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魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
粟米〔1〕以御交质变易〔2〕
粟米之法〔3〕凡此诸率相与大通，其特相求〔4〕，各如本率。可约者约之。别术然也。
粟率五十 粝米三十〔5〕
粺米二十七〔6〕 糳米二十四〔7〕
御米二十一〔8〕 小十三半〔9〕
大五十四〔10〕 粝饭七十五
粺饭五十四 糳饭四十八
御饭四十二 菽〔11〕、荅〔12〕、麻〔13〕、麦各四十五
稻六十 豉六十三〔14〕
飧九十〔15〕 熟菽一百三半
糵一百七十五〔16〕
【注释】
〔1〕粟米：泛指谷类，粮食。李籍云：“粟者，禾之未舂。米者，谷实之无壳。”粟，古代泛指谷类，又指谷子。下文粟率指后者之率。“粟米”作为一类数学问题是“九数”之二，明之后，常称作“粟布”。
〔2〕交质：互相以物品作抵押，即交易称量。方程章五雀六燕术“交易质之”，即此义。质，评量，后引申为称，衡量。 变易：交易。“交质”、“变易”后人都有使用，但笔者未查到刘徽之前的例句。
〔3〕粟米之法：这里是互换的标准，即各种粟米的率。法，标准。
〔4〕特：特地。
〔5〕粝米：糙米，有时省称为米。《九章算术》及其刘徽注、李淳风等注释单言“米”，则指粝米。粝，李籍云：“粗也。”指粗米，糙米。
〔6〕粺米：精米。李籍云：“精于粝也。”《诗经·大雅·召旻》：“彼疏斯粺，胡不自替。”毛传：“彼宜食疏，今反食精粺。”
〔7〕糳米：舂过的精米。李籍云：“精于粺也。”糳，本义是舂。
〔8〕御米：供宫廷食用的米。李籍云：“精于糳也。供王膳之米也。蔡邕《独断》曰：‘所进曰御。御者，进也。凡衣服加于身，饮食入于口，皆曰御。’”
〔9〕小（zhí）：细麦屑。李籍云：“细曰小。粗曰大。”《说文》：“，麦核屑也。”，麦屑。
〔10〕大：粗麦屑。
〔11〕菽：大豆。又，豆类的总称。
〔12〕荅：小豆。《说文》：“荅，小尗也。”“尗”同“菽”。
〔13〕麻：古代指大麻，亦指芝麻。《正字通》引《素问》云：“麻麦稷黍豆为五谷。”此指芝麻。
〔14〕豉（chǐ）：又音shì，用煮熟的大豆发酵后制成的食品。《释名·释饮食》：“豉，嗜也。五味调和，须之而成，乃可甘嗜也。故齐人谓豉，声如嗜也。”李籍云：“盐豉也。《广雅》云‘苦李作豉’。”
〔15〕飧（sūn）：熟食，夕食。李籍引《说文》曰：“也。”《六书故·工事》：“飧，夕食也。古者夕则馂朝膳之余，故熟食曰飧。”
〔16〕糵：粬糵。李籍引《说文》曰：“米芽。”
【译文】
粟米为了处理抵押交换问题
粟米之率这里的各种率都相互关联而广泛地通达。如果特地互相求取，则要遵从各自的率。可以进行约简的，就约简之。其他的术也是这样。
粟率50 粝米27
粺米27 糳米24
御米21 小
大54 粝饭75
粺饭54 糳饭48
御饭42 菽、荅、麻、麦各45
稻60 豉63
飧90 熟菽
糵175
今有此都术也〔1〕。凡九数以为篇名，可以广施诸率〔2〕，所谓告往而知来〔3〕，举一隅而三隅反者也〔4〕。诚能分诡数之纷杂〔5〕，通彼此之否塞〔6〕，因物成率〔7〕，审辨名分〔8〕，平其偏颇，齐其参差〔9〕，则终无不归于此术也〔10〕。术曰〔11〕：以所有数乘所求率为实〔12〕。以所有率为法〔13〕。少者多之始，一者数之母〔14〕，故为率者必等之于一〔15〕。据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一〔16〕。一者，谓以五约之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一〔17〕，以五为三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之〔18〕。又完言之知〔19〕，粟五升为粝米三升；分言之知〔20〕，粟一斗为粝米五分斗之三。以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子乘，其母报除也〔21〕。然则所求之率常为母也。 臣淳风等谨按：宜云“所求之率常为子，所有之率常为母”，今乃云“所求之率常为母”知，脱错也〔22〕。实如法而一〔23〕。
今有粟一斗，欲为粝米。问：得几何？
荅曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一〔24〕。臣淳风等谨按：都术，以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故唯云三、五也。
