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魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
商功〔1〕以御功程积实〔2〕
今有穿地〔3〕，积一万尺。问：为坚、壤各几何〔4〕？
荅曰：
为坚七千五百尺；
为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五，壤谓息土〔5〕。为坚三，坚谓筑土。为墟四〔6〕。墟谓穿坑。此皆其常率。以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一〔7〕。今有术也。以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一〔8〕。以坚求穿，四之；求壤，五之；皆三而一〔9〕。臣淳风等谨按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。
【注释】
〔1〕商功：九数之一，其本义是商量土方工程量的分配。李籍云：“商，度也。以度其功佣，故曰商功。”要计算工程量，首先要计算土方的体积，因此提出了若干多面体和圆体的体积公式。今天人们更重视其中立体的体积公式的内容。由体积公式派生出来的委粟问题也成为本章的重要内容，后来归于《永乐大典》的委粟类。
〔2〕功程积实：指土建工程及体积问题。功，谓一个劳力一日的工作。《汉纪·文帝纪》：“冬则民既入，妇人同巷夜绩，女工一月得四十五功。”功程，谓需要投入较多人力物力营建的项目。积，体积。
〔3〕穿地：挖地。李籍云：“掘地也。”穿，开凿，挖掘。
〔4〕坚：坚土，夯实的泥土。李籍云：“坚为筑土。《诗》曰：‘筑之登登。’”穿:坚=4:3。 壤：松散的泥土，《书经·禹贡》：“厥土惟白壤。”孔传：“无块曰壤。”刘徽说是“息土”。穿:壤=4:5。
〔5〕息土：犹息壤，沃土，利于生长农作物的土，亦即松散的泥土。《孔子家语·执辔》“息土之人美”，卢辩注：“息土，谓衍沃之田。”息，本义是呼吸时进出的气，引申为滋生，生长。《周易·革》：“水火相息。”王弼注：“息者，生变之谓也。”孔颖达疏：“息，生也。”
〔6〕墟：废址，故刘徽说“墟谓穿坑”。穿:墟=4:4。
〔7〕此即壤=×穿，坚=×穿。刘徽谓这是应用今有术。
〔8〕此即穿=×壤，坚=×壤。
〔9〕此即穿=×坚，壤=×坚。
【译文】
商功为了处理工程的体积问题
假设挖出的泥土，其体积为10 000尺3。问：变成坚土、壤土各是多少？
答：
变成坚土7 500尺3；
变成壤土12 500尺3。
术：挖出的土是4，变成壤土是5。壤土是指肥沃的土。变成坚土是3。坚土是指夯土。变成墟土是4。墟土是指挖坑的土。这些都是它们的常率。由挖出的土求壤土，乘以5，求坚土，乘以3，都除以4。这是用今有术。由壤土求挖出的土，乘以4，求坚土，乘以3，都除以5。由坚土求挖出的土，乘以4，求壤土，乘以5，都除以3。淳风等按：这些方法都是今有术。重复布置挖出的土的体积10 000尺3，作为所有数。坚土率3、壤土率5各为所求率，挖出的土的率作为所有率，用今有术求之，就得到了。
城〔1〕、垣〔2〕、堤〔3〕、沟〔4〕、堑〔5〕、渠〔6〕皆同术〔7〕。
术曰：并上下广而半之，损广补狭〔8〕。以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺〔9〕。按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广〔10〕。“以高若深乘之”，得一头之立幂〔11〕。“又以袤乘之”者，得立实之积〔12〕，故为积尺。
今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问：积几何？
荅曰：一百八十九万七千五百尺〔13〕。
今有垣，下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问：积几何？
荅曰：六千七百七十四尺〔14〕。
今有堤，下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问：积几何？
荅曰：七千一百一十二尺〔15〕。
冬程人功四百四十四尺〔16〕。问：用徒几何〔17〕？
荅曰：一十六人一百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法。实如法而一，即用徒人数〔18〕。
今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问：积几何？
荅曰：四千三百七十五尺〔19〕。
春程人功七百六十六尺〔20〕，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四〔21〕。问：用徒几何？
荅曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。“去其五分之一”者，谓以四乘五除也〔22〕。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数〔23〕。按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一。除去出土之功，取其定功，乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之〔24〕，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数不尽者，等数约之而命分也。
今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问：积几何？
荅曰：一万九百四十三尺八寸〔25〕。八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之〔26〕。贵欲从易，非其常定也。
夏程人功八百七十一尺〔27〕，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半〔28〕，定功二百三十二尺一十五分尺之四〔29〕。问：用徒几何？
荅曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数〔30〕。按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘五除。“又去沙砾水石作太半”者，一乘三除，存其少半，取其定功，乃通分内子以为法。以分母乘积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。不尽者，等数约之而命分也。
今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问：积几何？
荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸〔31〕。
秋程人功三百尺〔32〕。问：用徒几何？
荅曰：三万三千五百八十二人，功内少一十四尺四寸〔33〕。
一千人先到，问：当受袤几何？
