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nbsp; 今有羡除〔1〕，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问：积几何？
荅曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一〔2〕。按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖腝夹一堑堵，即羡除之形〔3〕。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一尺〔4〕。下广、末广皆堑堵〔5〕；上广者，两鳖腝与一堑堵相连之广也〔6〕。以深、袤乘，得积五尺。鳖腝居二，堑堵居三，其于本棋，皆一为六〔7〕，故六而一〔8〕。合四阳马以为方锥〔9〕。邪画方锥之底，亦令为中方〔10〕。就中方削而上合，全为中方锥之半〔11〕。于是阳马之棋悉中解矣〔12〕。中锥离而为四鳖腝焉〔13〕。故外锥之半亦为四鳖腝〔14〕。虽背正异形，与常所谓鳖腝参不相似，实则同也〔15〕。所云夹堑堵者，中锥之鳖腝也〔16〕。凡堑堵上袤短者，连阳马也〔17〕。下袤短者，与鳖腝连也〔18〕。上、下两袤相等知，亦与鳖腝连也〔19〕。并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也〔20〕。今此羡除之广，即堑堵之袤也〔21〕。按：此本是三广不等，即与鳖腝连者〔22〕。别而言之〔23〕：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺〔24〕。末广之两旁，各一小鳖腝，皆与堑堵等〔25〕。令小鳖腝居里，大鳖腝居表〔26〕，则大鳖腝皆出随方锥〔27〕，下广二尺，袤六尺，高七尺〔28〕。分取其半，则为袤三尺〔29〕。以高、广乘之，三而一，即半锥之积也〔30〕。邪解半锥得此两大鳖腝〔31〕。求其积，亦当六而一，合于常率矣〔32〕。按：阳马之棋两邪，棋底方，当其方也，不问旁、角而割之，相半可知也〔33〕。推此上连无成不方，故方锥与阳马同实〔34〕。角而割之者，相半之势〔35〕。此大、小鳖腝可知更相表里，但体有背正也〔36〕。
【注释】
〔1〕羡（yán）除：一种楔形体，有五个面，其中三个面是等腰梯形，两个侧面是三角形，其长所在的平面与高所在的平面垂直，如图5-26所示。这是三广不相等的情形。也有两广相等的情形，此时只有两个面是等腰梯形，另一个面是长方形。羡，通延，墓道。《史记·卫康叔世家》：“共伯入厘侯羡自杀。”司马贞索隐：“羡，音延。延，墓道。”李籍云：“羡，延也；除，道也。羡除乃隧道也。”
图5-26 羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕记羡除的上广、下广、末广、袤、深分别为a1，a2，a3，b，h，则其体积为
〔3〕自此，刘徽注先讨论有两广相等的羡除。首先是下、末两广相等的羡除，如图5-27（1），是两个鳖腝夹着一个堑堵。这里堑堵就是《九章算术》给出者，而鳖腝却不同于《九章算术》给出者，而是三棱垂直于一点的四面体，如图5-27（2）。
图5-27 下末两广相等的羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕这是刘徽记述的以棋验法推导下、末两广相等的羡除的体积公式的方法。先构造一个标准型下、末两广相等的羡除，上广3尺，下、末两广及袤、深均为1尺。它可以分解为中间一个广、长、高皆为1尺的堑堵，及其两侧的广、长、高皆为1尺的鳖腝，如图5-28（1）。
图5-28 下末两广相等的标准型羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔5〕在这种羡除中，下广、末广都是堑堵的广。
〔6〕这里羡除的上广是堑堵与夹堑堵的两鳖腝相连的广。
〔7〕这里构造3个立方体：一个是广3尺，深1尺，长1尺的长方体，其体积是3尺3，含有2个堑堵，12个鳖腝；另外2个都是广、深、长皆为1尺的正方体，体积为1尺3，各含有2个堑堵，共为2尺3，4个堑堵，如图5-28（2）。这3个立方体合起来共5尺3，6个堑堵，12个鳖腝，所以说标准型羡除中的堑堵、鳖腝“皆一为六”。
〔8〕构造的3个立体的体积就是（上广+下广+末广）×长×深，所以除以6就是（5-16）式。
〔9〕合四阳马以为方锥：将4个阳马拼合在一起就成为方锥。盖在上述推导下、末两广相等的羡除体积的棋验法中，一个正方体是无法分割成夹堑堵的6个鳖腝的。说2鳖腝，“一为六”变成12个鳖腝，大约是人们的猜想。刘徽认为，必须求出形如图5-27（2）的鳖腝的体积。因此，他取4个阳马ABCDE，ABEFG，ABGHI，ABIJC，每一个皆为底广a，长b，高h，合成一个方锥ADFHJ，底广2a，长2b，高h，如图5-29。依据方锥体积公式（5-12），此方锥的体积为。
图5-29 合四阳马为方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔10〕邪画方锥之底，亦令为中方：斜着分割方锥的底，就形成一个中间的正方形。这相当于连接方锥底面每边的中点C，E，G，I，就得到中方CEGI。
〔11〕就中方削而上合，全为中方锥之半（piàn）：从这个中间正方形CEGI向上削至方锥ADFHJ的顶点A，得到的鳖腝全都是中方锥的一片。半，片也。《汉书·李陵传》：“令军士持二升糒，一半冰。”如淳曰：“‘半’读曰‘片’。”中锥ACEGI的体积显然是。
〔12〕阳马之棋悉中解矣：合成方锥的四个阳马都从中间被剖分。
〔13〕中锥离而为四鳖腝焉：中锥ACEGI被分割为全等的4个鳖腝ABCE，ABEG，ABGI，ABIC。因此每一个的体积当然是中方锥的，即，与《九章算术》的鳖腝体积公式（5-15）相同。
〔14〕外锥之半（piàn）亦为四鳖腝：外锥的片也成为4个鳖腝。方锥ADFHJ分割出中锥ACEGI后剩余的部分，称为外锥，它的每一片也都是鳖腝，也是4个，即ACDE，AEFG，AGHI，AIJC。
〔15〕“背正异形”三句：中锥的4个鳖腝与外锥的4个鳖腝背正相对，形状不同，与通常的鳖腝的广、袤、高三度不相等，它们的体积公式却相同。盖外锥的体积也是，每一个鳖腝的体积当然也是。
〔16〕夹堑堵者，中锥之鳖腝：夹堑堵的鳖腝就是从中锥分离出来的鳖腝。求堑堵和两鳖腝的体积之和，就得到下、末两广相等的羡除的体积公式，即（5-16）式。
〔17〕凡堑堵上袤短者，连阳马：凡是堑堵的上长比羡除的上广短的羡除，由一个堑堵及两侧的阳马组成，如图5-30（1）（2）。显然，这两种羡除在数学上没有什么不同。自此刘徽讨论两广相等的另外几种羡除。
图5-30 两广相等的其他羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔18〕下袤短者，与鳖腝连：凡是堑堵的下长短于羡除下广的羡除，由一堑堵及两侧的两鳖腝组成，如图5-30（3）。
〔19〕上、下两袤相等知，亦与鳖腝连：凡是堑堵的上、下两长与羡除的上、下广相等的羡除，由一个堑堵及两侧的鳖腝组成，如图5-30（4）。知，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔20〕这几种羡除的体积公式都是（5-16）式。
〔21〕在上述讨论中，羡除的广与堑堵的长在同一直线上。
〔22〕此谓三广不等的羡除，其分割出的堑堵与鳖腝相连，如图5-31所示。实际上羡除ABCDEF由于是按《九章算术》例题所绘，上广10尺，末广8尺，下广6尺，三广之尺数呈等差，仍是一个特殊的羡除。不过刘徽的处理方法具有一般性。