今有粟二斗一升，欲为粺米。问：得几何？
荅曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。
术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。臣淳风等谨按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。
今有粟四斗五升，欲为糳米。问：得几何？
荅曰：为糳米二斗一升五分升之三。
术曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一〔25〕。臣淳风等谨按：糳米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之，故半所求之率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五而一也。
今有粟七斗九升，欲为御米。问：得几何？
荅曰：为御米三斗三升五十分升之九。
术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
今有粟一斗，欲为小。问：得几何？
荅曰：为小二升一十分升之七。
术曰：以粟求小，二十七之，百而一〔26〕。臣淳风等谨按：小之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。他皆放此。
今有粟九斗八升，欲为大。问：得几何？
荅曰：为大一十斗五升二十五分升之二十一。
术曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。臣淳风等谨按：大之率五十有四，其可半，故二十七之，亦如粟求糳米，半其二率。
今有粟二斗三升，欲为粝饭。问：得几何？
荅曰：为粝饭三斗四升半。
术曰：以粟求粝饭，三之，二而一〔27〕。臣淳风等谨按：粝饭之率七十有五。粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。
今有粟三斗六升，欲为粺饭。问：得几何？
荅曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。
术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。臣淳风等谨按：此术与大多同。
今有粟八斗六升，欲为糳饭。问：得几何？
荅曰：为糳饭八斗二升二十五分升之一十四。
术曰：以粟求糳饭，二十四之，二十五而一。臣淳风等谨按：糳饭率四十八。此亦半二率而乘除。
今有粟九斗八升，欲为御饭。问：得几何？
荅曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。
术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。臣淳风等谨按：此术半率，亦与糳饭多同。
今有粟三斗少半升〔28〕，欲为菽。问：得几何？
荅曰：为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升〔29〕，欲为荅。问：得几何？
荅曰：为荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升，欲为麻。问：得几何？
荅曰：为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问：得几何？
荅曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。
术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一〔30〕。臣淳风等谨按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十。故九乘十除，义由于此。
今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问：得几何？
荅曰：为稻九斗三十五分升之二十四。
术曰：以粟求稻，六之，五而一。臣淳风等谨按：稻率六十，亦约二率而乘除。
今有粟七斗八升，欲为豉。问：得几何？
荅曰：为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
今有粟五斗五升，欲为飧。问：得几何？
荅曰：为飧九斗九升。