荅曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。以一千人一日功为实〔34〕。并渠上、下广而半之，以深乘之为法〔35〕。以渠广、深之立实为法〔36〕。实如法得袤尺〔37〕。
【注释】
〔1〕城：此指都邑四周用以防守的墙垣。
〔2〕垣：墙，矮墙。《说文》：“垣，墙也。”李籍云：“墉也。”
〔3〕堤：堤防，沿江河湖海用土石修筑的挡水工程。《韩非子·喻老》：“千丈之堤，以蝼蚁之穴溃。”李籍云：堤，“防也”。
〔4〕沟：田间水道。《周礼·考工记·匠人》：“九夫为井。井间广四尺，深四尺谓之沟。”李籍引《释名》曰：“田间之水曰沟。沟，搆也，纵横相交搆。”
〔5〕堑：坑，壕沟，护城河。《说文》：“堑，坑也。”《墨子·备城门》：“堑中深丈五，广比肩。”李籍云：“长于沟也。水之绕城者。”
〔6〕渠：人工开挖的壕沟，水道。《说文》：“渠，水所居。”王筠句读：“河者，天生之；渠者，人凿之。”李籍云：“长于堑也。水之通运者。”
〔7〕城、垣、堤是地面上的土石工程，沟、堑、渠是地面下的水土工程，然而在数学上它们的形状完全相同：上、下两底是互相平行的长方形，它们的长相等而宽不等，两侧为相等的两长方形，两端为垂直于地面的全等的等腰梯形，如图5-1（1）。因而《九章算术》说它们“同术”，即有同一求积公式。以下以“堑”代表这种多面体。
图5-1 堑及其出入相补
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔8〕损广补狭：减损长的，补益短的。因为堑的上下广不相等，故损广补狭，以求其平均值。如图5-1（2）。“损广补狭”，下条注称为“以盈补虚”，都是出入相补原理的不同表达方式。用语不同，反映了时代的差异，必有刘徽“采其所见”者。
〔9〕若：或。 袤：李籍云“长也”。记堑的上、下广分别是a1，a2，袤是b，高或深是h，则其体积
〔10〕中平之广：广的平均值。中平，中等，平均。
〔11〕立幂：这里指直立的面积，与少广章开立方术刘徽注的“立幂”指体积，是不同的。
〔12〕立实：这里指直立的面积的实。按：“立幂”、“立实”在少广章、商功章注文中凡数见，各有歧义。少广章开立方术刘徽注中，“立幂”与“平幂”相对应，前者指立方体体积，后者指平面面积。这里的“立实”与“立幂”相对应，深广相乘为立幂，又乘以袤，则为立实。下穿渠问注中有一“立实”，为深广之积。下穿地求广问术文分注中有两“立实”，皆为深、袤相乘之积。此两“立实”在下总注中皆作“立幂”。这种一实两名的情况很可能反映了时代的不同，即前者是刘徽前的名称，刘徽“采其所见”，写入注中，后者系刘徽使用的名称。
〔13〕由城体积公式（5-1），其体积
〔14〕由垣体积公式（5-1），其体积
〔15〕由堤体积公式（5-1），其体积
〔16〕冬程人功四百四十四尺：一人在冬季的标准工作量是444尺3。《晋书·律历志》：“暨于秦汉乃以孟冬为岁首。”说明秦汉时期以冬季第一个月十月为岁首，故将冬程人功作为第一个程功问题。冬程人功，就是一人在冬季的程功，即标准工作量。程功，标准的工作量。
〔17〕徒：服徭役者。《周礼·天官·冢宰》：“胥十有二人，徒百有二十人。”郑玄注：“此民给徭役者。”
〔18〕《九章算术》的方法是：用徒人数=堤积尺÷冬程人功。
〔19〕由沟体积公式（5-1），其体积
〔20〕春程人功七百六十六尺：一人在春季的标准工作量是766尺3。春程人功，就是一人在春季的标准工作量。
〔21〕并：合并，吞并，兼。这里是说兼有，其中合并了出土功。 定功：确定的工作量。春季每人的标准工作量是766尺3，但挖沟时需要自己出土，占工作量的，因此确定的工作量是。
〔22〕实际的工作量是春程人功的，因此定功为。
〔23〕《九章算术》的算法是：。
〔24〕法里有分，实里通之：当法有分数的时候，要用法的分母将实通分。设由法化成的假分数为，则用徒人数=。
〔25〕由堑体积公式（5-1），其体积
八寸，即8尺2寸=800寸3。“八寸”实际上是表示长、宽各1尺，高8寸的长方体的体积。
〔26〕方尺中二分四厘五毫，弃之：2尺2分4尺2厘5尺2毫，相当于长、宽各1尺，高2分4厘5毫的长方体的体积，即寸3。舍弃寸3，以10 943尺3800寸3作为堑的体积。
〔27〕夏程人功八百七十一尺：一人在夏季的标准工作量是871尺3。夏程人功，就是一人在夏季的标准工作量。
〔28〕此谓夏程人功中兼有出土功，沙砾水石功。砾：李籍引《释名》曰：“小石曰砾。”
〔29〕定功为。
〔30〕《九章算术》的算法是：用徒人数=堑积尺÷［夏程人功×。
〔31〕由穿渠体积公式（5-1），其体积
〔32〕秋程人功三百尺：一人在秋季的标准工作量是300尺3。秋程人功，就是一人在秋季的标准工作量。
〔33〕用徒为10 074 585尺3600寸÷300尺3/人，接近33 582人。若将穿渠的土方积加14尺3400寸3，则（10 074 585尺3600寸3+14尺3400寸3）÷300尺3/人=33 582人。故云功内少14尺3400寸3。
〔34〕此谓以300尺3×1 000=300 000尺3为实。
〔35〕此即以为法。
〔36〕立实：这里指宽、深形成的直立的面积。
〔37〕此是公式（5-1）的逆运算：。
【译文】
城、垣、堤、沟、堑、渠都使用同一术
术：将上、下宽相加，取其一半。这是减损宽广的，补益狭窄的。以高或深乘之，又以长乘之，就是体积的尺数。按：此术中“将上、下宽相加，取其一半”，这是以盈余的补益虚缺的，得到宽的平均值。“以高或深乘之”，就得到一头竖立的面积。“又以长乘之”，便得到立体的体积，所以就是体积的尺数。
假设有一堵城墙，下底宽是4丈，上顶宽是2丈，高是5丈，长是126丈5尺。问：它的体积是多少？
答：1 897 500尺3。
假设有一堵垣，下底宽是3尺，上顶宽是2尺，高是1丈2尺，长是22丈5尺8寸。问：它的体积是多少？
答：6 774尺3。
假设有一段堤，下底宽是2丈，上顶宽是8尺，高是4尺，长是12丈7尺。问：它的体积是多少？
答：7 112尺3。
假设冬季每人的标准工作量是444尺3，问：用工多少？
答：人。
术：以体积的尺数作为实，每人的标准工作量作为法。实除以法，就是用工人数。
假设有一条沟，上宽是1丈5尺，下底宽是1丈，深是5尺，长是7丈。问：它的容积是多少？
答：4 375尺3。
假设春季每人的标准工作量是766尺3，其中包括出土的工作量。确定的工作量是尺3。问：用工多少？
答：人。
术：布置一人本来的标准工作量，除去它的，余数作为法。“除去它的”，就是乘以4，除以5。以沟的容积尺数作为实。实除以法，就是用工人数。按：此术中，“布置一人本来的标准工作量，除去它的”，就是乘以4，除以5。除去出土的工作量，留取一人确定的工作量。于是通分，纳入分子，作为法。用法的分母乘沟的体积尺数作为实，是因为如果法中有分数，就在实中将其通分。所以，实除以法，就是用工人数。这里用一人完成的土方体积尺数除众人完成的土方体积尺数，所以如果求出用工人数后还有剩余，就用等数约简之而命名一个分数。
假设有一道堑，上宽是1丈6尺3寸，下底宽是1丈，深是6尺3寸，长是13丈2尺1寸。问：它的容积是多少？
答：10 943尺3800寸3。这里“八寸”，是说挖地1方尺而深8寸。这一容积中还有余数为方尺中2分4厘5毫，将其舍去。处理问题时，贵在遵从简易的原则，没有一成不变的规矩。
假设夏季每人的标准工作量是871尺3，其中包括出土的工作量，沙砾水石的工作量。确定的工作量是尺3。问：用工多少？
答：人。