图5-31 三广不等的羡除
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔23〕别而言之：将羡除分割开分别表述之。别，分解，分剖。《说文解字》：“别，分解也。”这是将羡除分解为中央堑堵GHCDIJ，末广两旁的两小鳖腝GDEI，HCFJ，外侧两大鳖腝GDAE，HCBF。
〔24〕中央堑堵GHCDIJ的广GH为6尺，高GD为3尺，长GI为7尺。
〔25〕“末广之两旁”三句：堑堵末广两旁的两小鳖腝与堑堵的高与袤分别相等。两小鳖腝GDEI，HCFJ的广是IE，为1尺，高GD为3尺，长GI为7尺，与堑堵相同。两小鳖腝的形状与《九章算术》的相同，无疑可以用（5-15）式求其体积。
〔26〕此谓两小鳖腝GDEI，HCFJ居于内侧，两大鳖腝GDAE，HCBF居于外侧。
〔27〕大鳖腝皆出随方锥：两大鳖腝皆从椭方锥中分离出来。随方锥，即椭方锥，是底面为长方形的方锥。然而这种大鳖腝是没有讨论过的形状，是不是用（5-15）求积，尚未知。刘徽认为，需要将大鳖腝从随方锥中分割出来，以考察它的体积。以下就是分割的方法。
〔28〕刘徽构造一个椭方锥，如图5-32，记作EMNCD，下广DM为3尺，长CD为6尺，高EO为7尺。
图5-32 大鳖腝之分解
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔29〕分取其半，则为袤三尺：此谓用平面EAG平分椭方锥，得到两个半椭方锥EAGCN，EAGDM，此半椭方锥的长CG=DG为3尺。
〔30〕记半椭方锥的广CN为a，长CG为b，高EO为h，则其体积为。
〔31〕邪解半锥得此两大鳖腝：用平面EAC，EAD分别分割半椭方锥EAGCN和EAGDM，得到鳖腝GCAE和GDAE，就是上述的两大鳖腝。
〔32〕“求其积”三句：求大鳖腝的体积，也应当除以6，符合通常的率。大鳖腝GCAE或GDAE的体积应该是半随方锥EAGCN或EAGDM体积的一半，即，也是（5-15）式，所以说“合于常率”。大鳖腝的体积为什么是半椭方锥的一半呢？下面就是刘徽的证明方法。
〔33〕不问旁、角而割之，相半可知：这是刘徽提出一个命题：对一个长方形，不管是用对角线还是用对边中点的连线分割之，都将其面积平分，如图5-33。
图5-33 不问旁、角而割之
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔34〕推此上连无成不方，故方锥与阳马同实：将这一结论由底向上推广，所连接出的方锥与阳马的各层没有一层不是相等的方形，所以它们的体积相等。成，训“重（chónɡ）”，层。《周礼·秋官·司寇》：“将合诸侯，则令为坛三成。”郑玄注：“三成，三重也。”刘徽在这里提出了一个重要原理：如果同底等高的方锥与阳马没有一层不是相等的方形，则它们的体积相等，如图5-34。可见刘徽已经掌握了祖暅之原理的本质。这里还有一个不言自明的推论：一个立体，如果每一层都被同一平面所平分，则整个立体被该平面所平分。
图5-34 方锥与阳马同实
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔35〕角而割之者，相半之势：对一长方形从对角分割，是将其平分的态势。用平面EAC，EAD分别分割半椭方锥EAGCN和EAGDM，就是对每一层“角而割之”。因此，两半椭方锥的体积分别被平面EAC，EAD所平分。所以大鳖腝的体积是半椭方锥的。
〔36〕此大、小鳖腝可知更相表里，但体有背正也：这里的大鳖腝、小鳖腝互为表里，但形状有反有正。半椭方锥除去大鳖腝，其剩余部分分别是NCAE和MDAE，是另一种形状的大鳖腝，其求积公式也是。所以大、小鳖腝互为表里。在这个注中，刘徽讨论了几种特殊情形的鳖腝，证明它们都用（5-15）式求积，接近于提出任何四面体都可以用（5-15）式求积。6尺，高是7尺。分取它的一半，那么长变成3尺。以高、宽乘之，除以3，就是半长方锥的体积。斜着剖开两个半长方锥，就得到两大鳖腝。求它的体积，也应该除以6，符合鳖腝通常的率。按：阳马棋有两个斜面，棋的底是长方形。对长方形，不管是从两旁分割它，还是从对角分割它，都将其平分成二等分。将这一结论由底向上推广，所连接出的方锥与阳马的各层没有一层不是相等的方形，所以它们的体积相等。从对角分割，是平分的态势。所以大鳖腝的体积是半长方锥的，是正确的。这里的大鳖腝、小鳖腝互为表里，但形状有反有正。
【译文】
假设有一条羡除，一端下宽是6尺，上宽是1丈，深是3尺；末端宽是8尺，没有深；长是7尺。问：其体积是多少？
答：84尺3。
术：将三个宽相加，以深乘之，又以长乘之，除以6。按：此术中羡除实际上是一条隧道。如果所挖的地上面是平的，下面是斜面，好像两个鳖腝夹着一个堑堵，就是羡除的形状。假设使用这样的棋：一端上宽是3尺，深是1尺，下宽是1尺，末端宽是1尺，没有深，长是1尺。一端的下宽与末端的宽都是堑堵的宽；一端的上宽是两个鳖腝与一个堑堵相连的宽。以深、长乘三个宽之和，得到体积5尺3，鳖腝占据2份，堑堵占据3份。对原来的棋，它们都由1个变成了6个，所以要除以6。将4个阳马拼合成1个方锥。斜着分割方锥的底，就形成一个中间正方形。从这个中间正方形向上到方锥的顶点剖开，得到的全都是中方锥的一片。于是阳马之棋全被从中间剖开了，中间方锥分离成4个鳖腝。那么外锥的一片片也是4个鳖腝。虽然这些鳖腝一反一正，形状不同，与通常说的鳖腝的三度都不相等，它们的求积公式却是相同的。所说的夹堑堵的，就是从中间方锥分离出来的鳖腝。凡是堑堵的长比羡除的上宽短的，两侧就与阳马相连；堑堵的长比羡除的下宽短的，两侧就与鳖腝相连；堑堵的长与羡除的上、下宽相等的，两侧也与鳖腝相连。使三个宽相加，以高、长乘之，除以6，都得到羡除的体积。这里所说的羡除的宽，在堑堵的长的位置上。 按：这一问题中本来是三宽不相等的即与鳖腝相连的羡除。将其分解进行讨论：位于中央的堑堵，宽是6尺，高是3尺，长是7尺。羡除末端宽的两旁，各有一小鳖腝。它的宽、长皆与堑堵的相等。使小鳖腝居于里面，大鳖腝居于表面。大鳖腝都可以从长方锥中分离出来。长方锥的下底宽是2尺，长是
今有刍甍〔1〕，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问：积几何？
荅曰：五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一〔2〕。推明义理者〔3〕：旧说云〔4〕，凡积刍有上下广曰童〔5〕，甍谓其屋盖之茨也〔6〕。是故甍之下广、袤与童之上广、袤等〔7〕。正斩方亭两边，合之即刍甍之形也〔8〕。假令下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺〔9〕。其用棋也，中央堑堵二，两端阳马各二〔10〕。倍下袤，上袤从之，为七尺，以广乘之，得幂十四尺〔11〕，阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三〔12〕。以高乘之，得积十四尺〔13〕。其于本棋也，皆一而为六〔14〕，故六而一，即得〔15〕。亦可令上、下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四阳马也〔16〕；下广乘之上袤而半之，高乘之，即二堑堵〔17〕；并之，以为甍积也〔18〕。
【注释】
〔1〕刍甍：其本义是形如屋脊的草垛，是一种底面为长方形而上方只有长，无广，上长短于下长的楔形体，如图5-35。刍，指喂牲口的草。甍，屋脊。《说文解字》：“甍，屋栋也。”
图5-35 刍甍
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕记刍甍的下广为a，上长b1，下长b2，高h，则其体积公式为
