请安装我们的客户端
更新超快的免费小说APP
添加到主屏幕
请点击
，然后点击“添加到主屏幕”
魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
衰分〔1〕以御贵贱禀税〔2〕
衰分衰分，差也〔3〕。术曰：各置列衰〔4〕；列衰，相与率也〔5〕。重叠，则可约〔6〕。副并为法〔7〕，以所分乘未并者各自为实〔8〕。法集而衰别〔9〕。数本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除适足相消。故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数〔10〕。 又以经分言之〔11〕，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者〔12〕，则当列置人数，以一人所得乘之。今此术先乘而后除也〔13〕。实如法而一〔14〕。不满法者，以法命之〔15〕。
今有大夫〔16〕、不更〔17〕、簪〔18〕、上造〔19〕、公士〔20〕，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之〔21〕，问：各得几何？
荅曰：
大夫得一鹿三分鹿之二；
不更得一鹿三分鹿之一；
簪得一鹿；
上造得三分鹿之二；
公士得三分鹿之一。
术曰：列置爵数，各自为衰。爵数者，谓大夫五，不更四，簪三，上造二，公士一也。《墨子·号令篇》以爵级为赐〔22〕，然则战国之初有此名也。今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，即得。副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿〔23〕。
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之〔24〕，问：各出几何？
荅曰：
牛主出二斗八升七分升之四，
马主出一斗四升七分升之二，
羊主出七升七分升之一。
术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰。副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗〔25〕。臣淳风等谨按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。
今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关〔26〕，关税百钱〔27〕。欲以钱数多少衰出之，问：各几何？
荅曰：
甲出五十一钱一百九分钱之四十一，
乙出三十二钱一百九分钱之一十二，
丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
术曰：各置钱数为列衰。副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱〔28〕。臣淳风等谨按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。
今有女子善织〔29〕，日自倍〔30〕。五日织五尺，问：日织几何？
荅曰：
初日织一寸三十一分寸之十九，
次日织三寸三十一分寸之七，
次日织六寸三十一分寸之十四，
次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，
次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
术曰：置一、二、四、八、十六为列衰。副并为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如法得一尺〔31〕。
今有北乡算八千七百五十八〔32〕，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡发徭三百七十八人〔33〕。欲以算数多少衰出之，问：各几何？
荅曰：
北乡遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七，
西乡遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四，