术：布置一人本来的标准工作量，除去出土的工作量即它的，又除去沙砾水石的工作量即它的，余数作为法。以堑的容积尺数作为实。实除以法，就是用工人数。按：此术中，“布置一人本来的标准工作量，除去它的”，就是乘以4，除以5。“又除去沙砾水石的工作量”，就是乘以1，除以3，存下其。留取一人确定的工作量，于是通分，纳入分子，作为法。用法的分母乘体积尺数作为实，是因为如果法中有分数，就在实中将其通分。所以，实除以法，就是用工人数。除不尽的，就用等数约简之而命名一个分数。
假设挖一条水渠，上宽是1丈8尺，下底宽是3尺6寸，深是1丈8尺，长是51 824尺。问：挖出的土方体积是多少？
答：10 074 585尺3600寸3。
假设秋季每人的标准工作量是300尺3，问：用工多少？
答：33 582人，而总工作量中少了14尺3400寸3。
如果1 000人先到，问：应当领受多长的渠？
答：154丈3尺寸。
术：以一人标准工作量的体积尺数乘先到人数，作为实。以1 000人一天的工作量作为实。将水渠的上、下宽相加，取其一半，以深乘之，作为法。以水渠的宽与深形成的竖立的面积作为法。实除以法，就得到长度尺数。
今有方堢〔1〕堢者〔2〕，堢城也。，音丁老切，又音纛〔3〕，谓以土拥木也。方一丈六尺，高一丈五尺。问：积几何？
荅曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺〔4〕。
今有圆堢〔5〕，周四丈八尺，高一丈一尺。问：积几何？
荅曰：二千一百一十二尺。于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。 臣淳风等谨按：依密率，积二千一十六尺。
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一〔6〕。此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术，当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一〔7〕。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，八十八而一〔8〕。
【注释】
〔1〕方堢：即今之正方柱体，如图5-2。，土堡。
图5-2 方堢
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕堢：李籍云：“小城也。”
〔3〕纛（dào）：古代用雉尾或牦牛尾做的舞具、帝王车上的饰物，亦作仪仗、军队中的大旗。
〔4〕设方堢每边长为a，高h，则其体积
V=a2h。（5-2）
将此例题的数值代入，得该方堢的体积为
V=a2h=162×15=3 840（尺3）。
〔5〕圆堢：即今之圆柱体，如图5-3。
图5-3 圆堢
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕设圆堢的底周长为L，高h，则其体积
〔7〕刘徽以徽术将（531）式修正为
〔8〕李淳风等将（531）式修正为
【译文】
假设有一方堢，堢是堢城，，音丁老切，又音纛，是说用土围裹着一根木桩。它的底是边长1丈6尺的正方形，高是1丈5尺。问：其体积是多少？
答：3 840尺3。
术：底面边长自乘，以高乘之，就是体积尺数。
假设有一圆堢，底面圆周长是4丈8尺，高是1丈1尺。问：其体积是多少？
答：2 112尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是2 016尺3。
术：底面圆周长自乘，以高乘之，除以12。此章中各术也都以周3径1作为率，都是错误的。用我的徽术，应当以底面圆周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以314。此处之圆面积也如同圆田之面积。因此求它的幂也如圆田，然后以高乘面积。 臣淳风等按：依照密率，以7乘之，除以88。
今有方亭〔1〕，下方五丈，上方四丈，高五丈。问：积几何？
荅曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。
术曰：上、下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一〔2〕。此章有堑堵、阳马，皆合而成立方，盖说算者乃立棋三品〔3〕，以效高深之积〔4〕。假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺〔5〕。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，四角阳马四〔6〕。上、下方相乘为三尺，以高乘之，约积三尺〔7〕，是为得中央立方一，四面堑堵各一〔8〕。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺〔9〕，是为中央立方一，四面堑堵各二，四角阳马各三也〔10〕。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一〔11〕。凡三品棋皆一而为三〔12〕。故三而一，得积尺〔13〕。用棋之数：立方三，堑堵、阳马各十二，凡二十七，棋十三〔14〕。更差次之〔15〕，而成方亭者三，验矣〔16〕。 为术又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四阳马也〔17〕。上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵也〔18〕。并之，以为方亭积数也〔19〕。
今有圆亭〔20〕，下周三丈，上周二丈，高一丈。问：积几何？
荅曰：五百二十七尺九分尺之七。于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。 按密率〔21〕，为积五百三尺三十三分尺之二十六。
术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一〔22〕。此术周三径一之义，合以三除上、下周，各为上、下径，以相乘；又各自乘，并，以高乘之，三而一，为方亭之积〔23〕。假令三约上、下周，俱不尽，还通之，即各为上、下径。令上、下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分〔24〕。此合分母三相乘得九，为法，除之〔25〕。又三而一，得方亭之积〔26〕。从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂〔27〕。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积〔28〕。前求方亭之积，乃以三而一，今求圆亭之积〔29〕，亦合三乘之〔30〕。二母既同，故相准折〔31〕。惟以方幂四乘分母九，得三十六，而连除之〔32〕。于徽术，当上、下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一〔33〕。此圆亭四角圆杀〔34〕，比于方亭，二百分之一百五十七〔35〕。为术之意，先作方亭，三而一，则此据上、下径为之者，当又以一百五十七乘之，六百而一也〔36〕。今据周为之，若于圆堢，又以二十五乘之，三百一十四而一，则先得三圆亭矣〔37〕。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔38〕。