术曰：以粟求飧，九之，五而一。臣淳风等谨按：飧率九十，退位，与求稻多同。
今有粟四斗，欲为熟菽。问：得几何？
荅曰：为熟菽八斗二升五分升之四。
术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。臣淳风等谨按：熟菽之率一百三半。半者其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。
今有粟二斗，欲为糵。问：得几何？
荅曰：为糵七斗。
术曰：以粟求糵，七之，二而一〔31〕。臣淳风等谨按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数二十五约之，所求之率得七，所有之率得二。故七乘二除。
今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问：得几何？
荅曰：为粟二十五斗九升。
术曰：以粝米求粟，五之，三而一。臣淳风等谨按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之〔32〕，各合其数。以下所有反求多同，皆准此〔33〕。
今有粺米二斗，欲为粟。问：得几何？
荅曰：为粟三斗七升二十七分升之一。
术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
今有糳米三斗少半升，欲为粟。问：得几何？
荅曰：为粟六斗三升三十六分升之七。
术曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一〔34〕。
今有御米十四斗，欲为粟。问：得几何？
荅曰：为粟三十三斗三升少半升。
术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问：得几何？
荅曰：为粟一十斗五升九分升之七。
术曰：以稻求粟，五之，六而一。
今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问：得几何？
荅曰：为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。
术曰：以粝米求粺米，九之，十而一〔35〕。臣淳风等谨按：粺率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。
今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问：得几何？
荅曰：为粝饭一十六斗一升半。
术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一〔36〕。臣淳风等谨按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得五，所有之率得二。故五乘二除，义由于此。
今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问：得几何？
荅曰：为飧九斗一升三十五分升之三十一。
术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。臣淳风等谨按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此故六乘五除也。
今有菽一斗，欲为熟菽。问：得几何？
荅曰：为熟菽二斗三升。
术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一〔37〕。臣淳风等谨按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也〔38〕。
今有菽二斗，欲为豉。问：得几何？
荅曰：为豉二斗八升。
术曰：以菽求豉，七之，五而一〔39〕。臣淳风等谨按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。
今有麦八斗六升七分升之三，欲为小。问：得几何？
荅曰：为小二斗五升一十四分升之一十三。
术曰：以麦求小，三之，十而一。臣淳风等谨按：小之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。
今有麦一斗，欲为大。问：得几何？
荅曰：为大一斗二升。
术曰：以麦求大，六之，五而一。臣淳风等谨按：大之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。
【注释】
