即使是圆穹的天象都是可以测度的，又何况泰山之高与江海之广呢！我认为，当今的史籍尚且略举天地间的事物，考论它们的数量，记载在各种志书中，以阐发人世间法术的美妙，于是我特地撰著《重差》一卷，并且为之作注解，以推寻古人的意图，缀于《勾股》之下。测望某目标的高用二根表，测望某目标的深用重叠的矩，对孤立的目标要三次测望，对孤立的而又要求其他数值的目标要四次测望。通过类推而不断增长知识，那么，即使是深远而隐秘不露，没有不契合的。博学多识的君子，请仔细地阅读吧！