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魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
盈不足〔1〕以御隐杂互见
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何〔2〕？
荅曰：
七人，
物价五十三〔3〕。
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？
荅曰：
九人，
鸡价七十〔4〕。
今有共买琎〔5〕，人出半，盈四；人出少半，不足三。问：人数、琎价各几何？
荅曰：
四十二人，
琎价十七〔6〕。
注云〔7〕：“若两设有分者，齐其子，同其母。”此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。又云〔8〕：“令下维乘上，讫，以同约之。”不可约，故以乘，同之〔9〕。
今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问：家数、牛价各几何？
荅曰：
一百二十六家，
牛价三千七百五十〔10〕。
按此术并盈、不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之，各得一家所出率；以少减多者，得一家之差。以除，即家数〔11〕。以多率乘之，减盈，故得牛价也〔12〕。
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。按：盈者，谓之朓〔13〕，不足者，谓之朒〔14〕，所出率谓之假令。令维乘所出率〔15〕，并，以为实。并盈、不足为法。实如法而一〔16〕。盈、朒维乘两设者欲为同齐之意〔17〕。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为实，并盈、不足为法〔18〕。齐之三十二者，是四假令，有盈十二。齐之二十一者，是三假令，亦朒十二。并七假令合为一实，故并三、四为法。有分者，通之〔19〕。若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。盈、不足相与同其买物者〔20〕，置所出率，以少减多，余，以约法、实〔21〕。实为物价，法为人数〔22〕。所出率以少减多者，余谓之设差，以为少设〔23〕。则并盈、朒，是为定实。故以少设约定实，则法，为人数，适足之实故为物价〔24〕。盈、朒当与少设相通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。
其一术曰：并盈、不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一〔25〕。以所出率乘之，减盈、增不足即物价〔26〕。此术意谓盈不足为众人之差，以所出率以少减多，余为一人之差。以一人之差约众人之差，故得人数也。
【注释】
〔1〕盈不足：中国古典数学的重要科目，“九数”之一，现今称之为盈亏类问题。秦汉数学简牍及郑玄引郑众“九数”作“赢不足”。李籍云：“盈者，满也。不足者，虚也。满、虚相推，以求其适，故曰盈不足。”
〔2〕此问是设人出8，记为a1，盈3，记为b1；人出7，记为a2，不足4，记为b2；求人数、物价。这是盈不足问题的标准表述。连同以下3问，都是盈不足术的例题，我们合为一组。
〔3〕将题设代入盈不足术公式（7-3），得，代入（7-2），得。
〔4〕此问是设人出9，记为a1，盈11，记为b1；人出6，记为a2，不足16，记为b2；求人数、鸡价。将其代入公式（7-3），得，代入（7-2），得70（钱）。
〔5〕琎：美石。《说文解字》卷一：琎，“石之似玉者”。“琎”字下，杨辉本有小字：“一云准。”李籍云：“一本作准。”可见李籍、杨辉都看到不同的《九章算术》抄本。准，古代定律数之乐器，状如瑟。汉京房（前77——前37）作，事见《晋书·律历志上》。
〔7〕注云：此为刘徽引盈不足术自注。
〔8〕又云：此亦为刘徽引盈不足术自注。
〔9〕不可约，故以乘，同之：自“又云令下维乘上”至此，继续讨论两设俱见零分的情形。将有零分的两设齐同，并以盈、朒维乘后，可以以同（即两设齐同后的公分母）约之，化成整数的情形；也可能以同约之不尽，即不可约，则以同（即两设齐同后的公分母，注中省去）乘两设及盈、朒，化成整数的情形，这是又一“同”的运算，故称“同之”。
〔11〕此谓盈与不足相加b1+b2为各家之差，所以作为实。，为一家所出率，则为一家所出之差，作为法。实除以法，就得家数。
〔12〕此谓牛价=家数×a1-b1=126×30-30=3 750（钱）。这是用盈不足术之其一术的方法。
〔13〕朓（tiǎo）：本义是夏历月底月亮在西方出现。《说文解字》：“朓，晦而月见西方谓之朓。”引申为盈，有余。
〔14〕朒（nǜ）：本义是夏历月初月亮在东方出现。《说文解字》：“朒，朔而月见东方谓之缩朓。”引申为不足。李籍云：朒，“不足也。或作朏，非是”。朏（fěi），夏历月初未胜之明，也指夏历每月初三。《说文解字》：“朏，月未胜之明。”又引《周书》曰：“丙午朏。”徐灏笺：“月朔初生明，至初三乃可见，故曰三日曰朏。”引申为不足。李籍云朏“非是”，则不妥。朏、朒都可以引申为不足。杨辉本作“朏”，其母本当是李籍所见另一抄本。
