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魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
少广〔1〕以御积幂方圆
少广〔2〕臣淳风等谨按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，臣淳风等谨按：以分母乘全者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。各以其母除其子，置之于左；命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者〔3〕，皆通而同之〔4〕，并之为法〔5〕。臣淳风等谨按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多。若用乘则算数至繁，故别制此术，从省约〔6〕。置所求步数，以全步积分乘之为实〔7〕。此以田广为法，一亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法实，而并齐于法〔8〕。今以分母乘全步及子，子如母而一〔9〕。并以并全法，则法、实俱长，意亦等也。故如法而一，得从步数。实如法而一，得从步。
今有田广一步半。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百六十步。
术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步〔10〕。
今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百三十步一十一分步之一十。
术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步〔11〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百一十五步五分步之一。
术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步〔12〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步〔13〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：九十七步四十九分步之四十七。
术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四，以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步〔14〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步〔15〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。
术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步〔16〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步〔17〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步〔18〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步〔19〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步〔20〕。臣淳风等谨按：凡为术之意，约省为善。宜云：“下有一十二分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十，并之得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。实如法得从步。”其术亦得知，不繁也〔21〕。
【注释】
〔1〕少广：九数之一。根据少广术的例题中都是田地的广远小于纵，我们推断“少广”的本义是小广。李籍云“广少从多”，符合其本义。李籍又云“截从之多，益广之少，故曰少广”，似与前说抵牾。此源于李淳风等的注释“截取其从少，以益其广”。李淳风等的理解未必符合其本义。这种理解大约源于商周时人们通过截长补短，将不规则的田地化成正方形衡量其大小，如《墨子·非命上》云“古者汤封于亳，绝长继短，方地百里”，“昔者文王封于岐周，绝长继短，方地百里”。春秋以后，人们还有这种习惯，《孟子·滕文公上》云“今滕绝长补短，将五十里也”。李淳风等的理解符合开方术。传统的“少广”含有少广术、开方术，是面积以及体积问题的逆运算，就是已知面积或体积求其广的问题。北京大学藏秦简《算书》之《陈起论数》篇载陈起答鲁久次曰：“郦首者，算之始也，少广者算之市也，所求者毋不有也。”郦首即隶首。这是说隶首是数学的始祖，而少广就像是数学的市场，学数学者所需要的一切没有不包括在其中的。为什么将少广提到这样的高度，个中原因有待探讨。
