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9〕以上议命而除之，则立方等：以议得a1乘以a1为边长的面积，得。这样就得到一个每边恰好相等其体积为的正方体。命，就是乘。除，是减。以减原体积A，得余实。在这个例子中就是32 461 759-3003=5 461 759。在刘徽的几何解释中，原体积A相当于正方体，如图4-4（1），除去的相当于以a1为边长的正方体，如图4-4（2）。
〔10〕除已，三之为定法：做完除法，以3乘法，得作为定法。《九章算术》这里的“除”仍是“除法”。
〔11〕豫张三面，以定方幂为定法：刘徽认为，《九章算术》的方法是预先展开将要除去的三个扁平长方体（位于以为体积的正方体的三面之旁）的面，如图4-4（3），所以以为定法。
〔12〕折而下：将定法缩小，下降一位。开方式成为：
〔13〕“三面方幂”二句：因为三个扁平长方体的面已经是a1的自乘，所以通过折、议确定这三个扁平的长方体的厚薄。议，议第二位得数，记为a2。
〔14〕成方：确定的方。方，方幂的简称。它就是“法”，或“法”的一部分，又称为“方法”。此后“方”或“方法”成为开方术中表示一次项系数的专用名词。在刘徽的几何解释中，三方就是以为面，以第二位得数为厚的扁平长方体，如图4-4（3）。
〔15〕复除当以千为百，折下一等：刘徽认为，因为定法中已有，故在作第二次除法时将千作为百，这通过退一位实现。
〔16〕以三乘所得数，置中行：《九章算术》是将3a1布置于中行。这个例子中是将3×3=9布置在中行。
〔17〕三廉之定长：刘徽认为以3乘得数a1，称为三廉。这是将第一位得数a1预设为三廉的长。廉，本义是边，侧边。《仪礼·乡饮酒礼》：“设席于堂廉东上。”郑玄注：“侧边曰廉。”引申为棱。廉在继续开方中成为“法”的一部分，又称为“廉法”。在刘徽的几何解释中，三廉就是位于除去的以a1为边长的正方体与三方之间的棱上，故名，如图4-4（4）。此后“廉”或“廉法”成为开方术中表示二次或二次以上直至次高次项系数的专用名词。
〔18〕复借一算，置下行：《九章算术》在下行又布置借算。可见在得出第一位得数后“借算”自动消失，即被还掉。开方式变成：
〔19〕“欲以为隅方”三句：刘徽认为，借一算的目的是为了求位于隅角的小正方体的边长。该小正方体边长相等，但数值还没有确定，所以借一算，形成一个开方式。此后“隅”成为开方术中表示最高次项的系数的专门术语。
〔20〕“步之”三句：《九章算术》是自右向左，中行隔一位移一步，下行是隔二位移一步。在这个例题中，开方式变成：
此即减根方程：
（102x2）3+3×300×（10x2）2+3×3002×10x2=5 461 759。
〔21〕“上方法”三句：“方法”中有长的自乘，即，故“一折”，即退一位。
〔22〕“中廉法”三句：“廉法”中只有长a1，故降一等，即退二位。但，表示范围，只，仅。《史记·刘敬叔孙通列传》：“匈奴匿其壮士、肥牛马，但见老弱及羸畜。”
〔23〕“下隅法”三句：“隅法”没有长，故又降一等，即退四位。可见与开方术一样，刘徽不再还掉借算，中行自然与借算相应。其筹式原来应是：
通过法、廉、隅分别退位，得到
与注〔20〕同一开方式。
〔24〕复置议，以一乘中：《九章算术》议得根的第二位得数a2，以其一次方乘中行，得3a1a2。
〔25〕为三廉备幂：刘徽认为这是为三个廉预先准备面积。在这个例子中a2=10，3a1a2=9 000。
〔26〕再乘下：《九章算术》以第二位得数的平方乘下行，仍为。
〔27〕令隅自乘，为方幂：刘徽认为这是使隅法自乘，成为一个小正方形的面积。在这个例子中，。
〔28〕皆副以加定法：《九章算术》将乘得的中行3a1a2、下行都加到定法上，得。仍称为定法，这也体现出位值制。
〔29〕以定除：《九章算术》以定法除余实，其商的整数部分恰好为a2。在这个例子中。算式是：
〔30〕“三面”二句：刘徽认为，三个面、三个廉、一个隅都已具备了面积，以第二位得数乘之，从余实中除去，就相当于除去三个面积的厚薄。刘徽注此处的“除”是减的意思。
〔31〕“除已”三句：完成除法之后，将下行加倍即，加到中行，得，都加到定法上，得。
〔32〕“凡再以中”五句：《九章算术》的做法相当于中行的2倍，下行的3倍，刘徽认为三廉中每个廉都以两个面与两个方相连，一隅位于三廉的端上。
〔33〕言不尽意：语言不可能穷尽其中的意思。语出《周易·系辞上》：“子曰：‘书不尽言，言不尽意。’然则圣人之意，其不可见乎？”“言不尽意”与“言尽意”是魏晋时期玄学家的争论的论题之一。
〔34〕解此要（yào）当以棋，乃得明耳：解决这个问题关键是应当使用棋，才能明白。要，关键，纲要。《韩非子·扬权》：“圣人执要，四方来效。”棋，中国古代的多面体模型。
〔35〕复除，折下如前：《九章算术》认为，如果继续作开方除法，应当如同前面那样将法退一位（刘徽则是法退一位，中行退二位，下行退三位）。在这个例子中，算式变为
〔36〕术亦有以定法命分者：各种方法中也有以定法命名一个分数的。设根的整数部分为a，刘徽之前也有将根的近似值表示成的。
〔37〕“若积有分者”三句：如果被开方数有分数，则将整数部分通分，纳入分子，作为定实，对定实开方。设被开方数的整数部分为A，分数部分为。则以为定实。
〔38〕开其母以报除：如果C是完全立方数，设，《九章算术》的方法是：。
〔39〕“若母不可开者”五句：如果C不是完全立方数，《九章算术》的方法是：
〔40〕此是系统复述刘徽注和李淳风等注释。
〔41〕开立方知：与下文“议所得，以再乘所借算为法，而以除知”、“‘复除，折而下’知”，此三“知”字训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔42〕但：凡，凡是。