〔15〕维乘：交叉相乘，即杨辉所说的“四维而乘”，亦即杨辉所说的“互乘”。维，连结。《周礼·夏官·大司马》：“建牧立监，以维邦国。”郑玄注：“维，犹连结也。”此谓以盈、不足与两所出率交叉连结即相乘。
〔16〕《九章算术》的方法是，设出a1，盈b1，出a2，不足b2，则
《九章算术》提出以a1b2+a2b1作为实，以b1+b2作为法，那么不盈不朒之正数就是
用盈不足术解决一般数学问题便需要用（7-1）式。
〔17〕盈、朒维乘两设者欲为同齐之意：将盈、朒与两设交叉相乘，是想做到齐同的意思，即以盈、朒分别乘对方的整行，使盈、朒相同，同时使所出分别与盈、朒相齐。即
〔18〕“通计齐则不盈不朒之正数”三句：谓既然盈、朒已经相同，那么齐之后的所出就是既不盈，也不朒，因此可以将齐之后的所出相加作为实，将盈、朒相加作为法。
〔19〕有分者，通之：如果有分数，就通分。
〔20〕盈、不足相与同其买物者：如果使盈、不足相与通同，共同买东西的问题。
〔21〕以少减多，余，以约法、实：此谓求｜a1-a2｜，然后以｜a1-a2｜除法与实。约，除。
〔22〕此是《九章算术》为共买物类问题而提出的术文，它表示
这一运算也体现出位值制。
〔23〕“所出率以少减多者”三句：此谓将｜a1-a2｜称为设差，也就是少设。
〔24〕“以少设约定实”四句：以少设的数量去除确定的实，即法，得到人数；去除适足之实，就得到物价。则，训“即”。此处以少设约定实与上“并盈、朒，是为定实”相应，定实即是法，以少设约定实即是约法。
〔25〕此亦是《九章算术》为共买物类问题提出的方法。即（7-3）式。初版于“一”下衍“人”字，系误从石研斋抄杨辉本。今据《九章算术新校》校删。
〔26〕此即
【译文】
盈不足为了处理隐杂互见的问题
假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱。问：人数、物价各多少？
答：
人数是7人，
物价是53钱。
假设共同买鸡，如果每人出9钱，盈余11钱；每人出6钱，不足16钱。问：人数、鸡价各多少？
答：
人数是9人，
鸡价是70钱。
假设共同买琎，如果每人出钱，盈余4钱；每人出钱，不足3钱。问：人数、琎价各多少？
答：
人数是42人，
琎价是17钱。
注云：“如果两个假设中有分数，则使它们的分子相齐，使它们的分母相同。”这个问题中两个假设都出现分数，所以要使它们的分子相齐，使它们的分母相同。注又云：“使下行与上行交叉相乘，完了，以同约简之。”如果不可约简，就反过来以分母乘，使盈、朒相同。
假设共同买牛，如果7家共出190钱，不足330钱；9家共出270钱，盈余30钱。问：家数、牛价各多少？
答：
126家，
牛价3 750钱。
按：此术中，盈与不足相加，是所有家所出钱之差，所以作为实。布置所出率，分别以家数除之，各得每一家的所出率。以少减多，得一家所出钱之差。以它除之，就是家数。以所出率之多者乘之，减去盈，就得到牛价。
盈不足术：布置所出率，将盈与不足分别布置在它们的下面。按：盈称之为朓，不足称之为朒，所出率称之为假令。使盈、不足与所出率交叉相乘，相加，作为实。将盈与不足相加，作为法。实除以法，即得。使盈、朒与两假令交叉相乘，是为了同齐的意思。根据“共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”，若使它们的假令相齐，使它们的盈、朒相同，则盈、朒都是12。通同之后计算齐，则就是既不盈也不朒的准确之数，所以可将它们相加，作为实；将盈、不足相加，作为法。将假令8通过齐变成32，是4次假令，有盈12。将假令7通过齐变成21，是3次假令，朒也是12。将7次假令合并成一个实，所以将3与4相加，作为法。如果有分数，就将它们通分。如果两个假令中有分数，应当使它们的分子相齐，使它们的分母相同。使下行的盈、不足与上行的假令交叉相乘。完了，以同约简它们。如果使盈、不足相与通同，共同买东西的问题，就布置所出率，以小减大，用余数除法与实。除实就得到物价，除法就得到人数。所出率中以小减大，其余数称为设差。将它看作少设的数量，那么将盈与朒相加，这就是确定的实。所以用少设的数量去除确定的实，即法，得到人数，去除适足之实，就得到物价。盈、朒应当与少设的数量相通。如果出现少设的数量不能都除尽的情形，也应当用分母乘，用设差去除法、实。
其一术：将盈与不足相加，作为实。所出率以小减大，以余数作为法。实除以法，得到人数。以所出率分别乘人数，或减去盈，或加上不足，就是物价。此术的思路是：盈与不足之和是众人所出钱数的差额，所出率以小减大，余数为一人所出钱数的差额。以一人的差额除众人的差额，所以得到人数。
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？
荅曰：
三十三人，
金价九千八百〔1〕。
今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问：人数、羊价各几何？
荅曰：
二十一人，
羊价一百五十〔2〕。