〔2〕秦简《数》、《算书》、汉简《算数书》中亦有少广术及其例题，唯少广术文字古朴，而例题则仅有9问，即到“下有十分”问为止。
〔3〕遍乘：普遍地乘。通常指以某数整个地乘一行的情形。方程章方程术“以右行上禾遍乘中行”，亦此义。
〔4〕通而同之：依次对各个分数通分，即“通”，再使分母相同，即“同”。数学史界，包括笔者在内，过去都认为“通而同之”是与“同而通之”等价的运算，实际上两者是有所不同的运算。“同而通之”在通分时必须使用，先通过诸分数的分母相乘使各分数的分母相同，然后使分母互乘子，使分数值不变，达到使各分数互相通达，这就是“通”。可以说是先同后通，故云“同而通之”。“通而同之”是先“通”再“同”。“同而通之”是先使各分数分母相同，然后进行一次通分；而“通而同之”则是要进行多次通分，才使得各分数分母相同。这里采纳了朱一文的意见。
〔5〕根据少广术的例题，都是已知田的面积为1亩，广为，n=2，3，…，12，求其纵。术文求其“法”的计算程序如下：将自上而下排列，如左第1列，以最下分母n乘第1列各数，成为第2列，再以最下分母n-1乘第2列各数，成为第3列，如此继续下去，直到某列所有的数都成为整数为止，即
因其中有“各以其母除其子”的程序，有时实际上用不到所有的分母乘，就可以将某行全部化成整数。将成为整数的这行所有的数相加，作为法。同时，该行最上这个数，就是第1列每个数所扩大的倍数，也就是1步的积分。将它作为同。由于没有“可约者约之”的规定，它还不能称为求最小公倍数的完整程序。实际上，当n=6，12时，《九章算术》没有求出最小公倍数。但是，没有规定“可约者约之”，并不是说不可以“约之”，实际上，在n=5，7，8，9，10，11时，都做了约简，求出了诸分母的最小公倍数。
〔6〕李淳风等认为求解这类问题，既可以用少广术，也可以用合分术。但用合分术太繁琐，所以制定少广术，以求省约。
〔7〕置所求步数，以全步积分乘之为实：这是以同，即1步的积分乘1亩的步数，作为实。“积分”就是分之积，“全步积分”是将1步化成分数后的积数。
〔8〕刘徽此处用合分术。
〔9〕以上三十五字，南宋本、《大典》本、杨辉本（典）均作大字，戴震辑录校勘本及四库本、聚珍版改作刘徽注，其后诸本从，是不妥的。今据南宋本、《大典》本、杨辉本（典）恢复大字。
〔10〕布置广的数值，以2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2+1=3。同是2。因此纵=240步×2÷3=160步。
〔11〕布置广的数值，先后以3，2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：6+3+2=11。同是6。因此纵=240步×6÷11=步。
〔12〕布置广的数值，先后以4，3遍乘，便可全部化为整数：
求出法：12+6+4+3=25。同是12。因此纵=240步×12÷25=步。此问中的同12是分母2，3，4的最小公倍数。
〔13〕布置广的数值，先后以5，4，3遍乘，便可全部化为整数：
求出法：60+30+20+15+12=137。同是60。因此纵=240步×60÷137=步。此问中的同60是分母2，3，4，5的最小公倍数。
〔14〕布置广的数值，先后以6，5，4遍乘，便可全部化为整数：
求出法：120+60+40+30+24+20=294。同是120。因此纵=240步×120÷294=步。此问中的同120不是分母2，3，4，5，6的最小公倍数，因为没有将约简。
〔15〕布置广的数值，先后以7，6，5，2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：420+210+140+105+84+70+60=1 089。同是420。因此纵=240步×420÷1 089=步。此问中的同420是分母2，3，4，5，6，7的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔16〕布置广的数值，先后以8，7，3，5遍乘，便可全部化为整数：
求出法：840+420+280+210+168+140+120+105=2 283。同是840。因此纵=240步×840÷2283=步。此问中的同840是分母2，3，4，5，6，7，8的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔17〕布置广的数值，先后以9，8，7，5遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280=7 129。同是2520。因此纵=240步×2 520÷7 129=步。此问中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔18〕布置广的数值，先后以10，9，4，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280+252=7 381。同是2 520。因此纵=240步×2 520÷7 381=步。此问中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10的最小公倍数。因为运算中将分别约简成。