〔43〕方再自乘：指边长自乘2次，即其立方。方，边长。
【译文】
假设有体积1 860 867尺3。这里尺3是说立方之尺。凡是物体有高或深而讨论其体积，就叫作立方。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：123尺3。
假设又有体积尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
假设又有体积尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
假设又有体积1 937 541 17 27尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
开立方正方体的各边恰好相等，求它的一边长。术：布置体积，作为实。借1算，将它向左移动，每隔二位移一步。这意味着千位数的边长是十位数，百万位数的边长是百位数。商议所得的数，以它的二次方乘所借1算，作为法，而以法除实。以二次方乘，只是正方形的面积。以位于上方的商议的数乘它而成为实，那么立方的边长就相等。作完除法，以3乘法，作为定法。为了能继续作除法，所以预先展开三面，以已经确定的正方形的面积作为定法。若要继续作除法，就将法缩小而退位。如果继续作除法，因为三面正方形的面积都是自乘之数，所以必须通过缩小法、商议所得的数来确定它们的厚薄。如果开正方形的面积，百位数的正方形的边长是十位数，如果开正方体的体积，千位数的正方体的边长是十位数。根据定法已有了确定的正方形的面积，所以继续作除法时应当把10 000变成100，就是说将它退一位而缩小。以3乘商议所得到的数，布置在中行。列出三廉确定的长。又借1算，布置于下行。想以它建立位于隅角的正方体。该正方体的边长相等，但尚没有确定的数，姑且布置1算，以确定它的地位。将它们向左移动，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步。位于上行的方法，是长的自乘，所以退一位；位于中行的廉法，只有长，所以再退一位；位于下行的隅法，没有面，也没有长，所以又退一位。布置第二次商议所得的数，以它的一次方乘中行，为三个廉法准备面积。以它的二次方乘下行，使隅的边长自乘，变成正方形的面积。都在旁边将它们加定法。以定法除余实。三个方面、三个廉、一个隅都已具备了面积。以在上方议得的数乘它们，减余实，这就除去了三种面积的厚。完成除法后，将下行加倍，加中行，都加入定法。凡是以中行的2倍、下行的3倍加定法，是因为三个廉应当分别以两个侧面的面积连接于两个方的侧面，一个隅的三个面连接于三个廉的顶端，为的是准备继续作除法。用语言无法表达全部的意思，解决这个问题关键是应当使用棋，才能把这个问题解释明白。如果继续作除法，就像前面那样缩小、退位。如果是开方不尽的，也称为不可开。各种方法中也有以定法命名一个分数的，不如用原来的体积继续开方，以微数作为分数。如果已给的体积中有分数，就通分，纳入分子，作为定实，对定实开立方。完了，对它的分母开立方，再以它作除法。淳风等按：如果分母是完全立方数，通分后的积已经对应于三重分母，完成开立方之后，仍存在一重分母。所以对分母开立方，求出一重分母作为法，用它作除法。如果分母不是完全立方数，就以分母的二次方乘定实，才对它开立方。完了，以分母除。淳风等按：分母不可开的数，本来是一重分母。又以分母的二次方乘之，使它合成三重分母。完成开方之后，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整个边长。 按：开立方就是当立方的各边恰好相等，求它的一边长。“借1算，将它向左移动，每隔二位移一步”的原因是，凡求正方体的体积，都是边长自乘2次，然后就这个积开立方，所以要隔二位移一步，这意味着千位数的边长是十位数，百万位数的边长是百位数。“商议所得的数，以它的二次方乘所借1算，作为法，而以法除实”的原因是，求成为正方形的面积，以位于上方的商议所得的数乘它而减实，那么立方的长就相等。“作完除法，以3乘法，作为定法”是因为体积未除尽，应当继续作除法，所以预先展开三面，以已经确定的正方形的面积作为定法。“若要继续作除法，就将法缩小而退位”的原因是，三面正方形的面积都是自乘之数，所以必须通过缩小法、商议所得的数来确定它们的厚薄。根据开平方，百位数的边长是十位数，如果开立方，千位数的边长是十位数；而定法已有了确定的正方形的面积，所以继续作除法时应当把千位数变为百位数，就是将其退一位而缩小。“以3乘商议所得到的数，布置在中行”是列出三廉确定的长。“又借1算，布置于下行”，是想以它建立位于隅角的正方体，其边长相等，但尚没有确定的数，姑且布置1算以确定它的地位。“将它们向左移动，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步”的原因是，位于上行的方形的法是长的自乘，所以退一位，位于中行的廉形的法只有长，所以再退一位，位于下行的隅形的法既没有面，也没有长，所以又退一位。“布置第二次商议所得的数，以它的一次方乘中行”，这是为三个廉形的法准备面积。“以它的二次方乘下行”，相当于使隅的边长自乘，变成正方形的面积。“都在旁边将它们加定法。以定法除余实”的原因是，三个面、三个廉、一个隅都已具备了面积，以在上方商议所得的数乘它们，减余实，这就除去了三种面积的厚。“完成除法后，将下行加倍，加中行，都加入定法”，是因为三个廉应当分别以两个侧面的面积连接于两个方的侧面，一个隅的三个面连接于三个廉的顶端，为的是准备继续作除法。如果是开方不尽的，就像前面那样缩小、退位。再开方，就符合问题的答案。“如果已给的体积中有分数，就通分，纳入分子”，对之开立方，“完了，对它的分母开立方，再以它作除法”，这是因为，如果分母是完全立方数，通分后的体积已经对应于三重分母。完成开立方之后，仍存在一重分母。所以对分母开立方，求出一重分母，作为法，再用它作除法。“如果分母不是完全立方数，就以分母的二次方乘定实，才对它开立方。完了，以分母除”，这是因为，分母不是完全立方数，本来是一重分母。又用分母的二次方乘之，使它合成了三重分母。完成开方之后，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整个边长。