〔3〕推明义理：阐明其涵义。推明，阐明。《新唐书·柳冕传》：“乃上表乞代，且推明朝觐之意。”义理，经义名理，涵义。《汉书·刘歆传》：“初《左氏传》古字古言，学者传训故而已，及歆治《左氏》，引传文以解经，转相发明，由是章句义理备矣。”
〔4〕旧说：指前代数学家的说法。
〔5〕凡积刍有上下广曰童：垛成的草垛上不仅有长，而且有广，叫作童。童，山无草木，牛羊无角，人秃顶，皆曰童。《管子·侈靡》：“山不童而用赡。”
〔6〕茨：是用茅草、芦苇搭盖的屋顶。李籍云：“刍甍之形似屋盖上苫也。” 苫：用茅草编成的覆盖物。
〔7〕此谓用一个平行于刍甍底面的平面切割刍甍，下为刍童，上仍为刍甍，所以说，刍甍的下广、长与刍童的上广、长相等。
〔8〕此谓以垂直于底面的两个平面从方亭上底的两对边切割方亭，切割下的两侧合起来就是刍甍，如图5-36。以上从各种角度界定刍甍。
图5-36 方亭两边合为刍甍
（采自沈康身《九章算术导读》）
〔9〕以下是刘徽记述的《九章算术》时代推导刍甍体积公式（5-17-1）的棋验法。先构造一个标准型刍甍：下广2尺，长3尺，上长1尺，高1尺。
〔10〕将标准型刍甍分解为三品棋，可以分解为2个中央堑堵，两端各2个阳马，共4个阳马，如图5-37（1）。
图5-37 刍甍之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔11〕“倍下袤”五句：此谓构造一个长方形：长为标准型刍甍下长3尺的2倍加上长1尺，即7尺，广是刍甍的广2尺，如图5-37（2）。得到面积14尺2。
〔12〕阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三：此谓在这个长方形中，1个阳马占据2尺2，1个堑堵占据3尺2。换言之，4个阳马共占据8尺2，2个堑堵共占据6尺2，共14尺2。
〔13〕此谓以高1尺乘14尺2，得14尺3，就形成了长7尺，广2尺，高1尺的长方体，如图5-37（3）。
〔14〕其于本棋也，皆一而为六：这个长方体中的堑堵、阳马对于标准型刍甍，1个都变成了6个。这是因为一个正方体可以分解为2个堑堵，如图5-37（4），或3个阳马，如图5-37（5），那么2个堑堵占据的6尺3，共分解为12个堑堵；4个阳马占据的8尺3，共分解为24个阳马；标准型刍甍中的堑堵、阳马都是1个变成了6个。实际上图5-37（3）的长方体可以重新拼合成6个标准型刍甍。
〔15〕故六而一，即得：所以除以6，就得到标准型刍甍的体积，即（5-17-1）式。同样，这种棋验法对一般刍甍并不适用。
〔16〕刘徽在这里提出了将刍甍分解为中央2个堑堵、四角4个阳马求其体积之和解决其体积问题的方法，如图5-38。一个阳马的广是，长是，高是h，则根据公式（5-13），一个阳马的体积是，四角4个阳马的体积是。
图5-38 刍甍之有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔17〕一个堑堵的广为，长b1，高h，根据公式（5-12），其体积是，两个中央堑堵的体积是。之，训“以”，裴学海《古书虚字集释》卷九：“‘之’，犹‘以’也。”
〔18〕所以刘徽给出刍甍新的体积公式
【译文】
假设有一座刍甍，下底宽是3丈，长是4丈；上长是2丈，没有宽；高是1丈。问：其体积是多少？
答：5 000尺3。
术：将下长加倍，加上长，以宽乘之，又以高乘之，除以6。先把它的涵义推究明白：旧的说法是，凡是堆积刍草，有上顶宽与下底宽，就叫作童。甍是指用茅草做成的屋脊。所以刍甍下底的宽、长与刍童上顶的宽、长相等。从正面切割下方亭的两边，合起来，就是刍甍的形状。假设一个刍甍，下底宽是2尺，长是3尺，上长是1尺，没有宽，高是1尺。它所使用的棋：中央有2个堑堵，两端各有2个阳马。将上长加倍，加上长，得7尺。以下底宽乘之，得到面积14尺2。每个阳马的面积占据2尺2，每个堑堵的面积占据3尺2。再以高乘之，得体积14尺3。它们对于本来的棋，1个都变成了6个。所以除以6，就得到刍甍的体积。也可以使刍甍的下长与上长之差乘下底宽，再以高乘之，除以3，就是4个阳马的体积；下底的宽乘上顶的长，取其一半，再以高乘之，就是2个堑堵的体积。两者相加，就得刍甍的体积。
刍童〔1〕、曲池〔2〕、盘池〔3〕、冥谷〔4〕皆同术。
术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之；并，以高若深乘之，皆六而一〔5〕。按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺〔6〕。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四〔7〕。倍下袤为八，上袤从之，为十。以高、广乘之，得积三十尺〔8〕。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六〔9〕。后倍上袤，下袤从之，为八。以高、广乘之，得积八尺〔10〕。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二〔11〕。并两旁，三品棋皆一而为六〔12〕，故六而一，即得〔13〕。 为术又可令上、下广、袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马〔14〕；上、下广、袤互相乘，并而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方〔15〕；并之，为刍童积〔16〕。 又可令上、下广、袤互相乘而半之，上、下广、袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也〔17〕。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤〔18〕。此池环而不通匝，形如盘蛇而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳〔19〕。引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也〔20〕。
今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问：积几何？
荅曰：二万六千五百尺。
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺；深一丈。问：积几何？
荅曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盘池，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈；深二丈。问：积几何？
荅曰：七万六百六十六尺太半尺。
负土往来七十步〔21〕；其二十步上下棚、除〔22〕，棚、除二当平道五〔23〕，踟蹰之间十加一〔24〕，载输之间三十步〔25〕，定一返一百四十步〔26〕。土笼积一尺六寸〔27〕。秋程人功行五十九里半〔28〕。问：人到积尺及用徒各几何〔29〕？
荅曰：
人到二百四尺。