〔19〕布置广的数值，先后以11，10，9，4，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520=83 711。同是27 720。因此纵=240步×27 720÷83 711=步。此问中的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的最小公倍数。因为运算中将，分别约简成，。
〔20〕布置广的数值，先后以12，11，10，9，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：83 160+41 580+27 720+20 790+16632+13 860+11 880+10 395+9 240+8 316+7 560+6 930=258 063。同是83 160。因此纵=240步×83 160÷258 063=步。此问中的同83 160不是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍数。因为运算中没有将，，约简。
〔21〕李淳风等认为，只要先后以12，11，10，3，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520+2 310=86 021。同是27 720。因此纵=240步×27 720÷86 021=步。这里的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍数。因为运算中将，，约简成，，。
【译文】
少广为了处理积幂方圆问题
少广淳风等按：1亩的田地，如果宽是1步，那么长就是240步。现在想从它的长截取一少部分，增益到宽上，所以叫作少广。术：布置整步数及分母、分子，以最下面的分母普遍地乘各分子及整步数。淳风等按：以分母乘整步数，是为了将它通分；以分母乘分子，是为了使分子相齐。分别用分母除其分子，将它们布置在左边。使它们通分：又以分母普遍地乘各分子及已经通分的数，使它们统统通过通分而使分母相同。将它们相加作为法。淳风等按：各分子都互相通达，所以可将它们相加作为法。使用合分术也是适宜的，不过这布列的数字太多，如果使用乘法，则计算的数字太繁琐。所以另外制定此术，遵从省约的原则。布置所求的步数，以1整步的积分乘之，作为实。这里把田的宽作为法，1亩田的积步作为实。法中有分数者，应当使它们的分母相同，使它们的分子相齐，以同乘法与实，而将诸齐相加，作为法。现在依次用分母乘整步数及各分子，分子除以分母。皆加到整个法中，那么法与实同时增长，意思也是等同的。所以除以法，得到长的步数。实除以法，得到纵的步数。
假设田的宽是1步半。求1亩田，问：长是多少？
答：长是160步。
术：下方有半，是。将1化为2，半化为1。相加得到3，作为法。布置1亩田240步，也将1化为2，乘之，作为实。实除以法，得长的步数。
假设田的宽是1步半与步。求1亩田，问：长是多少？
答：长是步。
术：下方有3分，将1化为6，半化为3，化为2。相加得到11，作为法。布置1亩田240步，也将1化为6，乘之，作为实。实除以法，得长的步数。
假设田的宽是1步半与步、步。求1亩田，问：长是多少？
答：长是步。
今有积五万五千二百二十五步。问：为方几何〔1〕？
荅曰：二百三十五步。
又有积二万五千二百八十一步。问：为方几何？
荅曰：一百五十九步。
又有积七万一千八百二十四步。问：为方几何？
荅曰：二百六十八步。
又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问：为方几何？
荅曰：七百五十一步半。
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问：为方几何？
荅曰：六万三千二十五步。
开方〔2〕求方幂之一面也〔3〕。术曰〔4〕：置积为实〔5〕。借一算〔6〕，步之，超一等〔7〕。言百之面十也，言万之面百也〔8〕。议所得〔9〕，以一乘所借一算为法〔10〕，而以除〔11〕。先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也〔12〕。除已，倍法为定法〔13〕。倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法〔14〕。其复除，折法而下〔15〕。欲除朱幂者，本当副置所得成方〔16〕，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。如是当复步之而止，乃得相命，故使就上折下〔17〕。复置借算，步之如初，以复议一乘之〔18〕，欲除朱幂之角黄乙之幂〔19〕，其意如初之所得也。