今有积四千五百尺。亦谓立方之尺也。问：为立圆径几何〔1〕？
荅曰：二十尺。依密率〔2〕，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十〔3〕。
又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问：为立圆径几何？
荅曰：一万四千三百尺。依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三〔4〕。
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径〔5〕。立圆，即丸也〔6〕。为术者盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三。圆囷居立方亦四分之三〔7〕。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也〔8〕。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也〔9〕。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也〔10〕。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸〔11〕。规之为圆囷，径二寸，高二寸〔12〕。又复横因之〔13〕，则其形有似牟合方盖矣〔14〕。八棋皆似阳马，圆然也〔15〕。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也〔16〕。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉〔17〕？以周三径一为圆率，则圆幂伤少〔18〕，令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐〔19〕，而多少不掩〔20〕。判合总结〔21〕，方圆相缠，浓纤诡互〔22〕，不可等正〔23〕。欲陋形措意〔24〕，惧失正理。敢不阙疑〔25〕，以俟能言者〔26〕。 黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也〔27〕。《周官·考工记》〔28〕：“?氏为量〔29〕，改煎金锡则不耗。不耗然后权之〔30〕，权之然后准之〔31〕，准之然后量之〔32〕。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开方除之，即丸中之立方也〔33〕。假令丸中立方五尺〔34〕，五尺为句，句自乘幂二十五尺。倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也〔35〕。以此弦为股，亦以五尺为句，并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也〔36〕。大弦则中立方之长邪〔37〕，邪即丸径也〔38〕。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一也〔39〕。令大弦还乘其幂，即丸外立方之积也〔40〕。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之〔41〕。为面，命得外立方积〔42〕，四十二万一千八百七十五尺之面〔43〕。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺〔44〕。一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十五尺之面〔45〕。皆以六百二十五约之，外立方积六百七十五尺之面，中立方积二十五尺之面也〔46〕。张衡算又谓立方为质，立圆为浑〔47〕。衡言质之与中外之浑〔48〕。六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也〔49〕。内浑二十五之面，谓积五尺也〔50〕。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也〔51〕。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也〔52〕。衡又言质六十四之面，浑二十五之面〔53〕。质复言浑，谓居质八分之五也〔54〕。又云：方八之面，圆五之面〔55〕，圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也〔56〕，失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣〔57〕。虽有文辞，斯乱道破义，病也〔58〕。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也〔59〕。以分母乘全内子，得一百一十七〔60〕；又置内质积五，以分母乘之，得四十〔61〕；是为质居浑一百一十七分之四十〔62〕，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知〔63〕，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也〔64〕。令方周六十四尺之面，即圆周四十尺之面也〔65〕。又令径二尺自乘，得径四尺之面〔66〕，是为圆周率十之面，而径率一之面也〔67〕。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法。然增周太多，过其实矣〔68〕。