用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚、除二当平道五。棚，阁，除，邪道，有上下之难，故使二当五也。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺〔30〕。按：此术棚，阁，除，邪道，有上下之难，故使二当五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有行率，笼积一尺六寸为所求到土率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即人到尺数。“以所到约积尺，即用徒人数”者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数〔31〕。为术又可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到〔32〕。以此术与今有术相返覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳〔33〕。以所到约积尺，即用徒人数〔34〕。
今有冥谷，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问：积几何？
荅曰：五万二千尺。
载土往来二百步〔35〕，载输之间一里，程行五十八里。六人共车，车载三十四尺七寸〔36〕。问：人到积尺及用徒各几何？
荅曰：
人到二百一尺五十分尺之十三。
用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺〔37〕。按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步〔38〕，为所有行率，车载三十四尺七寸为所求到土率，程行五十八里，通之为步〔39〕，为所有数。而今有之，所得则一车所到〔40〕。欲得人到者，当以六人除之，即得〔41〕。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也〔42〕。 又亦可五百步为行率〔43〕，令六人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之〔44〕。入之者〔45〕，亦可求返数也〔46〕。要取其会通而已。术恐有分，故令乘法而并除〔47〕。“以所到约积尺，即用徒人数”者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。以所到约积尺，即用徒人数〔48〕。
【注释】
〔1〕刍童：本义是平顶草垛，如图5-39。也是地面上的土方工程，西汉帝王陵皆为刍童形。然而《九章算术》和秦汉数学简牍关于刍童的例题皆是上大下小。李籍云：“如倒置砑石。”
图5-39 刍童、盘池、冥谷
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕曲池：是曲折回绕的水池。实际上是曲面体，此处曲池的上下底皆为圆环，如图5-40，显然是规范的曲池。
图5-40 曲池
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔3〕盘池：是盘状的水池，地下的水土工程，在数学上与刍童相同，如图5-39。
〔4〕冥谷：是墓穴，地下的土方工程。李籍云：“如正置砑石。”在数学上亦与刍童相同，如图5-39。
〔5〕若：或。记刍童的上广、长分别为a1，b1，下广、长分别为a2，b2，高h，则其体积公式为
〔6〕以下是刘徽记述的《九章算术》时代以棋验法推导刍童的体积公式（5-18-1）的方法。首先构造一个标准型刍童：上广1尺，长2尺，下广3尺，长4尺，高1尺。如图5-41（1）。
图5-41 刍童之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔7〕将标准型刍童分解为三品棋：2个中央正方体，6个四面堑堵，4个四角阳马。
〔8〕构造第一个长方体：其长为标准型刍童下长4尺的2倍加上长2尺，即10尺；广为其下广3尺，高为其高1尺。其体积为30尺3。如图5-41（2）。
〔9〕标准型刍童中的2个中央正方体每1个在第一个长方体中变成了3个，共6个，即图5-41（2）中标Ⅰ者；刍童中的4个两旁堑堵1个变成了6个，共24个，即标Ⅱ者；刍童中的2个两端堑堵1个变成了4个，共8个，即标Ⅲ者；刍童中的4个四角阳马1个变成了6个，共24个，即标Ⅳ者。正方体Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分解成堑堵、阳马的方法分别如图5-41（4），（5），（6）所示。
〔10〕再构造第二个长方体：长为标准型刍童上长2尺的2倍加下长4尺，即8尺；广为刍童的上广1尺，高为刍童的高1尺，如图5-41（3）。其体积为8尺3。
〔11〕标准型刍童中的2个中央正方体1个在第二个长方体中变成了3个，共6个；刍童中的2个两端堑堵1个变成了2个，共4个。
〔12〕并两旁，三品棋皆一而为六：将两个长方体相加，三品棋1个都变成了6个。旁，通方。《庄子·人间世》：“其可以为舟者旁十数。”俞樾平议：“旁读为方，古字通用。”两个长方体所含正方棋、堑堵棋、阳马棋这三品棋的数目如下
标准型刍童中的三品棋1个都变成了6个。
〔13〕此谓除以6，就得到标准型刍童的体积，即（5-18-1）式。同样，这种棋验法对一般刍童并不适用。
〔14〕刘徽在这里使用了有限分割求和法，即将刍童分解为中央2个立方体、四面6个堑堵、四角4个阳马，求其体积之和以解决其体积问题，如图5-42。一个阳马的广是，长是，高是h，则根据公式（5-13），一个阳马的体积是，四角4个阳马的体积是。
图5-42 刍童之有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔15〕一个端堑堵的广是a1，长是，高是h，则根据公式（5- 12），一个端堑堵的体积是。2个端堑堵的体积是。一个旁堑堵的广是，长是，高是h，则根据公式（5-12），一个旁堑堵的体积是。4个旁堑堵的体积是。中央2立方的体积是a1b1h。那么四面6堑堵和中央2立方的体积是
〔16〕刘徽求中央2立方、四面6堑堵和四角4阳马的体积之和，便得到刍童的体积公式
显然，其中分割成2个中央立方和4个旁堑堵是没有必要的，只要分割成1个中央长方体和2个旁堑堵就够了。之所以如此分割，大约是受到手头棋的限制，如同刘徽原理的证明中使用广、长、高均为1尺棋那样。
〔17〕刘徽给出刍童的另一体积公式
〔18〕记曲池的上中、外周分别为l1，L1，下中、外周为l2，L2，则令，利用（5-18-1）求其体积。
〔19〕此谓曲池之周像委谷依垣那样不通匝。
〔20〕像环田那样引而伸之，展为梯形，如图1-21。
〔21〕以下是附属于盘池问的题目。这是说挖一盘池，负土距离70步。 负土：背土。《淮南子·齐俗训》：“故伊尹之兴土功也，脩胫者使之跖钁，强脊者使之负土。”高诱注：“脊强者负重。”
〔22〕棚：下文刘徽注曰：“棚，阁。”阁就是楼阁，也作栈道。 除：台阶，阶梯。下文刘徽注曰：“除，邪道。”
〔23〕上下棚、除二当平道五：在棚、除行进2，相当于在平道行进5。那么20步就相当于。行进的路程相当于（70步-20步）+。
〔24〕踟蹰：徘徊。李籍云：“行不进也。” 十加一：行进10步加1步，则行进的路程相当于。
〔25〕载输：装卸。装卸之间相当于30步。
〔26〕此谓定一返为：110步+30步=140步。
〔27〕笼：盛土器，土筐。《说文解字》：“笼，举土器也。” 积一尺六寸：其体积是1尺3600寸3。
〔28〕秋程人功行五十九里半：秋季1个劳动力的标准工作量为一天背负容积为1尺3600寸3的土笼行里。
〔29〕人到积尺：即每人每天运到的土方尺数。
〔30〕《九章算术》的方法是
〔31〕以1人所运到的积尺数除众人共同运到的积尺数，就得用徒人数。刘徽将其归结为今有术，140步为所有率，土笼容积1尺3600寸3为所求率，程行里为所有数。
〔32〕刘徽提出的又一方法
其中程行步数÷定往返步数是一人每天往返次数。
〔33〕刘徽的方法是先除后乘，与《九章算术》的先乘后除不同，意在提供不同的思路。一般说来，刘徽是主张先乘后除的。
〔34〕《九章算术》给出