〔1〕都术：总术，总的方法，普遍方法。都，总，总共，见卷一方田术李淳风等注释注〔18〕。
〔2〕诸：之于的合音。
〔3〕告往知来：根据已经发生的事情，可以推知事物未来的发展趋势。中国古代的一种思维方法。语出《论语·学而》：“子曰：‘赐也，始可与言《诗》已矣，告诸往而知来者。’”
〔4〕举一隅而三隅反：根据某一事物的性质，可以推知与它同类的事物的性质。中国古代的一种思维方法。语出《论语·述而》：“子曰：‘不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。’”
〔5〕诚：如果，假如。 诡数：不同的数。诡，差别，不同。
〔6〕通彼此之否（pǐ）塞：通过“通分”等运算使各种阻隔不通的数量关系互相通达。否，闭塞。《周易·否》：“否之匪人。”陆德明释文：“否，闭也，塞也。”否塞，阻隔不通。
〔7〕物：这里指各种物品的数量。
〔8〕名分：地位，身份。《庄子·天下》：“《易》以道阴阳，《春秋》以道名分。”也泛指物品的所属关系。《商君书·定分》：“夫卖者满市，而盗不敢取，由名分已定也。”此谓各个物品在问题中的地位。
〔9〕平其偏颇，齐其参差：即“齐同”运算。偏颇，又作“偏陂”，本义是不公正。王符《潜夫论》：“内偏颇于妻子，外僭惑于知友。”
〔10〕刘徽将《九章算术》大部分术文，200余个题目归结为今有术。
〔11〕今有术：即今之三率法，或称三项法（rule of three）。一般认为，此法源于印度。但印度婆罗门笈多才通晓此法（628），所使用的术语的意义也与《九章算术》相近，参见钱宝琮主编《中国数学史》。
〔12〕所有数：今有术的重要概念，指现有物品的数量。 所求率：今有术的重要概念，指所求物品的率。
〔13〕所有率：今有术的重要概念，指现有物品的率。
〔14〕少者多之始，一者数之母：1是数之母，在有理数范围之内无疑是正确的，但在实数内则不尽然。比如，边长为1的正方形，其对角线是2，1似不能说是之母，因为它们之间没有公度。这个命题显然是刘徽将《老子·第三十九章》的命题“无名天地之始，有名万物之母”与王弼说的“夫少者多之所贵也。寡者众之所宗也”（《周易略例·明彖》）与“一，数之始而物之极也”（《老子注·第三十九章》）结合起来提出的。
〔15〕为率者必等之于一：某物率的确定，必须以1为标准。多少数量的某物能化为1，则该物的率就是多少。对同一标准1，粟5化为1，粝米3化为1，故粟率是5，粝米率是3。
〔16〕粟当先本是一：粟本来应当先成为1。
〔17〕则率至于一：由率的本义，粟率5是说粟5为1，粝率3是说粝米3为1。从粟求粝米，粟数先除以粟率5，就是粟5变成了1，再乘以粝率3，粝米1又变成了3。如是，则率至于1。
〔18〕余分：剩余的分数。由上可见，做到“率至于1”的过程是先除后乘。实际上，此处既可以先乘后除，也可以先除后乘，即满足交换律：（A÷a）×b=（A×b）÷a。然而先除后乘，有时会除不尽，产生分数，运算繁琐，所以术文反过来，采取先乘后除。
〔19〕完言之：以整数表示之。此处即以整数5与3入算。“完言之”与下“分言之”对举。完，整数。 知：训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔20〕分言之：以分数表示之。此处即以粟1斗与粝米斗入算。知：亦训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔21〕报除：回报以除。
〔22〕李淳风等所见到的刘徽注已有脱错。
〔23〕今有术就是：已知所有数A、所有率a和所求率b，求所求数B的公式为
B=Ab÷a。（2-1）
〔24〕三之，五而一：与下文“以粟求稻”问“六之，五而一”、“以粟求飧”问“九之，五而一”、“以粝米求粟”问“五之，三而一”、“以稻求粟”问“五之，六而一”凡5处，因为有关的粟米之法都是10的倍数，故都是通过退位约简为率，得相与之率入算，而不必用10除，反映了十进位值制记数法的优越性。“三之，五而一”即乘以3，除以5，或说以3乘，以5除。这是今有术在以粟求米问题中的应用。余类此。
〔25〕十二之，二十五而一：与下文“以粟求大”问“二十七之，二十五而一”、“以粟求粺饭”问“二十七之，二十五而一”、“以粟求糳饭”问“二十四之，二十五而一”、“以粟求御饭”问“二十一之，二十五而一”凡5处，都是将有关的粟米之法以等数2约简，得相与之率，再入算。
〔26〕二十七之，百而一：与下文“以粟求熟菽”问“二百七之，百而一”凡2处，因有关的粟米之法中有，故以2通之，化为整数，以相与之率入算。