【注释】
〔1〕立圆：球。《九章算术》时代将今之球称为“立圆”。
〔2〕密率：指。此处没有他处之“臣淳风等”诸字，盖李淳风等使用过此率，但不能说凡使用此率的都是李淳风等。因此依密率计算球体积，未必是李淳风等所为。
〔3〕根据得出的球体积公式（见下），以及直径d=20尺，此球体积为：。
〔4〕根据得出的球直径为尺。当时地面上不存在这么大的球，再一次表明《九章算术》的题目并不全是实际应用题，而只是算法的例题。
〔5〕设球的直径、体积分别为d，V，此即《九章算术》求球直径的公式
刘徽证明这个公式是错误的。
〔6〕丸：球，小而圆的物体。《说文解字》：“丸，圜，倾侧而转者。”
〔7〕圆囷（qūn）：圆柱体，《九章算术》称为圆堢，卷五有圆堢问。囷，古代圆形的谷仓。《说文解字》：“囷，廪之圜者。”圆囷居立方亦四分之三：设正方体体积为V方，其内切圆囷的体积为V囷，《九章算术》时代认为V方:V囷=4:3。这是由V方:V囷=4:π，取π=3得到的。如图4-5（1）。
图4-5 球与外切圆柱体
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔8〕为丸率九：日本三上义夫改为“丸为圆率九”。 丸居圆囷又四分之三：《九章算术》时代认为圆囷与内切球的关系为：V囷:V=4:3。
〔9〕“四分自乘得十六”三句：4分自乘得16，3分自乘得9，因此球体积是其外切正方体体积的，亦即
以上是刘徽记载的《九章算术》时代推导球体积的方法。
〔10〕“丸径与立方等”三句：由于球直径等于其外切正方体的边长，故开立方除之，得到球直径，即《九章算术》的公式（4-1）。
〔11〕立方一寸：边长为1寸的正方体。 立方二寸：边长为2寸的正方体。
〔12〕规之为圆囷：用规在正方体内作圆囷，即正方体之内切圆柱体。其底直径与高都是2寸。规，本义是画圆的工具，这里指用规切割。
〔13〕横因之：横着用规切割，即与切割出圆囷的方向垂直。因，因袭，沿袭。《论语·为政》：“殷因于夏礼，所损益，可知也。”
〔14〕牟合方盖：两个相合的方盖。牟，加倍。《楚辞·招魂》：“成枭而牟。”王逸注：“倍胜为牟。”刘徽将两个全等的圆柱体正交，取其公共部分而得到牟合方盖，如图4-6。
图4-6 牟合方盖
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔15〕圆然：像圆弧形的样子。
〔16〕设牟合方盖的体积为V盖，则：
V盖:V=4:π。（4-3）
〔17〕阙（quē）：过失，弊病。《诗经·大雅·烝民》：“衮职有阙，维仲山甫补之。”郑玄笺：“善补过也。”此谓V囷:V=4:π不可能成立。
〔18〕伤：嫌，失之于。《汉语大词典》的例句是《北史·苏威传》：“所修格令章程，并行于当世，颇伤烦碎，论者以为非简久之法。”比刘徽晚多矣。
〔19〕衰杀（shài）：衰减。杀，差（cī），差等。《礼记·文王世子》：“其族食世降一等，亲亲之杀也。”郑玄注：“杀，差也。”
〔20〕多少不掩：大小无法知道。掩，取，捕取，覆取。《方言》卷六：“掩，取也。自关而东曰掩。”
〔21〕判合总结：分割并合汇聚。判，分割，分离。《左传·庄公三年》：“纪季以酅入于齐，纪于是乎始判。”杜预注：“判，分也。”总，汇聚。结，聚合，凝聚。
〔22〕浓纤诡互：浓密纤细互相错杂。浓，密，厚，多。诡互，奇异错杂。沈约《佛记序》：“神涂诡互，难以臆辨。”此例句亦晚于刘徽矣。
〔23〕等正：齐等规范。等，本义是整齐的竹简。引申为同，等同，齐等。正，合规范，合标准。《论语·乡党》：“割不正不食。”
〔24〕陋形：刘徽自谦之辞。陋，粗俗，鄙野。 措意：留意，在意，用心。《孔子家语·致思》：“丈夫不以措意，遂渡而出。”
〔25〕敢不阙疑：岂敢不把疑惑搁置起来。阙疑，对疑难未解的问题不妄加评论。《论语·为政》：“多闻阙疑，慎言其余，则寡尤。”刘宝楠正义：“其义有未明，未安于心者，阙空之也。”
〔26〕俟：等待。《诗经·邶风·静女》：“静女其姝，俟我于城隅。”郑玄笺：“俟，待也。” 能言者：能解决这个问题的人。这位“能言者”就是约200年后的祖冲之父子，见下李淳风等注释。
〔27〕这是说，《九章算术》所使用的V方:V=16:9是从边长为1寸的正方体的金块重16两，直径为1寸的金球重9两的测试中得到的。刘徽自己没有试验过。
〔28〕周官：即《周礼》，有春、夏、秋、冬四官。汉以后，冬官亡佚，人们遂以《考工记》充冬官，故云《周官·考工记》。《考工记》，是先秦的一部关于技术规范与手工业管理的重要著作，学术界多认为其成书于战国的齐国。
〔29〕?氏：《考工记》记载的管理冶铸的官员。李籍云：“?氏，铸量之官也。”一作栗氏。
〔30〕权：本是秤锤，或秤。这里指称量。《孟子·梁惠王上》：“权，然后知轻重。”
〔31〕准：本义是平，引申为测平的工具。《管子·水地》：“准也者，五量之宗也。”进而引申为标准。《荀子·致使》：“程者，物之准也。”这里是标准的意思。
〔32〕量：度量。以上文字引自《周礼·考工记》。
〔33〕这是由球的直径求其内接正方体的边长。如图4-7，设内接正方体的边长为a，考虑以球的内接正方体的一面的两边为勾、股，以对角线为弦构成的勾股形，正方体底面的对角线c，根据勾股术，则c2=a2+a2=2a2。再考虑以内接正方体的一边a为勾，以一面的对角线c为股，以球直径d为弦的勾股形，则弦为，故。此弦下文称为大弦。