两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一〔3〕。有分者，通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实，实为物价，法为人数〔4〕。按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实者，无朒数以损焉。盖出而有余两盈，两设皆逾于正数。假令与共买物，人出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去〔5〕。其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令，而凡盈三十者，是十，以三之〔6〕；齐之二十七者，是三假令，而凡盈三十者，是三，以十之〔7〕。今假令两盈共十、三，以三减十，余七为一实〔8〕。故令以三减十，余七为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故以少设约法得人数，约实即得金数〔9〕。
其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价〔10〕。“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
【注释】
〔3〕此亦为解决可以化为两盈、两不足的一般算术问题而设，但是《九章算术》没有这类问题。设出a1，盈（或不足）b1，出a2，盈（或不足）b2，《九章算术》提出以｜a1b2-a2b1｜作为实，以｜b1-b2｜作为法，那么不盈不朒之正数就是
〔4〕此是为共买物类问题而设的术文，即
〔5〕举齐则兼去：实现了齐，那么两盈都可以消去。
〔6〕是十，以三之：是10用3乘得到的。
〔7〕是三，以十之：是3用10乘得到的。
〔8〕“今假令两盈共十、三”三句：现在由假令得到的两盈是10与3，以3减10，余数7成为一份实。自“齐之八十者”至“余七为一实”系以例说明何以“两盈以少减多，余为法”。
〔9〕以少设约法得人数，约实即得金数：以假令所少的除法就得到人数，除实就得到金数。以上是刘徽以齐同原理，并将共买物问改成两盈的问题为例，阐释了《九章算术》解法的正确性。
〔10〕此亦为共买物类问题而设的方法，求人数的方法同上。求物价的方法：若是两盈的情形，则
若是两不足的情形，则
【译文】
假设共同买金，如果每人出400钱，盈余3 400钱；每人出300钱，盈余100钱。问：人数、金价各多少？
答：
33人，
金价9 800钱。
假设共同买羊，如果每人出5钱，不足45钱；每人出7钱，不足3钱。问：人数、羊价各多少？
答：
21人，
羊价150钱。
两盈、两不足术：布置所出率，将两盈或两不足分别布置在它们的下面。使两盈或两不足与所出率交叉相乘，以小减大，余数作为实。两盈或两不足以小减大，余数作为法。实除以法，即得。如果有分数，就将它们通分。如果使两盈或两不足相与通同，共同买东西的问题，布置所出率，以小减大，用其余数除法、实。除实得到物价，除法得到人数。按：此术中的两不足，就是两次假令的结果皆小于准确的数。对之进行变换的原因，如同两盈的情形。而有时会出现态势相同而情理相反的情形。如果要将两次假令变为实，那就使两不足与它们交叉相乘，然后相减，那么留下的是其不足的部分。所以它的余数成为实的原因，就是此处没有不足的数进行减损。原来所出的结果都有余，就是两盈，即两次假令皆大于准确的数。假令共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出9钱，盈余10钱。使两假令相齐，使两盈相同。两盈都变成30钱。实现了齐那么两盈都可以消去。将齐的余数用来作为实的原因，是没有盈余的数。两盈以小减大，余数作为法。将假令8通过齐变成80，是10次假令，而总共盈30，是10用3乘得到的；将假令9通过齐变成27，是3次假令，而总共盈30，是3用10乘得到的。现在由假令得到的两盈是10与3，以3减10，余数7成为一份实。所以以3减10，余数7作为法。所出率以小减大，其余数称之为设差。因为设差就是假令所少的，则两盈之差就是定实。故以假令所少的除法就得到人数，除实就得到金数。
其一术：布置所出率，以小减大，余数作为法。两盈或两不足以小减大，余数作为实。实除以法，得到人数。分别用所出率乘人数，减去盈余，或加上不足，就是物价。“布置所出率，以小减大”，就是一人所出之差。两盈或两不足相减，是众人所出之差。所以以一人所出之差除众人所出之差，便得到人数。以所出率乘人数，减去盈余，或加上不足，就是物价。
今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足〔1〕。问：人数、犬价各几何？
荅曰：
二人，
犬价一百〔2〕。
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问：人数、豕价各几何？
荅曰：
一十人，
豕价九百〔3〕。
盈适足、不足适足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法，实如法得一〔4〕。其求物价者，以适足乘人数，得物价〔5〕。此术意谓以所出率，“以少减多”者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。以一人差约之，故得人之数也。“以盈及不足数为实”者，数单见，即众人差，故以为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差得人数。以适足乘人数，即得物价也。
【注释】
〔1〕适足：李籍云：“恰也。”
〔4〕设所出a1，盈或不足b，出a2，适足，则《九章算术》求人数的方法是