南乡遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九。
术曰：各置算数为列衰。臣淳风等谨按：三乡算数，约、可半者，为列衰。副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人〔34〕。按：此术，今有之义也。
今有禀粟〔35〕，大夫、不更、簪、上造、公士凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问：各几何？
荅曰：
大夫出一斗四分斗之一，
不更出一斗，
簪出四分斗之三，
上造出四分斗之二，
公士出四分斗之一。
术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰。副并，而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗〔36〕。禀前“五人十五斗”者，大夫得五斗，不更得四斗，簪得三斗，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来大夫已得五斗，故言“亦”也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。
今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问：各几何？
荅曰：
三人，人得一斛一斗五升十三分升之五，
二人，人得七斗六升十三分升之十二。
术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各自为实。实如法得一斛〔37〕
【注释】
〔1〕衰（cuī）分：按一定的等级进行分配，即按比例分配。衰，由大到小按一定等级递减。《管子·小匡》：“相地而衰其政，则民不移矣。”尹知章注：“衰，差也。”李籍在引用尹知章注之后云：“以差而平分，故曰衰分。”衰分是“九数”之三，郑玄引郑众“九数”作“差分”，是为衰分在先秦的名称。
〔2〕禀：赐人以谷。《说文解字》：“禀，赐谷也。” 税：本义是田赋。引申为一切赋税。李籍云：“供谷曰禀。或曰廪，非是。”知李籍看到的抄本中有一本讹作“廪”。
〔3〕差（cī）：次第，等级。《孟子·滕文公上》：“爱无差等，施由亲始。”赵岐注：“当同其恩爱，无有差次等级亲疏也。”
〔4〕列衰：列出的等级数，即各物品的分配比例，设为ai，i=1，2，…，n。
〔5〕计算中所使用的列衰都是相与率。
〔6〕重叠：重复叠加。这里实际上指有等数。如果有等数，可以约简。
〔7〕副并为法：在旁边将列衰相加，作为法，即将作为法。
〔8〕所分：被分配的总量，设为A。 未并者：没有相加的列衰。这是将没有相加的列衰与被分配的总量相乘即aiA分别作为实，i=1，2，…，n。
〔9〕法集而衰别：法是列衰集中到一起，而列衰ai是有区别的。
〔10〕刘徽将列衰ai作为所求率，副并作为所有率，所分A作为所有数，从而将衰分术归结为今有术。
〔11〕经分：从以下的内容看，这里的经分指整数除法。
〔12〕逐家：一家一家依次（求之）。逐，依次，挨着次序。
〔13〕此术先乘而后除：指衰分术是先乘后除。盖其算理，应该先以法除实，即，然后乘列衰：，i=1，2…，n，得到答案。然而先除可能出现分数，计算会繁琐，故采用交换律，先乘后除。
〔14〕设各份是Ai，则
〔15〕以法命之：如果实有余数，便用法命名一个分数。
〔16〕大夫：官名，起自殷周。又，爵位名，据《汉书·百官公卿表》，秦汉分爵位二十级，大夫为第五级。此指后者。李籍云：“夫，以智率人者也。大夫，则以智率人之大者也。”
〔17〕不更：爵位名。秦汉爵位之第四级。《汉书·百官公卿表》注：“言不豫更卒之事也。”李籍云：“次大夫，取其不与戍更。”
〔18〕簪（niǎo）：亦作簪袅。爵位名，秦汉爵位之第三级。《汉书·百官公卿表》注：“以组带马曰袅。簪袅者，言饰此马也。”《后汉书·百官志》注引刘邵《爵制》：“三爵曰簪，御驷马者。要，古之名马也。驾驷马者其形似簪，故曰簪也。”李籍云：“次不更，取其缨冠乘马。”
〔19〕上造：爵位名，秦汉爵位之第二级。《汉书·百官公卿表》注：“造，成也。言有成命于上也。”李籍云：“次簪，取其为造士而居上。”
〔20〕公士：爵位名，秦汉爵位之第一级。《汉书·百官公卿表》注：“言有爵命，异于士卒，故称公士也。”李籍云：“次上造，取其为士而在公。”