所得副以加定法，以除〔20〕。以所得副从定法〔21〕。再以黄乙之面加定法者〔22〕，是则张两青幂之袤〔23〕。复除，折下如前〔24〕。若开之不尽者，为不可开〔25〕，当以面命之〔26〕。术或有以借算加定法而命分者〔27〕，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复其积分。令不加借算而命分〔28〕，则常微少；其加借算而命分，则又微多〔29〕。其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可举。不以面命之，加定法如前，求其微数〔30〕。微数无名者以为分子〔31〕。其一退以十为母，其再退以百为母〔32〕。退之弥下，其分弥细〔33〕，则朱幂虽有所弃之数〔34〕，不足言之也〔35〕。若实有分者，通分内子为定实，乃开之〔36〕。讫，开其母，报除〔37〕。臣淳风等谨按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一〔38〕。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，亦一母存焉。故令一母而一〔39〕，得全面也。 又按：此术“开方”者，求方幂之面也〔40〕。“借一算”者，假借一算，空有列位之名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之，超一等”者，方十自乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位至百而言十，至万而言百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘。故开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除。如是当复步之而止，乃得相命，故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者，欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。
【注释】
〔1〕方：一边，一面。《诗经·秦风·蒹葭》：“所谓伊人，在水一方。”此处指将给定的面积变成正方形后的边，即刘徽所说的“方幂之一面”。
〔2〕开方：《九章算术》中指求的正根，即今之开平方。与现今仅将求二项方程xn=A，n=2，3，…的根称为开方不同，在中国古代，凡是求解一元方程a1xn+a2xn-1+…+anx=A，n=1，2，3，…的根，都称为“开方”，只不过根据开方式的不同情况，赋予不同的名称。如果n=2，当a2=0时称为开方，当a2≠0时称为开带从方；如果n=3，称为开立方；如果n≥4，则称开n-1乘方。到宋元时代，还根据a2，a3，…，an的情况，又有具体的名称。甚至在元朱世杰《四元玉鉴》（1303）中n=1时也称为开方，叫作“开无隅方”。
〔3〕面：边长。这是说开方就是求正方形面积的一边长。
〔4〕开方术：开方程序。《周髀算经》陈子答荣方问中就使用开方，但只说“开方除之”而未给出开方程序，说明开方术已是当时数学界的共识。《九章算术》的开方术是世界上现存最早的多位数开方程序。它后来不断在改进，发展为中国古代最为发达的数学分支。魏晋刘徽、《孙子算经》，南朝祖冲之，北宋贾宪、刘益，南宋秦九韶、杨辉，金元李冶、朱世杰等都为开方法的改进做出贡献。贾宪总结刘徽、《孙子算经》等的改进，提出“立成释锁法”，借助于“开方作法本源”即贾宪三角（中学数学教科书误为杨辉三角），将开方术推广到开任意高次方。“立成”是唐宋历算学家将数学与历法计算中常用的一些常数列成的算表，而“释锁”是将开方比喻为打开一把锁，贾宪三角就是立成释锁法的立成。《隋书·律历志》云祖冲之“开差幂、开差立，兼以正负参之”（“负”原作“员”，据钱宝琮校正），说明祖冲之很可能讨论了负系数二次、三次方程，但是祖冲之的《缀术》因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”而失传，隋唐至北宋初年的数学家只会解正系数方程。北宋数学家刘益撰《议古根源》，再次引入负系数方程，提出了减从术和益积术两种开方程序。贾宪创造增乘开方法，现今中学数学教科书中的综合除法的程序与之类似。秦九韶提出正负开方术，把以增乘开方法为主导的求一元高次方程正根的方法发展到十分完备的程度。14世纪阿拉伯地区的阿尔·卡西，19世纪欧洲的鲁菲尼和霍纳才创造同类的方法。
〔5〕实：被开方数。开方术是从除法转化而来的，除法中的“实”即被除数自然转化为被开方数。