【注释】
〔1〕方亭：即今之正四锥台，或方台，如图5-4。李籍云：“方亭者，其积之形如亭之方者。”亭，本是古代设在路旁供行人休息、食宿的处所。《说文解字》：“亭，民所安定也。”李籍引《释名》曰：“亭，停也。人所停集也。”
图5-4 方亭
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕设方亭的上底边长为a1，下底边长为a2，高h，则其体积公式为
〔3〕说算者：研究数学的学者。这里主要指刘徽之前的数学家。 棋三品：即三品棋，是指广、长、高均为1尺的正方体、堑堵、阳马，如图5-5，是为《九章算术》、秦汉数学简牍时代直到刘徽之前人们推导多面体体积公式所使用的三种基本立体模型。品，种类。
图5-5 三品棋
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕以效高深之积：以三品棋推证由高、深形成的多面体体积。效，通校（jiào），考核，考查。《庄子·列御寇》：“彼将任我以事，而校我以功，吾是以惊。”又作验证，证明。《淮南子·脩务训》：“哭者，悲之效也。”高诱注：“效，验也。”
〔5〕“假令方亭”四句：假设方亭的上底边长1尺，下底边长3尺，高1尺，如图5-6（1）。这是一枚标准型方亭。此下是刘徽记述的《九章算术》时代利用三品棋以棋验法推导（5-4-1）式的方法。
图5-6 方亭之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔6〕标准型方亭含有三品棋的个数是位于中央的1个立方体，位于四面的4个堑堵，位于四角的4个阳马。
〔7〕这里构造第一个长方体，宽是标准型方亭上底边长1尺，长是其下底边长3尺，高是其高1尺，如图5-6（2）。约积三尺：得到其体积是a1a2h=1×3×1=3（尺3）。约，求取，见少广章开立圆术李淳风等注释的注解〔33〕。
〔8〕第一个长方体含有中央正方体1个，四面堑堵各1个。
〔9〕再构造第二个长方体，实际上是一个方柱体，底的边长是标准型方亭下底边长3尺，高是其高1尺，如图5-6（3），其体积是=32×1=9（尺3）。
〔10〕第二个长方体含有中央正方体1个，四面堑堵各2个，四角阳马各3个。
〔11〕再构造第三个长方体，实际上是以标准方亭的上底边长1尺为边长的正方体，如图5-6（4），其体积是=12×1=1（尺3），它就是1个中央正方体。
〔12〕凡三品棋皆一而为三：所构造的三个长方体共有中央立方体3个，四面堑堵12个，四角阳马12个，与标准方亭所含中央立方1个、四面堑堵4个、四角阳马4个相比较，构成标准方亭的三品棋1个都变成了3个。三个长方体的体积总共是。
〔13〕故三而一，得积尺：所以除以3，就得（5-4-1）式，这就是一个标准方亭的体积。
〔14〕此谓三个长方体的三品棋分别是3个正方棋，12个堑堵棋，12个阳马棋，总数是27个，可以合成13个正方棋。此取法国林力娜（K. Chemla）的意见。
〔15〕更差（cī）次之：将这13个正方棋按照一定的类别和次序重新组合。差次，是指等级次序。《史记·商君列传》：“明尊卑爵秩等级，各以差次名田宅。”
〔16〕此13个立方棋重新构成3个标准型方亭，又验证了（5-4-1）式。这就是关于方亭的棋验法。显然，这种方法只适应于标准型方亭，因为对一般的方亭，尽管可以构造三个长方体，但其中所含的3个立方体、12个堑堵、12个阳马，因为都不是三品棋，其广、袤、高不相等，无法重新组合成三个方亭。
〔17〕这是刘徽在证明了阳马的体积公式（见下阳马术刘徽注）之后，以有限分割求和法推导方亭的体积公式。如图5-7，将方亭分解成中央1个长方体（实际上是一个方柱体），四面4个堑堵，四角4个阳马。每个阳马的底面是以为边长的正方形，由阳马体积公式，其体积是，4个阳马的体积是。
图5-7 方亭的有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔18〕中央长方体的底面是以a1为边长的正方形，其体积是。每个堑堵的底面的长是a1，宽是，由堑堵体积公式（见下堑堵术），其体积是，4个堑堵的体积是a1（a2-a1）h。中央长方体与4个堑堵的体积之和是。
〔19〕将四角4阳马、中央长方体、四面4堑堵的体积相加，便得到方亭的体积
〔20〕圆亭：即今之圆台，如图5-8（1）。
图5-8 圆亭
（采自译注本《九章算术》）
〔21〕按密率：此注之作者难以定论，南宋本、杨辉本不具作者，戴震辑录本作淳风等注。参见开立圆术例题1注释〔2〕。
〔22〕设圆亭的上底边长为L1，下底边长为L2，高h，则其体积公式为
〔23〕这是以周3径1之率，作圆亭的外切方亭，此方亭的上、下底的边长分别为，由公式（541）便求出此方亭的体积。
〔24〕此谓在不可除尽的情况下，计算，它是3个以圆亭上周L1，下周L2分别为上、下底边长的大方亭的体积。
〔25〕计算大方亭时没有以3除周长，故计算3个外切方亭的体积时需以32=9除之。这种做法在后来的数学著作中称为“寄母”。
〔26〕圆亭的一个外切方亭的体积是。
〔27〕从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂：记圆幂为S圆，方幂为S方，圆亭体积为V圆亭，方亭体积为V方亭，此即
V方亭:V圆亭=S方:S圆。（5-6）
是为祖暅之原理发展过程中的一个应用。
〔29〕三而一：由于方亭体积公式（5-4-1）有系数，故以3除之。
〔30〕三：指相对于方率4之圆率3，即π=3。
〔31〕准折：恰好抵消。先“三而一”，后“三乘之”，故互相抵消。
〔32〕此谓只以32×4=36一并除即可，即由得到（5-5-1）式。
〔33〕刘徽以徽术将（5-5-1）修正为
〔34〕杀（shài）：差（cī），差等，见卷四开立圆术刘徽注第一段注解〔19〕。
〔35〕刘徽将（5-7-1）式修正为
〔36〕设圆亭的上、下底的直径分别为d1，d2，刘徽认为其外切方亭的体积为
〔37〕根据圆堢的体积公式（5-3-2），3个圆亭的体积应为。
〔38〕李淳风等将（5-5-1）修正为
【译文】
假设有一个方亭，下底面是边长为5丈的正方形，上底面是边长为4丈的正方形，高是5丈。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：上、下底面的边长相乘，又各自乘，将它们相加，以高乘之，除以3。此章有堑堵、阳马等立体，都可以拼合成立方体。所以治算学的人就设立三品棋，为的是推证以高深形成的立体体积。假设一个方亭，上底是边长为1尺的正方形，下底是边长为3尺的正方形，高是1尺。它所使用的棋是：中央1个正方体，四面4个堑堵，四角4个阳马。上、下底的边长相乘，得到3尺2，以高乘之，求得体积3尺3。这就得到中央的1个正方体，四面各1个堑堵。下底边长自乘是9尺3，以高乘之，得到体积9尺3。这就是中央的1个正方体，四面各2个堑堵，四角各3个阳马。上底边长自乘，以高乘之，得到体积1尺3，又为中央的1个正方体。那么，凡是三品棋，1个都变成了3个。所以除以3，便得到方亭的体积尺数。用三品棋的数目：正方体3个，堑堵、阳马各12个，共27个，能合成13个正方棋。重新按一定顺序将它们组合，可成为3个方亭，这就推验了方亭的体积公式。 造术又可以使上、下两底边长的差自乘，以高乘之，除以3，就是四角四阳马的体积；上、下底边长相乘，以高乘之，就是中央一个长方体与四面四个堑堵的体积。两者相加，就是方亭的体积尺数。