图4-7 球内接正方体
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔34〕中立方：球的内接正方体。其边长为5尺。
〔35〕假设球的内接正方体的一边a为5尺，则c2=2×（5尺）2=50尺2，则弦尺。
〔36〕此谓，大弦尺。
〔37〕长邪：又称为“大弦”。即圆内接正方体的对角线，上述勾股形的大弦。
〔38〕邪即丸径：长邪就是球的直径。
〔39〕中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一：。
〔40〕丸外立方：球的外切正方体，下常称为外立方。它的边长是大弦d。以d乘其幂d2，就得到以大弦即球直径为边长的正方体的体积，也就是球的外切正方体的体积：V外=d3。
〔41〕大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之：大弦之幂为d2=3a2=75尺2，开方不尽。再自乘之，即d2d2d2=d6=（75尺2）3。
〔42〕为面，命得外立方积：建立大弦幂再自乘的面，就是球的外切正方体的体积。换言之，d6的面就是，因此，球的外切立方体的体积d3就是d6的面。
〔43〕四十二万一千八百七十五尺之面：球的外切正方体体积是（75尺2）3=421 875尺6之面。此面显然以尺3为单位。
〔44〕“令中立方五尺自乘”三句：球的内接正方体的体积V内=a3=（5尺）3=125尺3。
〔45〕“一百二十五尺自乘”四句：将125尺3自乘，建立它的面，就得到球的内接正方体的体积，它就是（125尺3）2=15 625尺6之面。此面显然以尺3为单位。
〔46〕将421 875尺6与15 625尺6皆以等数625约之，则外切正方体的体积d3是675尺6之面，内接正方体的体积a3就是25尺6之面。
〔47〕张衡算：是指张衡的一部数学著作，或就是《算网论》，还是泛指张衡的数学知识，不详。张衡（78——139），字平子，南阳（属河南省）人。东汉著名天文学家、数学家、文学家。崔瑗《河间相张平子碑》云他“天资睿哲，敏而好学”。公元115年、126年两度为太史令，掌天时，星历。撰天文著作《灵宪》、《浑天仪注》和数学著作《算网论》，后者已佚。制造世界上第一台地震观测仪器候风地动仪。还撰《西京赋》、《东京赋》、《归田赋》、《四愁诗》等中国文学史上的名篇。 又谓立方为质，立圆为浑（hùn）：张衡又将正方体称为质，将球称为浑。
〔48〕衡言质之与中外之浑：张衡讨论了正方体（即质）与其外接球（即外浑）、内切球（中浑）体积的相与关系。外浑就是所讨论的球，中浑下称内浑。
〔49〕由于，张衡认为，675尺6的面不足1就是26尺3，这是外浑即球的体积。
〔50〕内浑的体积V内浑是25尺6的面，也就是5尺3。
〔51〕“今徽令质言中浑”三句：现在我就正方体讨论它的内切球，就球又讨论它的内接正方体，那么两个正方体的相与之率等于两个球的相与之率，亦即
V外:V内=V:V内浑。（4-4）
〔52〕衡盖亦先二质之率推以言浑之率：刘徽认为张衡是由二正方体的体积之率推出二球的体积之率的。
〔53〕质六十四之面，浑二十五之面：张衡认为，质（正方体）的体积V质是64尺6之面，即8尺3，则浑（正方体的内切球）的体积V浑是25尺6之面，即5尺3。V质即V外，V浑即V。
〔54〕质复言浑，谓居质八分之五：于是:。
〔55〕方八之面，圆五之面：张衡认为
〔56〕以圆囷为方率，浑为圆率：张衡仍认为V圆柱:V球=4:π，重复了《九章算术》时代的错误。
〔57〕自然：当然。刘徽将“自然”作副词用。《北史·裴叔业传》：“咱应送家还都以安慰之，自然无患。”用作副词，却在刘徽之后矣。阴阳：见刘徽序注释。 奇耦：指奇数、偶数，即单数、双数。人们常将其与阴阳八卦联系起来。《周易·系辞下》：“阳卦奇，阴卦耦。”《孔子家语·执辔》：“子夏问于孔子曰：‘商问《易》之生人及万物鸟兽昆虫，各有奇耦，气分不同。’”认为人间万物皆有奇耦，陷入神秘主义。张衡未能免俗，因而受到刘徽的批评。
〔58〕乱道：败坏道术。乱，败坏，扰乱。《论语·卫灵公》：“巧言乱德，小不忍则乱大谋。” 破义：破坏义理。《淮南子·泰族训》：“孔子曰：‘小辨破言，小利破义，小艺破道。’”病：缺点，毛病。《庄子·让王》：“学而不能行谓之病。”刘徽批评张衡败坏道术、破坏义理的错误，应该包括得出“方八之面，圆五之面”，及“复以圆囷为方率，浑为圆率”等几点。
〔59〕此谓球的外切正方体（外质）体积是26尺3，则由，得出球（内浑）的体积。由此可见张衡仍用《九章算术》错误的球体积公式。
〔60〕此谓将球的体积的整数部分以分母8乘，纳入分子：。
〔61〕由（4-4）式，球的内接正方体（内质）的体积是5尺3。此谓以分母8乘5尺3，则。
〔62〕张衡得出V:V内=117:40。
〔63〕方周知：与下文“圆周知”，此二“知”，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔64〕“如衡术”三句：张衡认为，如果圆外切正方形周长的率是8的面，则圆周长的率是5的面。此即
其中L方是圆外切正方形的周长，L是圆周长。由（4-5）式，这是显然的。
〔65〕令方周六十四尺之面，即圆周四十尺之面：假设正方形周长的率是64尺2的面，则圆周长的率就是40尺2的面。这是显然的：由（4-6）式，若。
〔66〕令径二尺自乘，得径四尺之面：此谓若圆直径为2尺，将其自乘，直径是4尺2之面，即。
〔67〕圆周率十之面，而径率一之面：如果圆周的率是10的面，则直径的率是1的面。此即，换言之，张衡求得圆周率为。