〔6〕算：算筹。算筹是明初以前中国数学的主要计算工具，它是什么时候产生的已不可考。《老子》说“善数不用筹策”，说明最迟在春秋时期人们已经普遍使用算筹。算筹采用位值制记数，分纵横两式，如图4-1（1）。《孙子算经》云：“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”这是现存关于算筹记数法的最早记载。《夏侯阳算经》除上述文字外又补充道：“满六已上，五在上方。六不积算，五不单张。”则更为完整。算筹通常用竹，也有用木、骨、石、金属等制成的。图4-1（2）是20世纪70年代陕西旬阳县出土的西汉算筹，证实了《汉书·律历志》算筹“径一分（0.23 cm），长六寸（13.8 cm）”记载。为避免算筹滚动与布算面积过大，后来算筹逐渐变短，截面由圆变方。20世纪70年代末石家庄东汉墓出土的算筹截面已变为方形，长度缩短为8.9 cm左右。算筹是当时世界上最方便的计算工具。
图4-1 算筹
将算筹纵横交错，并用空位表示○，可以表示任何自然数，也可以表示分数、小数、负数，高次方程和线性方程组，甚至多元高次方程组。算筹加之最先进的十进位值制记数法，是为中国古典数学长于计算的重要原因。中国古典数学的主要成就大都是借助于算筹完成的。借一算：又称借算，即借一枚算筹，表示未知数二次项的系数1。既是“借”，完成运算后需要“还”。本来问题只给出面积，设为A，通过“借一算”，变成开方式：
它表示二项方程x2=A。设被开方数为A=10n-1bn+10n-2bn-1+…+10b2+b1，开方式为：
〔7〕步之，超一等：将借算由右向左隔一位移一步，直到不能再移为止。由此确定开方得数（即根）的位数。开方式变成（设n为奇数）：
这相当于作变换，方程变成。步，本义是行走，《说文解字》：“步，行也。”这里引申为移动。超，隔一位。等，位。
〔8〕言百之面十：面积为百位数，其边长即根就是十位数。 言万之面百：面积为万位数，其边长即根就是百位数。依此类推。
〔9〕议所得：商议得到根的第一位得数，记为a1。
〔10〕一乘：一次方。这是说以借算1乘a1，得10n-1a1作为法。此处的“法”的意义，与除法“实如法而一”中的法完全相同。
〔11〕以除：以法a1除实A。此处“除”指除法，不是“减”。这就是为什么古代称开方为“开方除之”。显然，a1的确定，须使10n-1a1除实，其商的整数部分恰好是a1。其余数。其算式为：
“借算”在乘a1后，自动消失。
〔12〕除：除去，减。刘徽注此处的“除”与《九章算术》开方术中“除”训“除法”不同。这是刘徽对开方术作几何解释：如图4-2，在以实即被开方数为面积的正方形中，求出第一位得数a1，就是从该正方形中除去以a1为边长的正方形黄甲，也就是说被开方数变成。
图4-2 开方术的几何解释
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔13〕除已：做完了除法。 定法：确定的法。此谓将法a1加倍作为继续开方的法，故称为定法。开方式变成
〔14〕刘徽认为，将定法a1加倍，是为了预先显现黄甲两边外的两朱幂的长，以继续开方。朱幂的宽将是议得的第二位得数。 豫张：预先展开。豫，通“预”，预备，预先。 朱幂：红色的面积，位于黄甲的侧边。 袤：本指南北距离的长度。《说文解字》：“南北曰袤。”通常指长。李籍卷五音义云：“袤，长也。”
〔15〕复除：第二次除法。 折法：通过退位将法缩小。李籍云：“折法，即退位也。”折，减损。李籍云：“折者，屈而有降意。”
〔16〕成方：已得到的方边，即a1。
〔17〕折：将成方a1缩小。 议：商议第二位得数，记为a2。 乘：以议得的第二位得数乘。 复：复置借算。 步：将借算自右向左步之。 就上折下：指将借算自上而下退位，亦即得出第一位得数后，刘徽不再将借算还掉，而是保留，将其退位，以求第二位得数。即得到开方式：
〔18〕“复置借算”三句：《九章算术》的方法是又一次在“实”的个位下布置借算，仍自右向左隔一位步之。以借算乘第二位得数，亦即：
〔19〕黄乙：是以第二位得数a2为边长的正方形，位于两朱幂的角隅。
〔20〕所得副以加定法，以除：在旁边将第二位得数a2加定法2a1，得2a1+a2，作为法，以法除余实，其商的整数部分恰好是a2。
〔21〕以所得副从定法：在旁边再将第二位得数a2加到定法2a1+a2上，得到2a1+2a2=2（a1+a2）。
〔22〕以黄乙之面加定法：其几何解释就是以黄乙的边长的2倍加定法。
〔23〕青幂：是以2（a1+a2）为长，以黄乙的边长a2为宽的两长方形。
〔24〕复除，折下如前：如果实中还有余数，就要再作除法，那么就像前面那样缩小退位。
〔25〕不可开：即开方不尽。
〔26〕以面命之：以面命名一个数。这里有无理数概念的萌芽。面，即。有的学者认为“面”是明确的无理数概念，似有拔高之嫌。盖不管A是不是完全平方数，都称为“面”。如刘徽说，开方是“求方幂之一面也”。
〔27〕或：有人，有的。 以借算加定法而命分：以余实作分子，以借算加定法作分母命名一个分数，即设根的整数部分为a，。当时有人将根的近似值表示成。
〔28〕不加借算而命分：整数部分之外命名的分数为。也有人将根的近似值表示成。
〔29〕此即。可以证明，这个不等式是正确的。
〔30〕微数：细微的数。这是按照上述的开方程序继续开方，求既定的名数以下的部分。实际上是以十进分数逼近无理根，如图4-3。这是刘徽对开方术的重大贡献。比如原以寸为单位，那么求寸以下的以分、厘、毫等为单位的数就是求微数。
图4-3 开方不尽求微数