〔21〕爵次：爵位的等级。“爵”本是商、周的酒器，又引申为贵族的等级。《周礼·天官·大宰》：“以八柄诏王驭群臣，一曰爵，以驭其贵；二曰禄，以驭其富。”
〔22〕以爵级为赐：现存《墨子·号令篇》无此语。孙诒让《墨子间诂》认为此指“疾斗者，对二人赐上奉。而胜围城周里以上，封城将三十里地，为关内侯。辅将如令，赐上卿。丞，及吏比于丞者，赐爵五大夫。官吏豪杰与计坚守者十人，及城上吏比于五官者，皆赐公乘。男子有守者，爵人二级”。
〔23〕列衰为：大夫:不更:簪:上造:公士=5:4:3:2:1。在旁边将列衰相加5+4+3+2+1=15作为法。大夫得之实：5鹿×5=25鹿；不更得之实：5鹿×4=20鹿；簪得之实：5鹿×3=15鹿；上造得之实：5鹿×2=10鹿；公士得之实：5鹿×1=5鹿。故大夫得：25鹿÷15=鹿；不更得：20鹿÷15=鹿；簪得：15鹿÷15=1鹿；上造得：10鹿÷15=鹿；公士得：5鹿÷15=鹿。
〔24〕衰偿：按列衰赔偿。偿，偿还。李籍云：“还也。”
〔25〕此谓羊食=马食，马食=牛食，故列衰为：牛:马:羊=4:2:1。在旁边将列衰相加4+2+1=7作为法。牛食之实：5斗×4=20斗；马食之实：5斗×2=10斗；羊食之实：5斗×1=5斗。故牛主偿：升。马主偿：升。羊主偿：升。
〔26〕关：本义是门闩，引申为要塞，关口。《孟子·尽心下》：“古之为关也，将以御暴。”
〔27〕关税：指关卡征收赋税。税，作动词，指征收或交纳赋税。
〔28〕此谓列衰为：甲:乙:丙=560:350:180。在旁边将列衰相加560+350+180=1 090作为法。甲税之实：100钱×560=56 000钱；乙税之实：100钱×350=35 000钱；丙税之实：100钱×180=18 000钱。故甲出：钱。乙出：钱。丙出：钱。
〔29〕《算数书》、《孙子算经》亦有此问。秦简《数》、《算书》有类似的题目。
〔30〕日自倍：第二日是第一日的2倍。若第一日织1尺，则第二日织1尺×2=2尺，第三日织2尺×2=4尺，第四日织4尺×2=8尺，第五日织8尺×2=16尺。
〔31〕列衰为：第一日织:第二日织:第三日织:第四日织:第五日织=1:2:4:8:16。在旁边将列衰相加1+2+4+8+16=31作为法。第一日织之实：5尺×1=5尺；第二日织之实：5尺×2=10尺；第三日织之实：5尺×4=20尺；第四日织之实：5尺×8=40尺；第五日织之实：5尺×16=80尺。故第一日织得：；第二日织得：；第三日织得：；第四日织得：；第五日织得：。
〔32〕算：算赋，汉代的人丁税。《汉书·高帝纪》载，四年（前203）八月“初为算赋”。如淳曰：“《汉仪注》民年十五以至五十六出赋钱，人百二十为一算，为治库兵车马。”李籍云：“算者，计口出钱。汉律：人出一算。一算百二十钱。贾人与奴婢倍算。”
〔33〕徭：劳役。李籍云“役也”。
〔34〕列衰为：北乡:西乡:南乡=8 758:7 236:8 356。在旁边将列衰相加8 758+7 236+8 356=24350作为法。北乡徭之实：378人×8 758；西乡徭之实：378人×7 236；南乡徭之实：378人×8 356。故北乡遣：人。西乡遣：人。南乡遣：人。
〔35〕禀粟：赐人以谷曰禀。《汉书·文帝纪》元年诏曰：“今闻吏禀当受鬻者，或以陈粟，岂称养老之意哉！”
〔36〕列衰为：大夫:大夫:不更:簪:上造:公士=5:5:4:3:2:1。在旁边将列衰相加5+5+4+3+2+1=20作为法。大夫出粟之实：5斗×5=25斗；不更出粟之实：5斗×4=20斗；簪出粟之实：5斗×3=15斗；上造出粟之实：5斗×2=10斗；公士出粟之实：5斗×1=5斗。故大夫出粟：斗；不更出粟：20斗÷20=1斗；簪出粟：斗；上造出粟：斗；公士出粟：斗。
〔37〕列衰为：3:3:3:2:2。在旁边将列衰相加3+3+3+2+2=13作为法。三人组一人得粟之实：5斛×3=15斛，则一人得粟：15斛÷13=；二人组一人得粟之实：5斛×2=10斛，则一人得粟。
【译文】
衰分为了处理物价贵贱、赐予谷物及赋税等问题