〔68〕刘徽指出，批评张衡的圆周率不准确。
【译文】
假设有体积4 500尺3，也是说立方尺。问：变成球，它的直径是多少？
答：20尺。依照密率，球的直径是20尺，计算出体积是尺3。
假设又有体积1 644 866 437 500尺3，问：变成球，它的直径是多少？
答：14 300尺。依照密率，球的直径成为尺。
开立圆术：布置体积的尺数，乘以16，除以9，对所得的数作开立方除法，就是球的直径。立圆，就是球，设立此术的人原来是依照周3径1之率。使圆面积占据正方形面积的，那么圆柱亦占据正方体的。再使圆柱变为方率12，那么球的率就是9，球占据圆柱又是。布置4分，自乘得16，3分自乘得9，所以球占据正方体的。所以用16乘体积，除以9，便得到正方体的体积。球的直径与外切正方体的边长相等，所以作开立方除法，就得到球的直径。然而这种思路是错误的。为什么呢？取8枚正方体棋，使每个正方体的边长都是1寸，将它们拼积起来，成为边长为2寸的正方体。竖着用圆规分割它，变成圆柱体：直径是2寸，高也是2寸。又再横着使用上述方法分割，那么分割出来的形状就像一个牟合方盖。而8个棋都像阳马，只是呈圆弧形的样子。按：合盖的率是方率，那么球内切于其中，就是圆率。由此推论，说这圆柱体为方率，难道不是错误的吗？以周3径1作为圆率，那圆面积少了一点；使圆柱体为方率，那球的体积多了一点。互相补偿，所以9与16之率恰与实际情况接近，而球的体积仍多了一点。考察正方体之内，合盖之外的部分，虽然是有规律地渐渐削割下来，然而它的大小无法搞清楚。它们分割成的几块互相聚合，方圆互相纠缠，彼此的厚薄互有差异，不是齐等规范的形状。想以我的浅陋解决这个问题，又担心背离正确的数理。我岂敢不把疑惑搁置起来，等待有能力阐明这个问题的人呢？ 1寸见方的黄金，重16两；直径1寸的金球，重9两。术文中的率来源于此，未曾被检验过。《周官·考工记》说：“?氏制造量器的时候，熔炼改铸金、锡而没有损耗；没有损耗，那么就称量之；称量之，那么就把它作为标准；把它作为标准，那么就度量之。”就是说，熔炼黄金使之极精，而后分别改铸成正方体与球，就可以确定它们的率。使球的直径自乘，除以3，再对之作开方除法，就是球中内接正方体的边长。假设球中内接正方体每边长是5尺，5尺作为勾。勾自乘得面积25尺2。将之加倍，得50尺2，作为弦方的面积，是说平面上正方形的边长5尺所对应的弦。把这个弦作为股，再把5尺作为勾。把勾方的面积与股方的面积相加，得到75尺2，这就是大弦方的面积。对之作开方除法，就可以知道大弦的长。大弦就是球内接正方体的对角线。这条对角线就是球的直径。所以球内接正方体的边长自乘的面积，对于球直径自乘的面积是。使大弦又乘它自己的面积，就是球外切正方体的体积。对大弦方的面积开方不尽，于是使它的面积75再自乘，求它的面，便得到外切正方体体积即421 875尺6之面。又使内接正方体的边长5尺自乘，再以边长乘之，得到积125尺3。使125尺3自乘，求它的面，便得到内接正方体的体积，即15 625尺6的面。都用625约简，外切正方体体积是675尺6的面，内接正方体的体积是25尺6的面。《张衡算》却把正方体称为质，把球称为浑。张衡论述了质与其内切、外接浑的关系。675尺6的面，对之作开方除法，只差1，外接浑的体积就是26尺3；内切浑是25尺6的面，是说其体积5尺3。现在我就质讨论它的内切浑，就浑又讨论它的内接质，那么，两个质的相与之率，等于两个浑的相与之率。大约张衡也是先有二质的相与之率，由此推论出二浑的相与之率。张衡又说，质是64之面，浑是25之面。由质再说到浑，它占据质的。他又说，如果正方形是8的面，那么圆是5的面。圆与浑互相推求，知道他又把圆柱作为方率，把浑作为圆率，失误太大。张衡的说法当然是想协调阴阳、奇耦的学说而不顾及它是粗疏还是精密了。虽然他的言辞很有文采，这却是败坏了道术，破坏了义理，是错误的。布置外切质的体积26尺3，乘以9，除以16，得到尺3，就是质中内切浑的体积。以分母乘整数部分，纳入分子，得117。又布置内切质体积5尺3，以分母乘之，得40。这意味着质占据浑的，而浑的率的失误仍在于稍微多了一点。假设正方形每边长2尺，正方形有4边，加起来得8尺，称为正方形的周长。使其中内切圆的直径与正方形边长相等，也是2尺。以圆半径乘圆周长的一半，就是圆面积。以正方形边长的一半乘其周长的一半，就是正方形的面积。那么，正方形的周长就是正方形面积的率，圆周长就是圆面积的率。按：如果按照张衡的方法，正方形周长之率是8的面，圆周长之率是5的面。如果使正方形的周长是64的面，那么圆周长是40尺的面；又使直径2尺自乘，得到直径是4尺的面。这就是圆周率是10的面，而直径率是1的面。张衡也认为周3径1之率是错误的。正因为此，他重新撰述这种方法。然而周长增加太多，超过了它的准确值。
臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽〔1〕、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率〔2〕，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径〔3〕。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅〔4〕，从规去其右上之廉〔5〕；又合而横规之，去其前上之廉〔6〕。于是立方之棋分而为四：规内棋一，谓之内棋〔7〕。规外棋三，谓之外棋〔8〕。规更合四棋〔9〕，复横断之〔10〕。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，其弦也〔11〕。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂〔12〕。