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔31〕无名：无名数单位，即当时的度量衡制度下所没有的单位。此谓以无名时的开方得数作为分子。
〔32〕一退：退一位。 再退：退二位。无名时如果一退则求得的数以10为分母，再退则求得的数以100为分母。
〔33〕其分弥细：此谓开方时退得越多，分数就越细。
〔34〕所弃之数：所舍弃的数。
〔35〕不足言之：可以忽略不计。有的学者说求微数是取极限，似不妥当。刘徽明确指出有“所弃之数”，可见不是极限过程，只是极限思想在近似计算中的应用。
〔36〕“若实有分者”三句：如果被开方数有分数，设整数部分为A，分数部分为。求出定实：。
〔37〕开其母，报除：如果C是完全平方数，设，则
〔38〕如果C不是完全平方数，《九章算术》的方法是：
〔39〕令一母而一：“令如一母而一”的省称，即以分母除。
〔40〕此是系统复述刘徽注。
【译文】
假设有面积55 225步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：235步。
假设又有面积25 281步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：159步。
假设又有面积71 824步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：268步。
假设又有面积步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：步。
假设又有面积3 972 150 625步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：63 025步。
开方这是求正方形面积的一边长。术：布置面积作为实。借1算，将它向左移动，每隔一位移一步。这意味着百位数的边长是十位数，万位数的边长是百位数……商议所得的数，用它的一次方乘所借1算，作为法，而用来作除法。这是先得出黄色正方形甲的一边长。上、下相乘，这相当于将边长自乘而减实。作完除法，将法加倍，作为定法。“将法加倍”，是为了预先展开两块红色面积已经确定的长，以便准备作第二次除法，所以叫作定法。若要作第二次除法，应当缩小法，因此将它退位。如果要减去红色面积，本来应当在旁边布置所得到的已经确定的正方形的边长，将它加倍，作为定法，通过缩小定法，商议得数，乘借算等运算而用来作除法。如果这样，应当重新布置借算，并自右向左移动，到无法移动时而止，才能相乘。这太繁琐。所以使借算就在上面缩小而将它退位。再布置所借1算，向左移动，像开头作的那样。用第二次商议的得数的一次方乘所借1算。这是想减去位于两块红色面积形成的角隅处的黄色正方形乙的面积。它的意义如同对第一步的得数所做的那样。将第二位得数在旁边加入定法，用来作除法。将第二位得数在旁边纳入定法。再将黄色正方形乙的边长加入定法，是为了展开两块青色面积的长。如果再作除法，就像前面那样缩小退位。如果是开方不尽的，称为不可开方，应当用“面”命名一个数。各种方法中有的是用所借1算加定法来命名一个分数的，虽然大略近似，然而是不可使用的。凡是将某一面积开方成为正方形一边者，将该边的数自乘，应当仍然恢复它的积分。使定法不加借算1而命名一个分数，则分母必定稍微小了一点；使定法加借算1而命名一个分数，则分母又稍微大了一点；那么它的准确的数值是不能确定的。所以，只有以“面”命名一个数，才是没有缺失的。这好像以3除10，其余数是。恢复它的本数是可以做到的。如果不以“面”命名一个数，像前面那样，继续加定法，求它的微数。微数中没有名数单位的，作为分子。如果退一位，就以10为分母，如果退二位，就以100为分母。越往下退位，它的分数单位就越细。那么，红色面积中虽然有被舍弃的数，是不值得考虑的。如果实中有分数，就通分，纳入分子，作为定实，才对之开方。开方完毕，再对它的分母开方，回报以除。淳风等按：如果分母是完全平方数，就是已通同的积，它含有二重分母。完成开方之后，仍存在一重分母。所以对分母开方，求出一重分母，作为法，以它回报以除法。如果分母不是完全平方数，就用分母乘定实，才对它开方。完了，除以分母。淳风等按：如果分母不是完全平方数，它本来是一重分母。又乘以分母，就合成了二重分母。完成开方之后，也是存在一重分母，所以除以一重分母，就得到整个边长。 又按：此术中“开方”就是求方幂的一边长。“借1算”是假借1枚算筹，徒然有列置数位的名义而没有用以除积的实际意义，只是从正方形的一个角隅得到边长，这就是为什么要借1算并布置到积的下方。“将它向左移动，每隔一位移一步”，是因为边长是十位数，自乘，它的面积中有百位数；边长是百位数，自乘，它的面积中有万位数……所以每隔一位移一步，到百位时就意味着边长是十位数，到万位时就意味着边长是百位数。“商议所得的数，用它的一次方乘所借1算，作为法，而用来作除法”，这是先得出黄色正方形甲的一边长。以边长求面积是两边长相乘，所以开方除之。回过头来使两边长上、下相乘，这是将边长自乘而减实。