请安装我们的客户端
更新超快的免费小说APP
添加到主屏幕
请点击
，然后点击“添加到主屏幕”
酒5升（则行酒1斗5升），盈余10钱，如果醇酒2升（则行酒1斗8升），不足2钱，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕重设：双重假设。
〔4〕利用一种器，比如大器进行假令，如果大器容5斗（则小器亦容5斗），盈余10斗，如果大器容5斗5升（则小器容2斗5升），不足2斗，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
则。此亦有双重假设之意。
【译文】
假设1斗醇酒值50钱，1斗行酒值10钱。现在用30钱买得2斗酒。问：醇酒、行酒各得多少？
答：
醇酒升，
行酒1斗升。
术：假令买得醇酒5升，那么行酒就是1斗5升，则有盈余10钱；假令买得醇酒2升，那么行酒就是1斗8升，则不足2钱。根据醇酒5升，值25钱；行酒是1斗5升，值15钱。与30钱相比较，这就是有盈余10钱。根据醇酒2升，值10钱；行酒1斗8升，值18钱。与30钱相比较，这就是有不足2钱。以盈不足术求之。此问已经有双重假设及其齐同的思想。
假设有5个大容器、1个小容器，容积共3斛；1个大容器、5个小容器，容积共2斛。问：大、小容器的容积各是多少？
答：
大容器的容积是斛，
小容器的容积是斛。
术：假令1个大容器的容积是5斗，那么1个小容器的容积也是5斗，则盈余10斗；假令1个大容器的容积是5斗5升，那么1个小容器的容积是2斗5升，则不足2斗。按：1个大容器的容积是5斗，5个大容器的容积就是2斛5斗，以减3斛，盈余5斗，这就是1个小容器的容积，所以说1个小容器的容积也是5斗。5个小容器的容积是2斛5斗，与1个大容器合起来是3斛。与2斛相比较，就是多10斗。假令1个大容器的容积是5斗5升，5个大容器的容积合起来就是2斛7斗5升，以减3斛，剩余2斗5升，这就是1个小容器的容积，所以说1个小容器的容积是2斗5升。1个大容器的容积是5斗5升，5个小容器的容积共是1斛2斗5升，合起来是1斛8斗。与2斛相比较，就是少2斗。所以说不足2斗。以盈、不足作交叉相乘，并作除法，即得容积。
今有漆三得油四，油四和漆五〔1〕。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问：出漆、得油、和漆各几何？
荅曰：
出漆一斗一升四分升之一，
得油一斗五升，
和漆一斗八升四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升〔2〕。按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升〔3〕。余有二斗一升，则六升无油可和，故曰不足六升。令之出漆一斗二升，则易得油一斗六升，可和漆二斗〔4〕。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实，并盈、不足为法。实如法而一，得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，四、三各为所有率，而今有之，即得也〔5〕。
【注释】
〔1〕油：指桐油，用油桐的果实榨出的油，与漆调和，成为油漆，家具的涂料。 和（hé）：调和。
〔2〕将假令出漆9升，不足6升，出漆1斗2升，有盈余2升，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕由今有术，9升漆易得油=9升×4÷3=12升。而再由今有术，12升油能和漆=12升×5÷4=15升。
〔4〕由今有术，1斗2升漆易得油=12升×4÷3=16升。而再由今有术，16升油能和漆=16升×5÷4=20升。
〔5〕应用今有术，由出漆升，求出易得的油：升×4÷3=15升。再由易得的油15升，应用今有术，求出所和的漆：15升×5÷4=升。
【译文】
假设3份漆可以换得4份油，4份油可以调和5份漆。现在有3斗漆，想从其中分出一部分换油，使换得的油恰好能调和剩余的漆。问：分出的漆、换得的油、调和的漆各多少？
答：
分出的漆1斗升，
换得的油1斗5升，
调和的漆1斗升。
术：假令分出的漆是9升，则不足6升；假令分出的漆是1斗2升，则有盈余2升。按：此术在3斗的漆中分出9升，换得的油是1斗2升，它可调和1斗5升漆。剩余的漆有2斗1升，就是说有6升漆没有油可以调和，所以说不足6升。假令分出的漆是1斗2升，则换得的油是1斗6升，它可以调和2斗漆。在3斗漆之中已分出1斗2升，还剩余1斗8升。现在的油能调和的漆是2斗，就是说剩余2升漆。以盈、不足与假令交叉相乘，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，而得到分出的漆的升数。如果要求换得的油及所调和的漆，则以4，5分别作为所求率，4，3各为所有率，而应用今有术，即得到结果。