假设有一个圆亭，下底周长是3丈，上底周长是2丈，高是1丈。问：其体积是多少？
答：尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。 依照密率，体积是尺3
术：上、下底周长相乘，又各自乘，将它们相加，以高乘之，除以36。此术依照周3径1之义，应当以3除上、下底的周长，分别作为上、下底的直径。将它们相乘，又各自乘，相加，以高乘之，除以3，就成为圆亭的外切方亭的体积。如果以3约上、下底的周长，都约不尽，就回头将它们通分，将它们分别作为上、下底的直径。使上、下底的直径相乘，又各自乘，相加，以高乘之，就是3个方亭体积的积分。这里还应当以分母3相乘得9，作为法，除之。再除以3，就得到一个方亭的体积。从方亭求圆亭的体积，也如同从正方形的面积中求其内切圆的面积。于是乘以圆率3，除以方率4，就得到圆亭的体积。前面求方亭的体积是除以3。现在求圆亭的体积，又应当乘以3。二数既然相同，所以恰好互相抵消，只以正方形的面积4乘分母9，得36而合起来除之。用我的徽术，应当将上、下底的周长相乘，又各自乘，相加，以高乘之，又乘以25，除以942。这里的圆亭的四个角收缩成圆，它与方亭相比，是。造术的意思是：先作一个方亭，除以3。如果这是根据上、下底的周长作的方亭，应当又乘以157，除以600。现在是根据圆亭上、下底的周长作的方亭，如同对圆堢那样，乘以25，除以314。那么就先得到了3个圆亭。所以将除以314变为除以942，就是用3与314一并除。淳风等按：依照密率，乘以7，除以264。
今有方锥〔1〕，下方二丈七尺，高二丈九尺。问：积几何？
荅曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四阳马〔3〕。如术为之，用十二阳马，成三方锥〔4〕，故三而一，得方锥也。
今有圆锥〔5〕，下周三丈五尺，高五丈一尺。问：积几何？
荅曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。 依密率〔6〕，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。
术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔7〕。按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方今自乘，以高乘之，令三而一，得大方锥之积〔8〕。大锥方之积合十二圆矣〔9〕。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二得三十六，而连除〔10〕。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一〔11〕。圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七〔12〕。命径自乘者，亦当以一百五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也〔13〕。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔14〕。
【注释】
〔1〕方锥：如图5-9。李籍云：“方锥者，其积之形如锥之方者。”
图5-9 方锥
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕设方锥的下方为a，高为h，则其体积为
〔3〕这是刘徽记述的《九章算术》时代以棋验法推导（5-8）式的方法。取一个标准型方锥：下底边长2尺，高1尺。它可以分解为4个阳马棋，如图5-10（1）。
图5-10 方锥之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕取12个阳马棋，可以合成4个正方棋，它可以重新拼合成3个标准方锥。如图5-10（2）。
〔5〕圆锥：如图5-11。
图5-11 圆锥
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕依密率：此注作者亦难定论，参见圆亭问注释。
〔7〕设圆锥的下底周长为L，高为h，则其体积为
〔8〕这是取圆锥下周长L为下底边长，作一大方锥，如图5-12。其体积为
图5-12 圆锥与大方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔9〕此谓以周3径1为率，大方锥下底的面积L2恰为12个圆锥底面的圆，见图5-12。 大锥：大方锥之省称。 方：下方。
〔10〕这里实际上是通过比较圆锥与大方锥的底面积由后者的体积推导前者的体积，亦为祖暅之原理发展过程中的一个应用。设L2=S大圆，圆锥的底面积为S圆，由于S大圆:S圆=12:1，故圆锥体积为，此即（591）式。
〔11〕刘徽以徽术将（5-9-1）修正为
〔12〕设圆锥体积为V圆锥，外切方锥体积为V方锥，如图5-13，刘徽认为
图5-13 圆锥与外切方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔13〕设圆锥下底的直径为d，刘徽认为其外切方锥的体积为
〔14〕李淳风等将（5-9-1）修正为
【译文】
假设有一个方锥，下底是边长为2丈7尺的正方形，高是2丈9尺。问：其体积是多少？
答：7 047尺3。
术：下底边长自乘，以高乘之，除以3。按：此术中假设方锥下底的边长是2尺，高是1尺，即可分解成4个阳马。如方亭术那样处理这个问题：用12个阳马可以合成3个方锥，所以除以3，便得到方锥的体积。
假设有一个圆锥，下底周长3丈5尺，高是5丈1尺。问：其体积是多少？
答：尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。依照密率，体积是尺3。
术：下底周长自乘，以高乘之，除以36。按：此术中以圆锥的下底周长作为方锥下底的边长。现方锥下底的边长自乘，以高乘之，除以3，得到大方锥的体积。大方锥的底面积折合12个圆锥的底圆。现在求一个圆，又应当除以12。所以使3乘以12，得36而合起来除。用我的徽术，应当将下底的周长自乘，以高乘之，又乘以25，除以942。圆锥与方锥的体积相比，也是。如果使圆锥下底的直径自乘，也应当乘以157，除以600，其原理如同圆亭术。 淳风等按：依照密率，乘以7，除以264。
今有堑堵〔1〕，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问：积几何？
荅曰：四万六千五百尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，二而一〔2〕。邪解立方得两堑堵〔3〕。虽复随方〔4〕，亦为堑堵，故二而一〔5〕。此则合所规棋〔6〕。推其物体，盖为堑上叠也〔7〕。其形如城，而无上广〔8〕，与所规棋形异而同实〔9〕。未闻所以名之为堑堵之说也〔10〕。
【注释】
〔1〕堑堵：如图5-14所示。
图5-14 堑堵
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕设堑堵的广、袤、高分别为a，b，h，则其体积为