〔35〕载土：用车辆运输土石。
〔36〕一辆车运载的土方是34尺3700寸3。
〔37〕《九章算术》的方法是
〔38〕载输之间1里=300步，往来200步，故为500步。
〔39〕1里为300步，58里为17 400步。
〔40〕刘徽认为《九章算术》的方法是利用今有术先求出一天的一车到积尺
车到积尺=（一车积尺×程行步数）÷（往来步数+1里）
=（34尺3700寸3×58里）÷（200步+300步）
其中往来步数及载输共500步为所有率，车载即一车积尺34尺3700寸3为所求率，一天标准输送路程58里为所有数。
〔41〕6人共一车，车到积尺除以6，就是人到积尺。
〔42〕一般说来，先求出车到积尺会有分数，再除以6，更繁琐。于是以一车积尺数作为一人到土率，以6乘500步作为行率，变成了以6乘法而一并除。
〔43〕亦可：这是刘徽提出的第二种思路。
〔44〕负土：南宋本、《大典》本讹作“载土”，李潢校正，钱校本、译注本、《传世藏书》本、《算经十书》本从。汇校本及其增补版恢复原文。今按：载土术与负土术的区别是前者以“一车所到”入算，后者以“一人所到”入算。刘徽在注解了载土术之后提出另外一种思路，即以6人约“车积尺数”为一人到土率，应该采纳负土术。
〔45〕入之者：假设采纳负土术。者，假设之辞，见裴学海《古书虚字集释》卷九。
〔46〕亦可先求返数：即由“程行步数÷（往来步数+1里）”求出每辆车一天往返的次数。这是刘徽提出的又一方法
〔47〕术恐有分，故令乘法而并除：先求出每辆车一天的往返次数，方法虽然亦正确，但先做除法，难免有分数，所以《九章算术》采取乘法而并除的方式。
〔48〕《九章算术》给出
【译文】
刍童、曲池、盘池、冥谷都用同一术。
术：将上长加倍，加下长，又将下长加倍，加上长，分别以各自的宽乘之。将它们相加，以高或深乘之，除以6。按：此术中，假设刍童的上顶宽是1尺，长是2尺；下底宽是3尺，长是4尺，高是1尺。它所使用的棋：中央有2个正方体，四面有6个堑堵，四角有4个阳马。将下长加倍，得8，加上长，得10，以高、下底宽乘之，得体积30尺3。这就成为：中央的正方体1个变成了3个，两端的堑堵1个变成了4个，两旁的堑堵1个变成了6个，四角的阳马1个变成了6个。然后将上长加倍，加下长，得8。以高、上宽乘之，得体积8尺3。这就成为：中央的正方体1个也变成了3个，两端堑堵1个变成了2个。将两个长方体相加，三品棋1个都变成了6个。所以除以6，就得到刍童的体积。 造术又可以使刍童的上、下宽的差与上、下长的差相乘，以高乘之，除以3，就是4个阳马的体积；下宽乘上长与上宽乘下长相加，取其一半，以高乘之，就是四面6个堑堵与中央2个立方的体积；两者相加，就得刍童的体积。 又可以使上宽乘下长，下宽乘上长，均取其一半；上宽、长相乘，下宽、长相乘；将它们相加，以高乘之，除以3，就得到刍童的体积。如果是曲池，就将上中、外周相加，取其一半，作为上长；又将下中、外周相加，取其一半，作为下长。这种曲池是圆环形的但不连通，形状像盘起来的蛇那样弯曲。也称为周，是说像把谷物堆放在墙边那样的周。将它伸直，周就成为长。求长的意思如同环田。
假设有一刍童，下宽是2丈，长是3丈；上宽是3丈，长是4丈；高是3丈。问：其体积是多少？
答：26 500尺3。
假设有一曲池，上中周是2丈，外周是4丈，宽是1丈；下中周是1丈4尺，外周是2丈4尺，宽是5尺；深是1丈。问：其体积是多少？
答：1 883尺3寸3。
假设有一盘池，上宽是6丈，长是8丈；下宽是4丈，长是6丈；深是2丈。问：其体积是多少？
答：尺3。
如果背负土筐一个往返是70步。其中有20步是上下的棚、除。在棚、除上行走2相当于平地5，徘徊的时间10加1，装卸的时间相当于30步。因此，一个往返确定走140步。土笼的容积是1尺3600寸3。秋天一人每天标准运送里。问：一人一天运到的土方尺数及用工人数各多少？
答：
一人运到土方204尺3；
用工人。
术：以一土筐容积尺数乘一人每天的标准运送步数，作为实。往来上下要走棚、除，2相当于平地5。棚是栈道，除是台阶，有上下的困难，所以2相当于5。布置运送一个往返确定走的步数，每10加1，再加装卸时间的30步，作为法。实除以法，所得就是1人每天所运到的土方尺数。按：此术中棚是栈道，除是台阶，有上下的困难，所以2相当于5。布置运送一个往返确定走的步数，每10加1，再加装卸的时间30步，这是说往来运送一次共走140步。对今有术来说，它是所有率即行率，土筐容积1尺3600寸3是所求率即到土率，一人每天标准运送的里是所有数。应用今有术，就得到一人每天所运到的土方尺数。“以一人每天所运到的土方尺数除盘池容积尺数，就是用工人数”，这是因为以一人运到的土方尺数，去除众人应该运送的土方尺数，就得到用工人数。 造术又可以：以往来一次所用的步数除一人标准运送的步数，作为往返次数。以它乘土筐容积，为一人所运送到的土方尺数。以此术与今有术相比较，一个是先乘后除，一个是先除后乘，各自有不同的思路，却有同一个结果。以一人每天所运到的土方尺数除盘池容积尺数，就是用工人数。
假设有一冥谷，上宽是2丈，长是7丈；下宽是8尺，长是4丈；深是6丈5尺。问：其体积是多少？
答：52 000尺3。
如果装运土石一个往返是200步，装卸的时间相当于1里。一辆车每天标准运送58里。6个人共一辆车，每辆车装载34尺3700寸3。问：一人一天运到的土方尺数及用工人数各多少？
答：
术：以一辆车装载尺数乘一辆车每天标准运送里数，作为实。布置运送一个往返的步数，加装卸时间所相当的1里，以每辆车的6人乘之，作为法。实除以法，所得就是1人每天所运到的土方尺数。按：此术有今有术的意义。以装卸及往返的步数相加，得500步，作为所有率即行率，每辆车所装载34尺3700寸3作为所求率，一辆车每天标准运送的58里，换算成步数，作为所有数。应用今有术，所得到的就是一车每天所运到的土方尺数。如果想得到一人运送的土方尺数，应当用6除之，即得。此术中会有分数，所以也可以变换成乘法而一并除的方法：以一辆车的装载尺数作为一人运到的土方率，6人乘500步作为所有率，即行率。 又可以：以500步作为所有率，即行率，用6人除一辆车的装载尺数作为一人运到的土方率，采用负土术。假设采用负土术，也可以求出往返的次数。关键在于要融会通达。此术中因恐先除会出现分数，所以采取乘法而一并除。“以一人每天所运到的土方尺数除冥谷的容积尺数，就是用工人数”，这是因为以一人运到的土方尺数，去除众人应该运送的土方尺数，就得到用工人数。以一人每天所运到的土方尺数除冥谷容积尺数，就是用工人数。
今有委粟平地〔1〕，下周一十二丈，高二丈。问：积及为粟几何？
荅曰：
积八千尺。于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。 臣淳风等谨依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。
为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。 臣淳风等谨依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。
今有委菽依垣〔2〕，下周三丈，高七尺。问：积及为菽各几何？
荅曰：
积三百五十尺。依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六也。 臣淳风等谨依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。
为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。 臣淳风等谨依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。