〔5〕《九章算术》求物价的方法是
【译文】
假设共同买狗，每人出5钱，不足90钱；每人出50钱，适足。问：人数、狗价各多少？
答：
2人，
狗价100钱。
假设共同买猪，每人出100钱，盈余100钱；每人出90钱，适足。问：人数、猪价各多少？
答：
10人，
猪价900。
盈适足、不足适足术：以盈或不足之数作为实。布置所出率，以小减大，余数作为法，实除以法，得人数。如果求物价，便以对应于适足的所出率乘人数，就得到物价。此术的思路是说，所出率“以小减大”，那么余数就是一人的不足之差。而不足数是众人所出之差。以一人差除之，所以得到人数。“以盈或不足之数作为实”，是因为只出现这一个数，就是众人所出之差，所以以它作为实。所出率以小减大，是一人所出差，所以作为法。以它除众人所出之差，得人数。以对应于适足的所出率乘人数，即得到物价。
今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问：故米几何？
荅曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升〔1〕。按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升，课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗二升，课于七斗，是为有余二升。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为齐同者，齐其假令，同其盈、朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实，并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。
今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸〔2〕；瓠生其下〔3〕，蔓日长一尺。问：几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
荅曰：
五日十七分日之五，
瓜长三尺七寸一十七分寸之一，
瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。
术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸〔4〕。按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，上延蔓五尺。课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者，若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺。课于九尺之垣，是为有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈、朒。通计齐，即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长之数也。
【注释】
〔1〕将假令故米2斗，不足2升，假令3斗，盈2升代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔2〕蔓（wàn）：细长而不能直立的茎，木本曰藤，草本曰蔓。李籍云：“瓜蔓也。”
〔3〕瓠（hù）：蔬菜名，一年生草本，茎蔓生。结实呈长条状者称为瓠瓜，可入菜；呈短颈大腹者就是葫芦。
〔4〕此谓将假令5日，不足5寸，假令6日，盈12寸代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
【译文】
假设有米在容积为10斗的桶中，不知道其数量。把桶中添满粟，然后舂成米，得到7斗米。问：原有的米是多少？
答：2斗5升。
术曰：以盈不足术求解之。假令原来的米是2斗，那么不足2升；假令是3斗，则盈余2升。按：此桶能容纳1斛米，如果假令原来的米是2斗，必须添8斗粟才能盛满它。8斗粟能得到4斗8升粝米，与7斗米相比较，是不足2升。如果使原来的米是3斗，必须添7斗粟才能盛满它。7斗粟能得到4斗2升粝米，与7斗米相比较，是有盈余2升。以盈、不足与假令之数交叉相乘，是想使其符合齐同的意义。所谓齐同，就是使假令相齐，使其盈、朒相同。整个地考虑齐，则就是既不盈也不朒之准确的数，所以可以将它们相加，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，就得到原来的米的斗数，正是既不盈也不朒之准确的数。
假设有一堵墙，高9尺。一株瓜生在墙顶，它的蔓每日向下长7寸；又有一株瓠生在墙根，它的蔓每日向上长1尺。问：它们多少日后相逢？瓜与瓠的蔓各长多少？
答：
术：假令5日相逢，不足5寸；假令6日相逢，盈余1尺2寸。按：“假令5日相逢，不足5寸”，是因为瓜生长5日，向下垂伸的蔓是3尺5寸；瓠生长5日，向上延伸的蔓是5尺。与9尺高的墙相比较，这就是不足5寸。“假令6日相逢，盈余1尺2寸”，是因为如果使瓜生长6日，向下垂伸的蔓是4尺2寸；瓠生长6日，向上延伸的蔓是6尺。与9尺高的墙相比较，这就是盈余1尺2寸。以盈、不足与假令之数交叉相乘，是想使其符合齐同的意义。就是使假令相齐，使其盈、朒相同。整个地考虑齐，则就是既不盈也不朒之准确的数，所以可以将它们相加，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，就得到相逢日数。以瓜、瓠一日所长的尺寸乘日数，就分别得到它们所长的尺寸。