〔3〕此谓沿正方体相对两棱将其斜剖开，便得到两堑堵。
〔4〕随（tuǒ）方：即椭方，长方体。随，音义同“椭”，古此二字相通。《淮南子·齐俗训》：“窥面于盘水则员，于杯则随。面形不变，其故有所员、有所随者，所自窥之异也。”吕大临曰：“‘随’当读‘椭’，圜而长也。”《群书治要》引作“于杯，水即椭”。
〔5〕此谓将随方斜剖，也得到两堑堵，如图5-15，因此容易得出（5-12）式。
图5-15 邪解随方为二堑堵
〔6〕所规棋：所规定的棋，即《九章算术》中的堑堵。
〔7〕叠：堆积。此谓推究其形状，大体像叠在堑上的物体，如图5-16。刘徽提出了另一种形状的堑堵。
图5-16 堑上之叠
（采自译注本《九章算术》）
〔8〕叠在堑上的堑堵就是城的上广为零的情形。
〔9〕这种多面体与所规定的棋，形状稍有不同，而其体积公式是相同的。
〔10〕此谓没有听说过将其称作堑堵的原因。这再次表明刘徽具有知之为知之，不知为不知的高贵品质。
【译文】
假设有一道堑堵，下宽是2丈，长是18丈6尺，高是2丈5尺。问：其体积是多少？
答：46 500尺3。
术：宽与长相乘，以高乘之，除以2。将一个正方体斜着剖开，就得到2个堑堵。更进一步，即使是一个长方体被剖开，也得到2个堑堵。所以除以2。这与所规定的棋吻合。推断它的形状，大体是叠在堑上的那块物体。它的形状像城，但是没有上宽。与所规定的棋形状稍异而体积公式相同，没有听说将其叫作堑堵的原因。
今有阳马〔1〕，广五尺，袤七尺，高八尺。问：积几何？
荅曰：九十三尺少半尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此术阳马之形，方锥一隅也〔3〕。今谓四柱屋隅为阳马〔4〕。假令广、袤各一尺，高一尺，相乘之，得立方积一尺。邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝〔5〕，阳马居二，鳖腝居一，不易之率也〔6〕。合两鳖腝成一阳马〔7〕，合三阳马而成一立方，故三而一〔8〕。验之以棋，其形露矣〔9〕。悉割阳马，凡为六鳖腝〔10〕。观其割分，则体势互通，盖易了也〔11〕。 其棋或脩短，或广狭，立方不等者〔12〕，亦割分以为六鳖腝〔13〕。其形不悉相似，然见数同，积实均也〔14〕。鳖腝殊形，阳马异体〔15〕。然阳马异体，则不可纯合〔16〕。不纯合，则难为之矣〔17〕。何则？按：邪解方棋以为堑堵者〔18〕，必当以半为分，邪解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一从一横耳〔19〕。设为阳马为分内，鳖腝为分外〔20〕。棋虽或随脩短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已〔21〕。其使鳖腝广、袤、高各二尺〔22〕，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋〔23〕。又使阳马之广、袤、高各二尺〔24〕，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋〔25〕。棋之赤、黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺〔26〕。于是中攽其广、袤，又中分其高〔27〕。令赤、黑堑堵各自适当一方〔28〕，高一尺、方一尺，每二分鳖腝，则一阳马也〔29〕。其余两端各积本体，合成一方焉〔30〕。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一〔31〕。虽方随棋改，而固有常然之势也〔32〕。按：余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣〔33〕。其于理也岂虚矣〔34〕？若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也〔35〕。半之弥少，其余弥细〔36〕。至细曰微，微则无形〔37〕。由是言之，安取余哉〔38〕？数而求穷之者，谓以情推，不用筹算〔39〕。鳖腝之物，不同器用〔40〕，阳马之形，或随脩短广狭。然不有鳖腝，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类〔41〕，功实之主也〔42〕。
今有鳖腝，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问：积几何？
荅曰：二十三尺少半尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，六而一〔43〕。按：此术腝者，臂骨也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马得两鳖腝，之见数即阳马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。
【注释】
〔1〕阳马：本是房屋四角承短椽的长桁条，其顶端刻有马形，故名。何晏《景福殿赋》：“承以阳马，接以员方。”李善注云：“阳马，四阿长桁也。马融《梁将军西第赋》曰：‘腾极受檐，阳马承阿。’”椽（chuán），放在檩上架着屋顶的木条。桁（hénɡ），檩。阿（ē），屋栋。张协《七命》：“阴虬负檐，阳马承阿。”吕向注：“马为阳物，谓刻作其象负荷檐梁之势，承接木石之曲。”它实际上是一棱垂直于底面，且垂足在底面一角的直角四棱锥，如图5-17所示。
图5-17 阳马
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕设阳马的广、袤、高分别为a，b，h，则其体积为
〔3〕此谓4个阳马合成一个方锥，所以阳马的形状居于方锥的一角，如图5-18。
图5-18 四阳马合为一方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕四柱屋隅为阳马：四柱屋屋角的部件为阳马。沈康身认为“柱”通“注”。四注屋隅是阳马，见图5-19。
图5-19 四注屋隅
（采自沈康身《九章算术导读》）
〔5〕“邪解堑堵”三句：斜解一个堑堵，得到一个阳马与一个鳖腝，如图5-20。鳖腝，有下广无下袤，有上袤无上广，有高的四面体，实际上它的四面都是勾股形，其形状如图5-21（1）。腝，通臑。李籍云：“‘臑’，或作‘腝’，非是。”似不妥。《玉篇》：“‘腝’，那到切，臂节也。”《唐韵》、《广韵》同。
图5-20 邪解堑堵得一阳马一鳖腝
（采自译注本《九章算术》）
图5-21 鳖腝、阳马与立方
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕这是著名的刘徽原理：在一个堑堵中，阳马与鳖腝的体积之比恒为2:1。此原理尽管是在广、长、高相等的堑堵、阳马、鳖腝的情况下提出的，但刘徽在下面说：“棋虽或随脩短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者。”可见它对任意情况都是适应的。记阳马体积为V阳马，鳖腝体积为V鳖腝，此即：
V阳马:V鳖腝=2:1（5-14）
是为刘徽多面体理论的基础。
〔7〕此谓两个鳖腝合成一个阳马，如图5-21（2）。
〔8〕此谓三个阳马合成一个正方体，如图5-21（3），因此正方体体积除以3就是一个阳马的体积。