今有委米依垣内角〔3〕，下周八尺，高五尺。问：积及为米各几何？
荅曰：
积三十五尺九分尺之五。于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。 臣淳风等谨依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。
为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。臣淳风等谨依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。
委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔4〕。此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也〔5〕。其依垣者，居圆锥之半也。十八而一〔6〕。于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔7〕。依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为法也。其依垣内角者，角，隅也，居圆锥四分之一也。九而一〔8〕。于徽术，当令此下周自乘而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔9〕。依隅之周半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率〔10〕。假令以三除周，得径。若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。母自相乘，得九，为法，又当三而一，约方锥之积〔11〕。从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃合三而一，今求圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连除，圆锥之积〔12〕。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。 臣淳风等谨依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也〔13〕。
【注释】
〔1〕委粟：堆放谷物。委，累积，堆积。《公羊传·桓公十四年》：“御廪者何？粢盛委之所藏也。”何休注：“委，积也。”委粟平地，得圆锥形，如图5-11。
〔2〕委菽依垣：得半圆锥形，如图5-43。
图5-43 委粟依垣
（采自译注本《九章算术》）
〔3〕委米依垣内角：得圆锥的，如图5-44。
图5-44 委粟依垣内角
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕委粟平地的体积公式同5-9-1式。
〔5〕刘徽的修正公式同5-9-2式。
〔6〕半圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔7〕刘徽以徽术修正的半圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔8〕四分之一圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔9〕刘徽以徽术修正的四分之一圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔10〕对“又此术”以下的理解请参阅圆亭术注相应的部分。
〔11〕约方锥之积：得方锥之积。约，求取。见卷四开立圆术李淳风等注释注解。
〔12〕圆锥之积：得圆锥的体积。前省“得”字。
〔13〕李淳风等以密率将《九章算术》的公式分别修正为。
【译文】
假设在平地上堆积粟，下周长是12丈，高是2丈。问：其体积及粟的数量各是多少？
答：
体积是8 000尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
粟是斛。依据我的徽术，粟应当是斛。 淳风等按：依照密率，粟是斛。
假设靠墙一侧堆积菽，下周长是3丈，高是7尺。问：其体积及菽的数量各是多少？
答：
体积是350尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
菽是斛。依据我的徽术，菽应当是斛。 淳风等按：依照密率，菽是斛。
假设靠墙内角堆积米，下周长是8尺；高是5尺。问：其体积及米的数量各是多少？
答：
体积是尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
米是斛。依据我的徽术，米应当是斛。 淳风等按：依照密率，米是斛。
委粟术：下周长自乘，以高乘之，除以36。此如同圆锥术。依据我的徽术，应当以下周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以942。如果是靠墙一侧，占据圆锥的。除以18。依据我的徽术，应当以下周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠墙一侧的周长是整个周长的。它的周长自乘之面积占据整个周长自乘之面积的，所以以整个周长的情形中的法的作为法。如果是靠墙的内角，角是隅角，占据圆锥的。除以9。依据我的徽术，应当以下周长自乘，加倍，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠墙内角是靠墙一侧的。它的周长自乘之面积占据靠墙一侧周长自乘之面积的，应当以靠墙一侧情形中的法的作为法。前者的法无法取，所以将实加倍。又，此术也是用周3径1之率。假设以3除下周长，得到直径。如果除不尽，就通分，纳入分子，便是直径的积分。将直径自乘，以高乘之，是三个外切方锥的积分。分母相乘，得9，作为法，又应当除以3，求得一个方锥的体积积分。从方锥求内切圆锥的体积，也如同从正方形之面积求内切圆之面积。于是应当用3乘之，除以4，得到内切圆锥的体积。前面求方锥的体积，应当除以3；现在求圆锥的体积，又应当以3乘；两个数既然相同，所以恰好互相抵消，只以4乘分母9，得36而合起来除，就是内切圆锥的体积。圆锥的体积与平地堆积粟的形状相同，所以除以36。 淳风等按：依照密率，以7乘之，如果堆积于平地，除以264；如果堆积于靠墙一侧，除以132；如果堆积于靠墙的内角，除以66。
程粟一斛积二尺七寸〔1〕；二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。其米一斛积一尺六寸五分寸之一〔2〕；谓积一千六百二十寸〔3〕。其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三〔4〕。谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也〔5〕。粟率五，米率三，故米一斛于粟一斛，五分之三〔6〕；菽、荅、麻、麦亦如本率云〔7〕。故谓此三量器为概，而皆不合于今斛〔8〕。当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺〔9〕。于徽术，为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三〔10〕。王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇〔11〕。《周官·考工记》：“?氏为量，深一尺，内方一尺，而圆外，其实一鬴〔12〕。”于徽术，此圆积一千五百七十寸〔13〕。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟〔14〕。”钟六斛四斗；釜六斗四升，方一尺，深一尺，其积一千寸〔15〕。若此方积容六斗四升〔16〕，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠五分龠之三也〔17〕。以数相乘之〔18〕，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗〔19〕。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论斛同。