衰分衰分，就是按等级分配。术：分别布置列衰。列衰是相与之率。如果有重叠，就可以约简。在旁边将它们相加作为法。以所分的数量乘未相加的列衰，分别作为实。法是将列衰集合在一起，而列衰是各自的。这个所分的数量本来是一个整体，现在用所分的数量乘布置在上方的各自的列衰，用布置在下方的集合在一起的法除之，一乘一除恰好相消，所以所分的数量仍然存在，只是分别对应于各自的率而有所区别罢了。对于今有术，列衰分别是所求率，在旁边将它们相加的结果是所有率，所分的数量是所有数。 又用经分术来表述之：假设甲家有3人，乙家有2人，丙家有1人，相加为6人，共同分12，就是每人得到2。想再得到一家一家的数量，则应当列出各家的人数，以1人所得的数量乘之。现在此术是先作乘法而后作除法。实除以法。不满法者，用法命名一个分数。
假设大夫、不更、簪、上造、公士总计5人，共猎得5只鹿。想按爵位的等级分配，问：各得多少？
术：列出爵位的等级，各自作为衰。爵位的级数，是说大夫是5，不更是4，簪是3，上造是2，公士是1。《墨子·号令篇》说按照爵位的等级进行赏赐，那么战国初期就有这些名号了。对于今有术，列衰各自作为所求率，在旁边将它们相加作为所有率，现猎得的鹿数作为所有数，对之施用今有术，就得到答案。在旁边将它们相加作为法。以5只鹿乘未相加的列衰作为实。实除以法，得到每人的鹿数。假设牛、马、羊啃了人家的庄稼。庄稼的主人索要5斗粟作为赔偿。羊的主人说：“我的羊啃的是马的一半。”马的主人说：“我的马啃的是牛的一半。”现在想按照比例偿还，问：各出多少？
术：布置牛4、马2、羊1，各自作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以5斗乘未相加的列衰各自作为实。实除以法，得每人赔偿的斗数。淳风等按：这一问题的意思是：羊啃的是马的一半，马啃的是牛的一半，这是说4只羊啃的相当于1头牛啃的，2只羊啃的相当于1匹马啃的。现在术中布置羊1，马2，牛4，这是使它们的率相通并以其作为列衰。
假设某甲带着560钱，某乙带着350钱，某丙带着180钱，3人一道出关，关防征税100钱。想按照所带钱数多少分配税额，问：各出多少？
术：分别布置所带的钱数作为列衰。在旁边将它们相加作为法。用100钱乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，得到每人出的税钱。淳风等按：此术中以甲、乙、丙所带的钱数作为列衰，在旁边将它们相加，作为所有率，未相加的列衰分别作为所求率，100钱作为所有数，应用今有术，就得到答案。
假设一女子善于纺织，每天都增加一倍，5天共织了5尺。问：每天织多少？
术：布置1，2，3，4，5作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以5尺乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，得到每天织的尺数。
假设北乡的算赋是8 758，西乡的算赋是7 236，南乡的算赋是8 356。三乡总共要派遣徭役378人。想按照各乡算赋数的多少分配，问：各乡派遣多少人？
术：分别布置各乡的算赋数作为列衰。淳风等按：三乡的算赋数，可约简，或可取其一半的，就约简或取其一半，作为列衰。在旁边将它们相加作为法。以所要派遣的徭役人数乘未相加的列衰，分别作为实。实除以法，得每乡派遣的徭役人数。按：此术有今有术的意义。
假设要发放粟米，大夫、不更、簪、上造、公士共5人，发放15斗。如果有另一个大夫来晚了，也应当发给他5斗。可是粮仓中已经没有粟米，想让各人按爵位等级拿出粟给他，问：各人出多少？
术：分别布置所发放的粟米的斗数，以爵位等级调节之，作为列衰。在旁边将它们相加，又加晚来的大夫的爵位数也是5斗，得到20，作为法。以5斗乘未相加的列衰，各自作为实。实除以法，便得到每人拿出的斗数。重新发放粟米之前，5人共15斗，这是大夫得5斗，不更得4斗，簪得3斗，上造得2斗，公士得1斗。想使5人各按照所得到的粟的多少减损并给晚来的大夫，使他与先来的大夫相同。根据先来的大夫已得到5斗，所以说晚来的大夫“也是5斗”。各以所得的斗数作为列衰，相加得15，又加晚来的大夫也是5斗，总共是20斗，作为法。这就成为6人共出5斗————晚来的大夫也一道减损。对于今有术，在旁边相加列衰作为所有率，未相加的列衰各为所求率，5斗作为所有数，应用今有术，就得到答案。
假设发放粟米5斛，5个人分配。想使3个人每人得3份，2个人每人得2份，问：各得多少？
术：布置3个人，每人3；2个人，每人2，作为列衰。在旁边将它们相加，作为法。以5斛乘未相加的列衰，各自... -->>
本章未完，点击下一页继续阅读