〔9〕此谓使用棋验法，（5-14）很明显是成立的。 形：形势，态势。《孙子兵法·虚实》：“夫兵形象水。”孟氏注：“兵之形势如水流，迟速之势无常也。” 露：显露。
〔10〕此谓每个阳马都分解成两个鳖腝，则一个正方体分解成六个鳖腝，如图5-21（3）。 悉：全，都。《书经·汤誓》：“格尔众庶，悉听朕言。”
〔11〕体势互通：指两立体的全等或对称，其体积当然相等。因此一个阳马的体积是正方体的，即（5-13）式；一个鳖腝的体积是正方体的，即下一问的（5-15）式。以上这是棋验法。
〔12〕刘徽由此开始在阳马或脩短或广狭，广、长、高不相等即a≠b≠h的情形下讨论刘徽原理。
〔13〕记广、长、高不相等的长方体为ABCDEFGH，当然，它可以分解为三个阳马AHEFG，ABGFC，ADCFE，如图5-22（1），或六个鳖腝AHEF，AHGF，ABGF，ABCF，ADCF，ADEF，如图5-22（2）。
图5-22 长方体分解为阳马和鳖腝
（采自译注本《九章算术》）
〔14〕“其形不悉相似”三句：这三个阳马既不全等，也不对称，六个鳖腝两两对称，却三三不全等。然而只要它们三度的数组相同，则其体积分别相等。相似，相类，相像。《周易·系辞上》：“与天地相似，故不违。”见（xiàn）数，显现的数。这里指广、袤、高这三度显现的数值。均，等，同。《玉篇》：“均，等也。”《国语·楚语下》：“君王均之，群臣惧矣。”韦昭注：“均，同也。”
〔15〕刘徽进一步说明阳马、鳖腝的形状分别不同。
〔16〕然阳马异体，则不可纯合：然而这样分割出的阳马有不同的形态，那就不可能完全重合。
〔17〕不纯合，则难为之矣：不完全重合，那么使用上述方法是困难的。换言之，在广、长、高不相等的情况下，用棋验法难以解决这个问题。
〔18〕方棋：指“随方棋”，即“椭方棋”。将随方棋分割成两个堑堵。
〔19〕一从一横耳：此时分割出来的阳马，一个是横的，则另一个就是纵的。将三个阳马的底面放置于一个平面，使其高在同一直线上，垂足重合，如图5-23。显然，若将阳马ABGFC看成纵的，则AHEFC或ADCFE就是横的。既然一纵一横，就不可能全等或对称。
图5-23 阳马一纵一横
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔20〕设为阳马为分内，鳖腝为分外：此谓将堑堵分割成一个阳马，一个鳖腝。以阳马为分内，鳖腝为分外。为，训“以”。王引之《经传释词》卷二：“‘为’，犹‘以’也。”
〔21〕此谓在棋是由随方产生，出现脩短广狭的情况下，堑堵中的阳马与鳖腝仍然满足（5-14）式。换言之，在阳马、鳖腝殊形异体的情况下，它们的体积公式与非殊形异体的情况完全相同。随，通椭（tuǒ）。参见堑堵问注释。知，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔22〕刘徽取一个广、袤、高各2尺的鳖腝。刘徽从这里开始了刘徽原理的证明。他仍使用广、长、高相等的棋，这可能受他手头棋的限制。下面将看到，这并不影响论述的一般性。因此，以下的图均按一般情形绘制。
〔23〕用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋：将鳖腝分割成广、袤、高各1尺的2个堑堵棋Ⅱ′，Ⅲ′，2个鳖腝棋Ⅳ′，Ⅴ′，都用赤色，如图5-24（1）。赤：浅红色。《礼记·月令》：天子“乘朱路，驾赤骝”。孔颖达疏：“色浅曰赤，色深曰朱。”亦泛指红色。
图5-24 堑堵、阳马、鳖腝的分割
（采自译注本《九章算术》）
〔24〕又使阳马之广、袤、高各二尺：又取一个广、袤、高各2尺的阳马。
〔25〕“用立方之棋一”三句：将阳马分割成广、袤、高各1尺的1个立方棋Ⅰ，2个堑堵棋Ⅱ，Ⅲ，2个阳马棋Ⅳ，Ⅴ，都用黑色，如图5-24（2）。
〔26〕“棋之赤、黑”三句：将赤鳖腝与黑阳马拼接成广、长、高各2尺的堑堵。
〔27〕中攽（bān）其广、袤，又中分其高：从中间分割堑堵的广和袤，又从中间分割堑堵的高。这相当于用三个互相垂直的平面平分堑堵的广、袤、高，如图5-24（3）。堑堵总共分割成1个立方棋Ⅰ，4个堑堵棋Ⅱ，Ⅲ，Ⅱ′，Ⅲ′，2个阳马棋Ⅳ，Ⅴ，2个鳖腝棋Ⅳ′，Ⅴ′。攽，又音bīn，分。《说文解字》：“攽，分也。”
〔28〕令赤、黑堑堵各自适当一方：将赤堑堵与黑堑堵恰好分别合成一个立方体。此谓将赤堑堵Ⅱ′与黑堑堵Ⅱ恰好合成立方体Ⅱ-Ⅱ′，如图5-24（4），赤堑堵Ⅲ′与黑堑堵Ⅲ恰好合成立方体Ⅲ-Ⅲ′，如图5-24（5），共2个立方体。刘徽所用的棋是正方体，但实际上是长方体。就字面而言，“令赤黑堑堵各自适当一方”还有另一种解释，即两个赤堑堵Ⅱ′，Ⅲ′拼在一起，两个黑堑堵Ⅱ，Ⅲ拼在一起。这在广、袤、高相等的情况下可以拼接成正方体。然而在a≠b≠h时，两个赤堑堵Ⅱ′，Ⅲ′与两个黑堑堵Ⅱ，Ⅲ都无法分别拼接成立方，如图5-25。日本三上义夫提出了以上两种可能性，但是他倾向于后者，见三上義夫《關孝和の業績と京阪の算家並に支那の演算法との關係及ぴ比較》，《東洋學報》，第20——22卷（1932——1935）。丹麦华道安则主张后者，见D.B. Wagner: An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid:Liu Hui，Third Century A.D., Historia Mathematica，6（1979）。
图5-25 赤赤堑堵黑黑堑堵无法拼合
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔29〕每二分鳖腝，则一阳马：赤、黑堑堵合成的立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′与阳马中的立方Ⅰ共三个立方，其中在赤鳖腝的每2份，相当于在黑阳马的1份。换言之，在这3个立方中，在黑阳马中与在赤鳖腝中的体积之比为2:1。
〔30〕其余两端各积本体，合成一方焉：余下的两端，先各自拼合，再合成一个立方体（实际上仍是长方体）。此谓原堑堵中除去立方和4个堑堵后所剩余的2个堑堵，分别由阳马Ⅳ和鳖腝Ⅳ′，阳马Ⅴ和鳖腝Ⅴ′构成，即Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′，如图5-24-（6）。而这两个堑堵Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′又可以合成第四个立方体（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′），如图5-24（6）。
〔31〕是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一：这就是说，与原堑堵不同类型的立方体所占的率是3，而与原堑堵结构相似的立方体所占的率是1。别种，与原堑堵不同类型即结构不同的部分，即立方棋Ⅰ，和立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′，共3个立方体。通其体：是说与原堑堵通体，即与原堑堵相似的部分，即立方体（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）。因此，与原堑堵结构不同的部分拼合成的立方的率是3，与原堑堵相似的部分拼合成的立方的率是1。