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也〔13〕。本方之幂即此四棋之断上幂〔14〕。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣〔15〕。不问高卑，势皆然也〔16〕。然固有所归同而涂殊者尔〔17〕，而乃控远以演类，借况以析微〔18〕。按：阳马方高数参等者，倒而立之〔19〕，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉〔20〕。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异〔21〕。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也〔22〕。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣〔23〕。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖〔24〕。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较然验矣〔25〕。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率〔26〕。故曰丸居立方二分之一也〔27〕。”等数既密〔28〕，心亦昭晣〔29〕。张衡放旧，贻哂于后〔30〕；刘徽循故，未暇校新〔31〕。夫岂难哉？抑未之思也〔32〕。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，约此积〔33〕。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一〔34〕。凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。
【注释】
〔1〕祖暅之：一作祖暅，字景烁，生卒年不详，南朝齐、梁数学家、天文学家，祖冲之之子。“究极精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕无以过也。”聚精会神之时，雷霆不能入。有一次他走路思考问题，撞到仆射徐勉身上。徐勉唤他，方才醒悟。传为佳话。梁天监六年（507）治漏，撰《漏经》。又修乃父《大明历》，九年（510）得以颁行。尝作《浑天论》，造铜圭影表，撰《天文录》三十卷。位至大舟卿。《北史·信都芳传》云，南朝梁普通六年（525）祖暅之被北魏俘虏，在王子元延明家，“不为王所待。芳谏王礼遇之。暅后还，留诸法授芳，由是弥复精密”。又应元延明之约，撰《欹器》、《漏刻铭》。还朝后任南康太守。
〔2〕李淳风等无视刘徽纠正了前人“圆囷为方率，丸为圆率”的错误，首创牟合方盖，为祖暅之最后解决球体积问题指出了正确方向的巨大功绩，而将刘徽与张衡同等指责，又一次说明李淳风等数学水平之低下。
〔3〕“以二乘积”三句：此处取π=3，则祖暅之给出
〔4〕立枢于左后之下隅：如图4-8（1），这是说以立方棋ABCDEFGO的左后下角O作为中心，引出两条转轴：纵轴OE和横轴OG，分割出牟合方盖的。枢，户枢，门的转轴或门臼。
图4-8 牟合方盖求积
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔5〕从规去其右上之廉：用规纵着切割，除去右上的廉。此指用以纵轴OE为中心轴的圆柱面AGFD从纵的方向对立方棋ABCDEFGO进行分割，切除其右上廉ABCDFG。规，本是圆规，引申为圆形，这里是动词。从规，是从纵的方向用规进行切割。
〔6〕又合而横规之，去其前上之廉：将被纵规切割的正方体拼合起来，用规横着切割，除去前上的廉。此指用以横轴OG为中心轴的圆柱面ABFE从横的方向对正方棋ABCDEFGO进行分割，切除其前上廉ABCDEF。横规，是从横的方向进行分割。
〔7〕“于是立方之棋分而为四”三句：正方体ABCDEFGO通过纵规、横规，分割成4个棋。位于规内的，是1个，称为内棋。此即牟合方盖的：AEFGO，如图4-8（2）。
〔8〕规外棋三，谓之外棋：规外面有3个棋，称为外棋。即牟合方盖之外的3部分：ABFG，ADEF，ABCDF，如图4-8（3），（4），（5）。
〔9〕规更合四棋：沿着规将4个棋重新拼合在一起。规，指4个棋沿“规”处相合。
〔10〕横断之：用一平面横着截断正方棋。即在内棋的高OA上任一点N处用一平面NIJK横截正方棋ABCDEFGO。
〔11〕余高：剩余的高，即ON。 内棋断上方：内棋截面正方形的边长，即NM。 本方之数：本来的正方棋的边长，即球半径OA。显然OM=OA。考虑以余高ON为勾（记为a），内棋断上方NM为股（记为b），以球半径即本方之数OM为弦（记为r）的勾股形ONM。
〔12〕此复述勾股术即勾股定理。
〔13〕“令余高自乘”三句：由勾股定理，b2=r2-a2。
〔14〕本方之幂即此四棋之断上幂：本方的幂是四棋横截面处的面积之和。此即正方体ABCDEFGO在N处之横截面等于N处牟合方盖的横截面积NMHL和外三棋在N处的横截面积MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔15〕然则余高自乘，即外三棋之断上幂：那么，余高自乘等于外三棋横截面积之和。此即a2等于外三棋在N处的横截面积MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔16〕不问高卑，势皆然也：不论高低，其态势都是这样的。此谓以上的论述不论N点的高低都是如此。