【注释】
〔1〕程粟一斛积二尺七寸：1标准粟斛的容积是2尺37尺2寸，即2尺3700寸3，或2 700寸3。
〔2〕米一斛积一尺六寸五分寸之一：1标准米斛的容积是1尺3尺2寸。
〔3〕积一千六百二十寸：1标准米斛的容积也是1 620寸3。
〔4〕菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三：1标准菽、荅、麻、麦斛的容积都是2尺3尺2寸，或2 430寸3。
〔5〕概：古代称量谷物时用以刮平斗斛的器具。《礼记·月令》：“正权概。”郑玄注：“概，平斗斛者。”此处引申为标准量器的容积。一标准粟斛，一标准米斛，一标准菽、荅、麻、麦斛，尽管都是1斛，其容积却不相等。
〔6〕米一斛于粟一斛，五分之三：是说由粟率5，米率3，所以一标准米斛1尺3尺2寸是一标准粟斛2尺3700寸3的。
〔7〕此谓一标准菽、荅、麻、麦斛的容积2尺3尺2寸与一标准粟斛2尺3700寸3亦如其本来的率，即粟率10，而菽、荅、麻、麦率9。
〔8〕三量器：指粟斛，米斛，和菽、荅、麻、麦斛，与现今之斛制当然不同。
〔9〕当今大司农斛：即魏大司农斛，呈圆柱形，底径d=1尺3寸5分5厘，深1尺。
〔12〕?氏为量：?氏制造量器。?氏量是底为边长1尺的正方形的外接圆，深1尺的圆柱形，如图5-45。
图5-45 ?氏量示意图
（采自译注本《九章算术》）
〔14〕此谓齐国的四种量器的进位制：4升叫作豆，4豆叫作区（ōu），4区叫作釜。釜即鬴。10鬴就是钟。
〔15〕釜的形制是：底方1尺，深1尺，容积是1 000寸3。
〔16〕六斗四升：釜的容积是6斗4升。
〔17〕以釜的外接圆柱体作为量器，以徽术计算，其容积是1 570寸3，则容10斗4合龠。
〔18〕乘：计算。《周官·天官·宰夫》：“乘其财用之出入。”
〔19〕庣旁：量器的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线超过外圆周的部分，如图5-46。若要上述量器变成容积是10斗的斛，则此斛的容积应为，。因此，底的直径。它与边长1尺的正方形的对角线尺相差尺-d=1尺4寸1分4厘2毫-1尺4寸1分8毫=3厘4毫。故庣旁1厘7毫。这里的庣旁与王莽铜斛之庣旁相反，在那里是正方形的对角线不满圆周的部分。参见卷一圆田术刘徽注相关注释。汇校本云：此段所列数值，以徽率周一百五十七、径五十入算，皆合。然《隋书·律历志》云：“祖冲之以算术考之，积凡一千五百六十二寸半。方尺而圆其外，减旁一厘八毫，其径一尺四寸一分四毫七秒有奇，而深尺，即古斛之制也。”以徽率周三千九百二十七、径一千二百五十入算，相合；然以祖率周三百五十五、径一百一十三入算，则不合，知《隋书·律历志》此“祖冲之”三字系衍文。《晋书·律历志》与此同样文字中则无“祖冲之”三字，可为佐证。《九章算术注》与《隋书·律历志》、《晋书·律历志》实际上是记载了刘徽用他求得的两个圆周率对王莽铜斛的两次校验。
图5-46 庣旁
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
【译文】
一标准粟斛的容积是2尺3700寸3；2尺3700寸3，是说1尺见方，深2尺7寸，容积总共是2 700寸3。一标准米斛的容积是1尺3尺2寸；是说容积1 620寸3。一标准菽、荅、麻、麦斛的容积是2尺3尺2寸，是说容积2 430寸3。这里是以精粗建立率，而每斛的容积不相等。粟率是5，米率是3。所以1斛米相对于1斛粟而言，容积是其。菽、荅、麻、麦也遵从自己的率。所以说以此三种量器作为标准，但都不符合现在的斛。现今大司农斛的圆径是1尺3寸5分5厘，垂直深1尺。根据我的徽术，容积是1 441寸3。列出剩余的分数，还有尺2寸。依据现在的尺度，王莽铜斛的深是9寸5分5厘，直径是1尺3寸6分8厘7毫。用我的徽术计算，容积合今天的斛是9斗7升4合，还有奇零。《周官·考工记》说：“?氏制作量器，它的深是1尺，底面是一个边长为1尺的正方形的外接圆，其容积是1鬴。”依据我的徽术，这里的圆面积是1 570寸2。《左氏传》说：“齐国旧有四种量器：豆、区、釜、钟。4升是1豆，豆、区各以4进，便得到釜，10釜就是1钟。”1钟是6斛4斗。1釜是6斗4升，它的底面是1尺见方，深是1尺，容积是1 000寸3。如果这一方斛的容积是6斗4升，那么，作其底的外接圆，成为一个量器，容积便是10斗4合龠。用这些数值计算，则斛的形制：底面是与边长1尺的正方形相切割的圆，庣旁是1厘7毫。圆面积是寸2，深是1尺，容积是寸3，容量是10斗。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论述的斛相同。
今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问：穿地下广几何？
荅曰：三尺五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。穿地四为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。以深、袤相乘，为深袤之立实也。又以三之，为法〔1〕。以深、袤乘之立实除垣积，则坑广〔2〕。又“三之”者，与坚率并除之。所得，倍之。坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。令先得其中平，故又倍之知〔3〕，两广全也。减上广，余即下广〔4〕。按：此术穿地四，为坚三。垣，即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。“深、袤相乘”者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又“三之，为法”，与坚率并除。“所得倍之”者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，故倍之还为两广并。故“减上广，余即下广”也。
【注释】
〔1〕“四之为实”，“又以三之，为法”：是穿地为垣是由穿土变坚土，其比率为穿4为坚3。
〔2〕此即，其中a即穿坑的中平之广，或先假定挖的坑是长方体。
〔3〕知：训“者”，见刘徽序“故板条虽分而同本干知”之注释。
〔4〕如不考虑穿地4变坚土3的因素，此问实际上是（5-1）式的逆运算，即已知穿地的上广a1，袤b，深h，体积V，求下广a2
【译文】
假设挖一个坑，长是1丈6尺，深1丈，上宽6尺，筑成垣，其体积是576尺3。问：所挖坑的下宽是多少？
答：尺3。
术：布置垣的体积尺数，乘以4，作为实。挖出的土是4，成为坚土是3。垣，是坚土。由坚土求挖出的土，应当乘以4，除以3。以挖的坑的深、长相乘，成为深与长形成的直立的面积。又乘以3，作为法。以深、长形成的直立的面积除垣的体积，就是坑的宽。“又乘以3”的原因，是与坚土的率一并除。将所得的结果加倍。挖的坑有上、下两宽，先将它们相加，取其一半，就是宽窄的平均值。使首先得出其平均值，而又加倍的原因，是得到上下两宽的全部。减去上宽，余数就是下宽。按：此术中挖出的土4，成为坚土是3。垣，是坚土。今由坚土求挖出的土，应当乘以4，除以3。“以挖的坑的深、长相乘”，是成为深与长形成的直立的面积。以深与长形成的直立的面积除垣的体积，就是挖的坑的宽。“又乘以3，作为法”的原因，是与坚土的率一并除。“将所得的结果加倍”，是因为挖的坑有上、下两宽，先将它们相加，取其一半，就是其平均值。现在得到其平均值，所以将其加倍，还原为上、下两宽之和。所以“减去上宽，余数就是下宽”。