〔32〕虽方随棋改，而固有常然之势：虽然正方体变成随方，即长方体，棋也改变了，仍然有恒定的态势，即仍然是“别种而方者率居三，通其体而方者率居一”。随，通椭。常然，常态。《庄子·骈拇》：“天下有常然。常然者，曲者不以钩，直者不以绳，圆者不以规，方者不以矩。”
〔33〕余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣：如果能证明在第四个立方中能完全知道阳马与鳖腝的体积之比的部分为2:1，则在整个堑堵中阳马与鳖腝的体积之比为2:1就是确定无疑的了。这显然是数学归纳法的雏形。余数，指第四个立方体。具，完全，尽。《史记·项羽本纪》：“良乃入，具告沛公。”
〔34〕其于理也岂虚矣：这在数理上难道是虚假的吗？虚，虚假，不真实。
〔35〕“若为数而穷之”三句：若要从数学上穷尽它，就取堑堵剩余部分的广、长、高，平分之，那么又可以知道其中的以1，2作为率。换言之，在第四个立方（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）中，由于两个堑堵Ⅳ-Ⅳ′和Ⅴ-Ⅴ′与原堑堵完全相似，所以可以重复刚才的分割，从而证明在其中即原堑堵的中，属于阳马的和属于鳖腝的体积之比为2:1。
〔36〕半之弥少，其余弥细：平分的部分越小，剩余的部分就越细。
〔37〕至细曰微，微则无形：非常细就叫作微，微就不再有形体。《庄子·秋水》中河伯曰“至精无形”，北海若曰“夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也”。《淮南子·要略》：“至微之论无形也。”刘徽的“微则无形”的思想似受到《庄子》、《淮南子》的影响。另外，刘徽这里“微则无形”的思想与割圆术（卷一圆田术注）“不可割”是一致的。无形则数不能分，当然不可割。
〔38〕由是言之，安取余哉：由此说来，哪里还有剩余呢？上述这个过程可以无限地继续下去，不知道其体积之比的部分越来越小，最后达到无形，没有任何剩余的地步。换言之，在整个堑堵中证明了（5-14）式，从而用无穷小分割方法和极限思想完成了刘徽原理的证明。
〔39〕“数而求穷之者”三句：对于数学中无穷的问题，就要按数理进行推断，不能用筹算。在当时的数学水平下，尚没有无穷分割的数学表达式，故云“不用筹算”。
〔40〕鳖腝之物，不同器用：鳖腝这种物体，不同于器皿用具。《九章算术》中的诸立体，都是各种器用或土方工程的抽象，惟有鳖腝这种多面体，现实中没有任何原型。它是多面体分割的产物，是多面体理论的需要。
〔41〕锥亭之类：即方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体。刘徽在严格证明了鳖腝、阳马的体积公式之后，将锥亭之类分割成若干个长方体、堑堵、阳马、鳖腝，求其体积之和，从而解决它们的体积问题。
〔42〕功实之主：解决程功积实问题的根本。主，事物的根本。刘徽将鳖腝看成多面体体积的“功实之主”的结论与现今数学将四面体看作多面体分割的最小单元的思想完全一致。刘徽在此总结了鳖腝在多面体体积理论中的核心作用。像在前面方亭、方锥等术中已经看到的及后面羡除、刍甍、刍童等锥亭之类中将要看到的那样，刘徽是将多面体分割成长方体、堑堵、阳马、鳖腝，求它们的体积之和以解决它们的求积问题的，而阳马、鳖腝的体积公式的证明必须使用无穷小分割方法，这就把多面体体积理论建立在无穷小分割基础之上。近代数学大师高斯（Gauss，1777——1855）曾提出一个猜想：多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不是不可能的？这一猜想构成了希尔伯特（Hilbert，1861——1943）《数学问题》（1900）第三问题的基础。他的学生德恩作了肯定的回答。这与刘徽的思想不谋而合。
〔43〕记下广、上袤、高分别为a，b，h，则鳖腝的体积公式是
【译文】
假设有一个阳马，底宽是5尺，长是7尺，高是8尺。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：宽与长相乘，以高乘之，除以3。按：此术中阳马的形状是方锥的一个角隅。今天把四注屋的一个角隅称作阳马。假设阳马底的宽、长都是1尺，高是1尺。将它们相乘，得到正方体的体积1尺3。将一个正方体斜着剖开，得到2个堑堵；将一个堑堵斜着剖开，其中一个是阳马，一个是鳖腝。阳马占2份，鳖腝占1份，这是永远不变的率。两个鳖腝合成一个阳马，三个阳马合成一个正方体，所以阳马的体积是正方体的。用棋来验证，其态势很明显。剖开上述所有的阳马，总共为六个鳖腝。考察分割的各个部分，其形体态势都是互相通达的，因此其体积公式是容易得到的。 如果这里的棋或长或短，或宽或窄，是宽、长、高不等的长方体，也分割成6个鳖腝，它们的形状就不完全相同。然而只要它们所显现的宽、长、高的数组是相同的，则它们的体积就是相等的。这些鳖腝有不同的形状，这些阳马也有不同的体态。然而这样阳马有不同的体态，那就不可能完全重合；不能完全重合，那么使用上述的方法是困难的。为什么呢？将长方体棋斜着剖开，成为堑堵，一定分成两份；将堑堵棋斜着剖开，也必定分成两份。这些阳马一个是纵的，另一个就会是横的。假设将阳马看作分割的内部，将鳖腝看作分割的外部，即使是棋有时是长方体，或长或短，或宽或窄，仍然有这种分割的不变的率的话，那么不同形状的鳖腝，不同体态的阳马，其体积公式仍然分别相同，如此罢了。如果使鳖腝的宽、长、高各2尺，那么用堑堵棋、鳖腝棋各2个，都用红棋。又使阳马的宽、长、高各2尺，那么用立方棋1个，堑堵棋、阳马棋各2个，都用黑棋。红鳖腝与黑阳马拼合成一个堑堵，它的宽、长、高各是2尺。于是就相当于从中间平分了堑堵的宽与长，又平分了它的高。使红堑堵与黑堑堵恰好分别拼合成立方体，高是1尺，底方也是1尺。那么这些立方体中，在原鳖腝中的2份，相当于原阳马中的1份。余下的两端，先各自拼合，再拼合成一个立方体。这就是说，与原堑堵结构不同的立方体所占的率是3，而与原堑堵结构相似的立方体所占的率是1。即使是立方体变成了长方体，棋的形状发生了改变，这个结论必定具有恒定不变的态势。按：如果余下的立体中，能列举出来并且可以知道其体积的部分属于鳖腝的与属于阳马的有1，2的分别，那么在整个堑堵中，1与2作为鳖腝与阳马的率就是完全确定了，这在数理上难道是虚假的吗？若要从数学上穷尽它，那就取堑堵剩余部分的宽、长、高平分之，那么又可以知道其中的以1，2作为率。平分的部分越小，剩余的部分就越细。非常细就叫作微，微就不再有形体。由此说来，哪里还会有剩余呢？对于数学中无限的问题，就要按数理进行推断，不能用筹算。鳖腝这种物体，不同于一般的器皿用具；阳马的形状，有时底是长方形，或长或短，或宽或窄。然而，如果没有鳖腝，就没有办法考察阳马的体积，如果没有阳马，就没有办法知道锥亭之类的体积，这是解决程功积实问题的根本。
假设有一个鳖腝，下宽是5尺，没有长，上长是4尺，没有宽，高是7尺。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：下宽与上长相乘，以高乘之，除以6。按：此术中，腝就是臂骨。有人说，半个阳马，其形状有点像鳖肘，所以叫这个名字。从中间平分阳马，得到两个鳖腝，它的体积是阳马的半数。宽、长、高都与阳马相同而其体积是其一半，所以除以6，即得。
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