〔17〕固有：本来就有。《周易·益》：“益用凶事，固有之也。” 所归同而涂殊：殊涂同归，又作殊途同归。涂，通途。
〔18〕控远以演类：驾驭远的，以阐发同类的。控，本义是引弓，开弓。引申为驾驭，控制。《诗经·郑风·大叔于田》：“抑磬控忌，抑纵送忌。”毛传：“骋马曰磬，止马曰控。”演，推演，阐发。 借况以析微：借宏大的以分析细微的。况，通“皇”。《荀子·非十二子》：“成名况乎诸侯，莫不愿以为臣。”孙诒让《札迻》卷六：“况与‘皇’通。”皇，大。《诗经·大雅·皇矣》：“皇矣上帝，临下有赫。”毛传：“皇，大。”由“析微”可知，此“况”应指宏观的、大的情形。
〔19〕阳马方高数：阳马的正方形底的边长与高的数值实际上是其广、长、高的数值。 参（sān）等：广、长、高三者相等。参，同三。《左传·隐公元年》：“先王之制，大都不过参国之一。”杜预注：“三分国城之一。”此谓取广、长、高相等的阳马，将其倒置。如图4-8（6）。
〔20〕横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉：用一正方形横截此倒立的阳马，除去上部，则余高自乘等于其上方截断处的面积。设截断处距顶点为a，截断处的正方形的边长也是a，其面积为a2，则余高自乘a2与其相等。
〔21〕缘幂势既同，则积不容异：因为幂的态势都相同，所以它们的体积不能不同。这就是著名的祖暅之原理：诸立体凡等高处截面积相等，则其体积必相等。它在西方称为卡瓦列利（B.Cavalieri，1598——1647）原理。缘，因为。班固《白虎通·丧服》：“天子崩，赴告诸侯者何？缘臣子丧君，哀痛愤懑，无能不告语人者也。”既，副词，全，都。《左传·僖公二十二年》：“楚人未既济。”
〔22〕规之外三棋旁蹙（cù）为一，即一阳马：规之外三棋在旁边聚合为一个立体，就是一个阳马。蹙，聚拢，皱缩。《孟子·梁惠王》：“举疾首蹙而相告。”
〔23〕“三分立方”三句：将一个正方体分割成三等份，则阳马是1份，那么可以知道内棋占据2份。换言之，外三棋的体积之和与广、长、高为球半径r的阳马的体积相等，即，于是内棋AEFGO的体积是。
〔24〕合八小方成一大方，合八内棋成一合盖：将8个小正方体合成一个大正方体，将8个内棋合成一个牟合方盖。上面讨论了球的外切牟合方盖与外切正方体的，现在回到整个的牟合方盖和正方体。
〔25〕“内棋居小方三分之二”三句：由于内棋占据小正方体的，那么牟合方盖占据整个正方体也是，明显地被证明了。换言之，。较然，明显貌。《史记·刺客列传》：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，其妄也哉！”
〔26〕约而定之，以为丸率：约简而确定之，将其作为球体积的率。此谓取π=3，由V合盖:V=4:3，得到。
〔27〕此谓。
〔28〕等数既密：等到数值已经精确了。
〔29〕昭晣：明了，清楚，明显。何晏《景福殿赋》：“虽离朱之至精，犹眩曜而不能昭晣也。”《说文解字》：“‘昭晣’，明也。”《广雅·释诂四上》：晣，“明也”。
〔30〕放（fǎnɡ）旧：模袭旧的方法。放，仿效，模袭。《书·尧典》：“曰若稽古，帝尧放重力。”孔颖达疏：“能放效上世之功。” 贻哂（shěn）：贻笑，见笑。贻，遗留。哂，微笑。李籍《音义》引作“咍哂”，并云：“上呼开切，下式忍切，笑也。”咍（hāi），嘲笑，嗤笑。按：“贻”与“咍”不知孰是。
〔31〕校新：考察新的方法。校，考察，考核。李淳风等无视刘徽对《九章算术》开立圆术的批评，设计牟合方盖，指出解决球体积的正确方向的重大贡献，再次对刘徽无端指责。
〔32〕抑：只是。
〔33〕约此积：求得这个体积。约，求取，得。《商君书·修权》：“夫废法度而好私议，则奸臣鬻权以约禄。”
〔34〕李淳风等依圆周率提出的球体积公式。
【译文】
淳风等按：祖暅之因为刘徽、张衡两人都把圆柱作为正方形的率，把球作为圆率，于是创立新的方法。祖暅之开立圆术：“以2乘体积，对之作开立方除法，就是球的直径。为什么是这样呢？取一枚正方体，将其左后下角取作枢纽，纵向沿着圆柱面切割去它的前上之廉，又把它们合起来，横向沿着圆柱面切割去它的右上之廉。于是正方棋分割成4个棋：圆柱体内1个棋，称为内棋；圆柱体外3个棋，称为外棋。沿着圆柱面重新把4个棋拼合起来，又横着切割它。用勾股定理考察这个横截面，将剩余的高作为勾，内棋的横截面的边长作为股，那么，原来正方形的边长就是弦。勾股法：以勾方的面积减弦方的面积，那么剩余的就是内棋的横截面之面积。原来正方形的面积就是此4棋之横截面积。那么，剩余的高自乘，就是外3棋的横截面积。不管横截之处是高还是低，其态势都是这样。而事情本来就有殊途同归的。于是引证远处的以推演同类的，借助大的以分析细微的。按：一个宽、长、高三度相等的阳马，将它倒立，横截去上部，那么它的高自乘与外3棋的横截面积的总和总是相等的。将棋积叠成不同的立体，循着每层的面积，审视其态势，如果每层的面积都相同，则其体积不能不相等。由此看来，圆柱外的3棋在旁边聚合成一个棋，就是一个阳马。将正方体分成3等份，那么由于阳马占据1份，便可知道内棋占据2份。将8个小正方体合成一个大正方体，将8个内棋合成一个合盖。由于内棋占据小正方体的，那么合盖占据大正方体也是，很明显地被证实了。布置，乘以圆幂率3，除以正方形幂的率4，约简而确定之，将其作为球体积的率。所以说，球占据正方形的。”等到数值已经精密了，思想就豁然开朗。张衡模袭旧的方法，给后人留下笑料。刘徽因循过去的思路，没有创造新的方法。这难道是困难的吗？只是没有深入思考罢了。依照密率，这球的体积，本来应当以球直径两次自乘，乘以11，除以21，便求得这个体积。今想求它本来的体积，所以乘以21，除以11。凡是一物的数量两次自乘，对之作开立方除法，就恢复其本来的数量。所以对之作开立方除法，就是球的直径。