“作完除法，将法加倍，作为定法”，这是因为作为实的面积未除尽，应当再除，所以预先展开两块红色面积的长，以便准备作第二次除法，所以叫作定法。“若要作第二次乘法，应当缩小法，因此将它退位”，这是如果要减去红色面积，本来应当在旁边布置所得到的已经确定的正方形的边长，将它加倍，作为定法，通过缩小定法，商议得数，乘借算等运算而用来作除法。如果这样，应当重新布置借算，并自右向左移动，到无法移动时而止，才能相乘。这太繁琐。所以使借算就在上面缩小而将它退位。“再布置所借1算，向左移动，像开头作的那样。将第二位得数在旁边加入定法，用来作除法”，这是想减去位于两块红色面积形成的角隅处的黄色正方形乙的面积。“将第二位得数在旁边纳入定法”，这是再将黄色正方形乙的边长加入定法，是为了展开两块青色正方形的长，所以像前面那样开方，就符合所问的问题。
今有积一千五百一十八步四分步之三。问：为圆周几何？
荅曰：一百三十五步。于徽术，当周一百三十八步一十分步之一〔1〕。 臣淳风等谨按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九〔2〕。
又有积三百步。问：为圆周几何？
荅曰：六十步。于徽术，当周六十一步五十分步之十九〔3〕。臣淳风等谨依密率，为周六十一步一百分步之四十一〔4〕。
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周〔5〕。此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也〔6〕。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也〔7〕。开方除之，即径〔8〕。是为据见幂以求周，犹失之于微少〔9〕。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多〔10〕。 臣淳风等谨按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一〔11〕。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三。周六自乘得三十六，俱以等数除，幂得一，周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还元〔12〕，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即周。
【注释】
〔5〕此即《九章算术》的开圆术：。
〔6〕此谓《九章算术》的开圆术是方田章圆田又术的逆运算。
〔7〕此即刘徽依徽率提出的开圆术：。
〔8〕李淳风等指出此六字系衍误。
〔9〕刘徽指出，它是方田章刘徽注公式的逆运算，并且。
〔10〕刘徽指出，它是方田章刘徽注公式的逆运算，并且。
〔11〕李淳风等依密率提出的开圆术：。
〔12〕元：通“原”。陈垣《校勘学释例》卷三：“原免之‘原’与元来之‘元’异。自明以来，始以‘原’为‘元’。言版本学者辄以此为明刻元刻之分，因明刻或仍用‘元’，而用‘原’者断非元刻也。”
【译文】
假设有面积步2。问：变成圆，其周长是多少？
答：圆周长135步。用我的方法，周长应当是步。 淳风等按：依照密率，这周长应为步。
假设又有面积300步2。问：变成圆，其周长是多少？
答：圆周长60步。用我的方法，周长应当是步。 淳风等按：依照密率，圆周长应为步。
开圆术：布置面积的步数，乘以12，对所得数作开方除法，就得到圆周长。此术以周三径一为率，与旧圆田术互为逆运算。用我的方法，以314乘面积，除以25，对所得数作开方除法，就是圆周长。对它作开方除法，就是直径长。这是由圆的面积求周长，失误仍然在于稍微小了一点。如果以200乘面积，除以157，对它作开方除法，就是直径长，失误在于稍微多了一点。 淳风等按：此注刘徽求周长的方法，其中用不到“对它作开方除法，就是直径长”诸字。现传本有这些字，是衍剩。依照密率，以88乘之，除以7。按周3径1之率，假设周长是6，那么直径就是2。半周半径相乘，得到面积是3。周长6自乘，得到面积是36，全都以等数除面积，得到与一周长相应的系数是12。它的积，本来的周长自乘，应当以1乘之，除以12，得到面积3。此术中因为用1乘不增加，所以除以12，就得到这一面积。现在还原：布置这一面积3，用12乘之，就恢复本来的周长自乘的数值。凡是一物的数量自乘，对它作开方除法，就恢复了它本来的数量。所以对它作开方除法，就是圆周长。
今有积一百八十六万八百六十七尺。此尺谓立方之尺也。凡物有高深而言积者，曰立方〔1〕。问：为立方几何？
荅曰：一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一。问：为立方几何？
荅曰：一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。问：为立方几何〔2〕？
荅曰：三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。问：为立方几何？