今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问：高几何？
荅曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实〔1〕。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺〔2〕。以广、袤之幂除积，故得高。按：此术本以广、袤相乘，以高乘之，得此积〔3〕。今还元〔4〕，置此广、袤相乘为法，除之，故得高也。
【注释】
〔1〕一万斛积尺：由委粟术，“程粟一斛积二尺七寸”，即一斛标准粟的容积是2 700寸3，1万斛的积尺为27 000尺3。
〔2〕这是已知长方体体积V，广a，长b，求高h:。显然它是长方体体积公式（5-19）
V=abh
的逆运算。方堢体积公式（5-2）是（5-19）式b=a的情形。
〔3〕此即（5-19）式。
〔4〕元：通“原”。参见卷四开圆术注释〔12〕。
【译文】
假设有一座粮仓，宽是3丈，长是4丈5尺，容积是10 000斛粟。问：其高是多少？
答：2丈。
术曰：布置10 000斛粟的积尺数作为实。粮仓的宽长相乘作为法。实除以法，便得到高的尺数。以宽与长形成的面积除体积，就得到高。按：此术中本来以宽、长相乘，又以高乘之，就得到这个体积。现在还原，就布置此宽、长相乘，作为法，除体积，所以得到高。
今有圆囷，圆囷，廪也〔1〕，亦云圆囤也。高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛〔2〕。问：周几何？
荅曰：五丈四尺。于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。臣淳风等谨按：密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。
术曰：置米积尺，此积犹圆堢之积。以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周〔3〕。于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高，为法。所得，开方除之，即周也〔4〕。此亦据见幂以求周，失之于微少也〔5〕。 晋武库中有汉时王莽所作铜斛。其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗〔6〕。及斛底云：律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分，深一寸，积一百六十二寸，容一斗〔7〕。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今《律历志》同，亦魏晋所常用〔8〕。今粗疏王莽铜斛文字尺寸分数〔9〕，然不尽得升、合、勺之文字。 按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积〔10〕。今还元，置此积，以十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数〔11〕。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即得也。 臣淳风等谨依密率，以八十八乘之，为实，七乘囷高为法，实如法而一。开方除之，即周也〔12〕。
【注释】
〔1〕圆囷：即圆柱体，亦即《九章算术》的圆堢，其体积公式为（5-3-1）。见卷四开立圆术刘徽注之注解〔7〕。 廪：粮仓，仓库。《说文解字》：“廪，廨也。”邢昺疏：“廪，廨，皆囷仓之别名。”李籍云：“仓圆曰囷。”
〔2〕容米二千斛：由委粟术，“米一斛积一尺六寸五分寸之一”，即一标准米斛的容积是1 620寸3，2 000斛米的积尺为3 240尺3。
〔3〕此即已知圆囷的体积V，高h，求底周L
它显然是（5-3-1）式的逆运算。
〔4〕刘徽将开方式（5-20-1）修正为
〔5〕由于徽术是不足近似值，故由（5-20-2）求出的周长略嫌微小。
〔6〕刘徽所引与传世王莽铜斛斛铭略有出入。原器斛铭为：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”（见文物出版社：《中国古代度量衡图集》）《隋书·律历志》所引斛铭，“圜”作“圆”，“豪”作“毫”，“冥”作“幂”，“千”作“一千”。
〔7〕刘徽所引与传世王莽铜斛斗铭略有出入。原器斛铭为：“律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深寸，积百六十二寸，容一斗。”
〔8〕赞文：指王莽铜斛正面之总铭，凡八十一字，如下：“黄帝初祖，德币于虞，虞帝始祖，德币于新。岁在大梁，龙集戊辰。戊辰直定，天命有民。据土德受，正号即真。改正建丑，长寿隆崇。同律度量衡，稽当前人。龙在己巳，岁次实沈。初班天下，万国永遵。子子孙孙，享传亿年。”正史“律历志”记载此总铭的只有《隋书》。其《律历志》为李淳风等人所撰。故注文“与今律历志同，亦魏晋所常用”两句断非唐初以前所为，或此两句为唐人旁注“赞文”以上文字，阑入正文，或自“晋武库中”以下一百三十一字，为唐人所作，疑即李淳风等注释，阑入刘注。
〔9〕今粗疏：现在粗略地疏解。“粗疏”是南宋本、《大典》本、杨辉本原文，戴震整理的微波榭本讹作“祖疏”，李潢据此说刘注中涉及王莽铜斛的几段文字是祖冲之撰，刘徽所求出的第二个圆周率近似值是祖冲之所创。20世纪50年代中国数学史界还就此展开了一次大辩论。
〔10〕此即圆柱体体积公式（5-3-1）。
〔11〕此即。
〔12〕此为李淳风等以对《九章算术》方法的修正
【译文】
假设有一座圆囷，圆囷，就是仓廪，也称为圆囤。高是1丈3尺寸，容积是2 000斛米。问：其圆周长是多少？
答：5丈4尺。对于我的徽术，圆周应当是5丈5尺寸。淳风等按：依照密率，周长是5丈尺。
术：布置米的容积尺数，这一容积如同圆堢的体积。乘以12，除以高，对所得到的结果作开平方除法，就是圆囷的周长。依据我的徽术，应当布置米的容积尺数，乘以314，作为实。以25乘圆囷的高，作为法。对所得到的结果作开平方除法，就是其周长。这也是根据已有的面积求圆周长，误差稍微小了一点。 晋武库中有汉朝王莽所作的铜斛。斛的侧面有篆体字说：律嘉量斛，里面相当于有方1尺的正方形而外面是圆形，其庣旁为9厘5毫，其面积是162寸2，深是1尺，容积是1 620寸3，容量是10斗。而斛底说：律嘉量斗，里面相当于有方1尺的正方形而外面是圆形，其庣旁为9厘5毫，其面积是162寸2，深是1寸，容积是162寸3，容量是1斗。合、龠旁边都有文字。升量位于斛的旁边，合量和龠量位于斛的耳朵上。斛的后面有赞文，与今天的《律历志》相同，也是魏晋时期所常用的。现在粗略地叙述了王莽铜斛的文字、尺、寸、分数，然没有完全得到升、合、勺的文字。 按：此术中本来是圆周自相乘，以高乘之，除以12，就得到圆囷的体积。现在还原，布置此圆囷的体积，乘以12，除以高，就恢复了本来的圆周自乘之数。————凡是一物的数量自乘，对之作开方除法，就恢复了其本数。所以对其作开方除法，即得到周长。 淳风等按：依照密率，乘以88，作为实。以七乘囷的高作为法。实除以法，对其结果作开方除法，即周长。