〔27〕“以粟”三句：此处粟50，粝饭75，以等数25约简，得2，3为相与之率。
〔28〕少半：即。
〔29〕太半：即。
〔30〕粟50，菽、荅、麻、麦45，以等数5约简，得10，9为相与之率。
〔31〕粟50，糵175，以等数25约简，得2，7为相与之率。
〔32〕准：依照，按照。北周宗懔《荆楚岁时记》：“今寒食准节气是仲春之末。”
〔33〕准：仿效，效法。左思《咏史八首》之一：“著论准《过秦》，作赋拟《子虚》。”
〔34〕此处亦将糳米率24与粟率50以等数2约简，得相与之率，再入算。
〔35〕粝米30，粺米27，以等数3约简，得10，9为相与之率。
〔36〕五之，二而一：与下文“以粝饭求飧”问“六之，五而一”凡两处，将有关的粟米之法以等数15约简，得相与之率。
〔37〕二十三之，十而一：与下文“以麦求小”问“三之，十而一”凡两处，有关的粟米之法中有，故以2通之。所得的结果又有等数9，故以9约简，为相与之率，再入算。
〔38〕《九章算术》将菽率45，熟菽率化成10与23，以相与之率入算，十分简省。唐中叶之后的乘除捷算法就是沿着这一方向发展的。李淳风等将其化成5与入算，反不如《九章算术》简省。
〔39〕七之，五而一：与下文“以麦求大”问“六之，五而一”凡两处，将有关的粟米之法以等数9约简，得相与之率。
【译文】
今有术：这是一种普遍方法。凡是用九数作为篇名的问题，都可以对它们广泛地施用率。这就是所谓告诉了过去的就能推知未来的，举出一个角，就能推论到其他三个角。如果能分辨各种不同的数的错综复杂，疏通它们彼此之间的闭塞之处，根据不同的物品构成各自的率，仔细地研究辨别它们的地位与关系，使偏颇的持平，参差不齐的相齐，那么就没有不归结到这一术的。术：以所有数乘所求率作为实，以所有率作为法。小是大的开始，1是数的起源。所以建立率必须使它等于1。根据粟率是5，粝米率是3，这是说粟5成为1，粝米3成为1。如果想把粟化成粝米，那么粟应当本身先变成1。变成1，是说用5约之，使5变为1。完了，再以3乘之，使1变为3。像这样，那么率就达到了1，把粟5变成了粝米3。然而，先作除法，后作乘法，有时会剩余分数，所以此术将运算程序反过来。又，如果以整数表示之，5升粟变成3升粝米；以分数表示之，1斗粟变成斗粝米，以5作为分母，3作为分子。如果用粟求粝米，就用分子乘，用它的分母回报以除。那么，所求率永远作为分母。 淳风等按：应该说“所求率永远作为分子，所有率永远作为分母”。这里却说“所求率永远作为分母”，有脱错。实除以法。
假设有1斗粟，想换成粝米。问：得多少？
答：换成6升粝米。
术：由粟求粝米，乘以3，除以5。淳风等按：普遍方法：以所求率乘所有数作为实，以所有率作为法。此术由粟求粝米，所以粟为所有数；3是粝米率，所以3是所求率；5是粟率，所以5是所有率。粟率是50，粝米率是30。通过退一位约简之，所以只说5与3就够了。
假设有2斗1升粟，想换成粺米。问：得多少？
答：换成1斗升粺米。
术：由粟求粺米，乘以27，除以50。淳风等按：粺米率是27，所以直接乘以27，除以50。
假设有4斗5升粟，想换成糳米。问：得多少？
答：换成2斗升糳米。
术：由粟求糳米，乘以12，除以25。淳风等按：糳米率是24，以它作为率太繁琐，所以取其一半。也就是取所求率的一半，以它乘所有数。所求率既然减半，所有率也应减半。这就是为什么乘以12，除以25。
假设有7斗9升粟，想换成御米。问：得多少？
答：换成3斗升御米。
术：由粟求御米，乘以21，除以50。
假设有1斗粟，想换成小。问：得多少？
答：换成升小。
术：由粟求小，乘以27，除以100。淳风等按：小率是。是以2为分母。用2通分，得27，作为所求率。又用分母2通其粟率，得100，作为所有率。凡原来的率有分数的，必须做乘除化成整数。其他的都仿照此术。
假设有9斗8升粟，想换成大。问：得多少？
答：换成10斗升大。
术：由粟求大，乘以27，除以25。淳风等按：大率是54，它可以被2除，所以乘以27。这也像由粟求糳米那样，取二种率的一半。
假设有2斗3升粟，想换成粝饭。问：得多少？
答：换成3斗升粝饭。
术：由粟求粝饭，乘以3，除以2。淳风等按：粝饭率是75，由粟求粝饭，应当用此数乘。现在用等数25约简这二种率，所求率得3，所有率得2。所以乘以3，除以2。
假设有3斗6升粟，想换成粺饭。问：得多少？
答：换成3斗升粺饭。
术：由粟求粺饭，乘以27，除以25。淳风等按：此术与求大之术大体相同。
假设有8斗6升粟，想换成糳饭。问：得多少？
答：换成8斗升糳饭。
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