荅曰：一百二十四尺太半尺。
开立方立方适等，求其一面也〔3〕。术曰：置积为实。借一算，步之，超二等〔4〕。言千之面十，言百万之面百〔5〕。议所得〔6〕，以再乘所借一算为法〔7〕，而除之〔8〕。再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也〔9〕。除已，三之为定法〔10〕。为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也〔11〕。复除，折而下〔12〕。复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议定其厚薄尔〔13〕。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂〔14〕，故复除当以千为百，折下一等也〔15〕。以三乘所得数，置中行〔16〕。设三廉之定长〔17〕。复借一算，置下行〔18〕。欲以为隅方，立方等未有定数，且置一算定其位〔19〕。步之，中超一，下超二等〔20〕。上方法，长自乘，而一折〔21〕；中廉法，但有长，故降一等〔22〕；下隅法，无面长，故又降一等也〔23〕。复置议，以一乘中〔24〕，为三廉备幂也〔25〕。再乘下〔26〕，令隅自乘，为方幂也〔27〕。皆副以加定法〔28〕。以定除〔29〕。三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚也〔30〕。除已，倍下、并中，从定法〔31〕。凡再以中，三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端〔32〕，以待复除也。言不尽意〔33〕，解此要当以棋，乃得明耳〔34〕。复除，折下如前〔35〕。开之不尽者，亦为不可开。术亦有以定法命分者〔36〕，不如故幂开方，以微数为分也。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之〔37〕。讫，开其母以报除〔38〕。臣淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一〔39〕。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。 按〔40〕：开立方知〔41〕，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方求积〔42〕，方再自乘〔43〕，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十；而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除”者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如前。开方，即合所问。“有分者，通分内子”开之，“讫，开其母以报除”，可开者，以通之积，先合三母，既开之后，一母尚存。故开分母者，求一母为法，以报除。“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。
【注释】
〔1〕刘徽给出了“立方”的定义。此处物有广、袤，是不言自明的，因此刘徽是说凡是某物有广、袤、高（或深），就叫作立方。
〔2〕此即求的根。下面的注释即以其分子为例。
〔3〕立方适等，求其一面：立方体的三边恰好相等，开立方就是求其一边长。
〔4〕借一算：借一枚算筹，表示未知数三次项的系数1。本来问题只给出一个体积，设体积为A，通过借一算，就将其变成一个开方式x3=A。如图4-4。以为例，就是求三次方程x3=32461 759的根。其开方式为：
图4-4 开立方的几何解释
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
步之，超二等：就是将借算自右向左隔二位移一步，到不能移而止。开方式变成：
移三步，说明根是三位数。这个开方式表示方程（102x1）3=32 461 759。
〔5〕言千之面十，言百万之面百：体积为千位数，其边长即根就是十位数；体积为百万位数，其边长即根就是百位数。依此类推。
〔6〕议所得：也是商议根的第一位得数。记议得即根的第一位得数为a1。
〔7〕以再乘所借一算为法：即以×1作为法。这里的“法”也是除法中的法。再乘，乘二次，相当于二次方。这里即以根的第一位得数的平方乘，所以刘徽说“求为方幂”。
〔8〕除之：与开方术一样，此处的“除”也是指除法。a1的确定，须使其平方乘以借算1，以其作为法，除实，其商的整数部分恰好是a1。在这个例题中，议得根的第一位得数3，置于“议得”的百位数上，使之以借算1乘32=9，为法。以法除实，整数部分恰好亦得3。余数是5 461 759。借算同时消失。其算式为：
〔9〕以上... -->>
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