今有蒲生一日〔1〕，长三尺；莞生一日〔2〕，长一尺。蒲生日自半；莞生日自倍。问：几何日而长等？
荅曰：
二日十三分日之六，
各长四尺八寸一十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半〔3〕。按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸，莞生二日，长三尺，是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈、不足乘除之，又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日定长，即得其数〔4〕。
【注释】
〔1〕蒲：香蒲，又称蒲草，多年生水草，叶狭长，可以编制蒲席、蒲包、扇子。《说文解字》：“蒲，水艸也，可以作席。”
〔2〕莞（ɡuān）：蒲草类水生植物，俗名水葱。《说文解字》：“莞，艸也，可以作席。”也指莞草编的席子。
〔3〕将假令2日，不足15寸，假令3日，盈寸代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得到
然而这个解是不准确的。由题设，蒲、莞皆以等比级数生长。设生长x日，则蒲长为，莞长（1-2x）÷（1- 2）。若要它们相等，x应满足方程
整理得
（2x）2-7×2x+6=0
分解得
（2x-1）（2x-6）=0。
于是
2x=1，
2x=6。
第一式的解x=0，不合题意，舍去。对第二式两端取对数，
lg2x=lg6，
得
然而《九章算术》和刘徽都未认识到盈不足术对非线性问题只能给出近似解，不能得出精确解。不过，由于盈不足术实际上是一种线性插值方法，它对求解一些复杂的不容易计算其实根的方程，仍不失为一种有效的求解根的近似值的方法。如图7-1，钱宝琮指出：在现在的高等数学教科书中，这种求方程实根的方法叫作“假借法”，也叫“弦位法”。我们不要数典忘祖，这个方法应该叫作“盈不足术”。
图7-1 盈不足术
（采自钱宝琮《中国数学史话》）
〔4〕以莞的生长为例，2日莞生长1+2=3（尺）。第三日全天应当生长4尺，那么日应当生长4尺×。故日生长。
【译文】
假设有一株蒲，第一日生长3尺；一株莞第一日生长1尺。蒲的生长，后一日是前一日的；莞的生长，后一日是前一日的2倍。问：过多少日而它们的长才能相等？
答：
过日其长相等，
各长4尺寸。
术：假令2日它们的长相等，则不足1尺5寸；假令3日，则有盈余1尺寸。按：“假令2日它们的长相等，则不足1尺5寸”，是因为蒲生长2日，长是4尺5寸，莞生长2日，长是3尺，这是莞与蒲相差1尺5寸，所以说“不足”。“假令3日，则有盈余1尺寸”，是因为蒲比前一日增长了寸，莞比前一日增长了4尺，这就是莞超过蒲1尺寸，所以说“有盈余”。以盈不足术对之做乘除运算，即得日数。又以第三日蒲、莞所长的长度分别乘日数的分子，除以日数的分母，就分别得到第三日的分子所长的长度。所以各增加前二日所长的长度，就得到它们的长度数。
今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗〔1〕，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问：醇、行酒各得几何？
荅曰：
醇酒二升半，
行酒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二〔2〕。据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五。课于三十，是为有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八。课于三十，是为不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也〔3〕。
今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。问：大、小器各容几何？
荅曰：
大器容二十四分斛之十三，
小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗〔4〕。按：大器容五斗，大器五容二斛五斗，以减三斛，余五斗，即小器一所容，故曰小器亦五斗。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升，以减三斛，余二斗五升，即小器一所容，故曰小器二斗五升。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰不足二斗。以盈、不足维乘除之。
【注释】
〔1〕醇酒：酒味醇厚的美酒。李籍云：“厚酒也。” 行（hánɡ）酒：指劣质酒。李籍云：“市酒也。”行，质量差。
〔2〕利用一种酒，比如醇酒进行假令，如果醇酒5升（... -->>
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