今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问：玉、石重各几何？
荅曰：
玉一十四寸，重六斤二两，
石一十三寸，重四斤一十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉、石之积重〔1〕。立方三寸是一面之方，计积二十七寸〔2〕。玉方一寸重七两，石方一寸重六两，是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于十一斤，少十四两。故曰不足。此不足即以重为轻，故令减少数于石重〔3〕，即二十七寸之中有十四寸，寸增一两也。
【注释】
〔1〕此问实际上没有用到盈不足术，将其编入此章，大约是编者的疏忽。
〔2〕立方三寸：是指以3寸为边长的正方体，其体积是27寸3。
〔3〕石重：指以玉为石后石之总重，亦即玉石并重。
【译文】
假设一块1寸见方的玉，重是7两；1寸见方的石头，重是6两。现在有一块3寸见方的石头，中间有玉，总重是11斤。问：其中玉和石头的重量各是多少？
答：
玉是14寸3，重6斤2两，
石是13寸3，重4斤14两。
术：假令这块石头都是玉，就多13两；假令都是石头，则不足14两。那么不足的数就是玉的体积，多的数就是石头的体积。各以它们1寸3的重量乘之，便分别得到玉和石头的重量。3寸见方的立方是说一边长3寸，计算其体积是27寸3。1寸见方的玉重7两，1寸见方的石头重6两，就是说1寸见方的玉与石头的重量之差是1两。假令这块石头都是玉，应该有189两重。与11斤相比较，有盈余13两。玉比较重而石头比较轻，所以才有此盈余。就是说27寸3之中有13寸3，如果每寸3减损1两，就成为石头的重量，所以说多的数就是石头的体积。所说的多的数出自把石头当作了玉。假令这块石头都是石头，应该有162两。与11斤相比较，少了14两。所以说不足。这个不足就是把重的作为轻的造成的，因而从石头的总重中减去少了的数，就是27寸3之中有14寸3，每寸3增加1两。
今有善田一亩，价三百；恶田七亩〔1〕，价五百。今并买一顷，价钱一万。问：善、恶田各几何？
荅曰：
善田一十二亩半，
恶田八十七亩半。
术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三〔2〕。按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱之二。课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千，恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四。课于一万，是为不足五百七十一、七分钱之三。以盈不足术求之也。
【注释】
〔1〕善田：良田。 恶田：又称为“恶地”，贫瘠的田地。李籍云：恶，“不善也”。
〔2〕此亦有双重假设之意。将两假令，比如假令善田20亩（则恶田80亩），盈余钱，假令善田10亩（则恶田90亩），不足钱代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），得
因此恶田=100亩-亩=亩。
【译文】
假设1亩良田，价是300钱；7亩劣田，价是500钱。现在共买1顷田，价钱是10 000钱。问：良田、劣田各多少？
答：
良田是亩，
劣田是亩。
术：假令良田是20亩，那么劣田是80亩，则价钱多了钱；假令良田是10亩，那么劣田是90亩，则价钱不足钱。按：良田20亩，值钱6 000钱；劣田80亩，值钱钱。与10 000钱相比较，这就是多了钱。假令良田10亩，值钱3 000，劣田90亩，值钱钱。与10 000钱相比较，这就是不足钱。以盈不足术求解之。
今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交易其一，金轻十三两。问：金、银一枚各重几何？
荅曰：
金重二斤三两一十八铢，
银重一斤一十三两六铢。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内之数，以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金重〔1〕。分母乘法以除，得银重〔2〕。约之得分也。按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤；银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五，各为金、银一枚重数。就金重二十七斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之，是为不足四十九〔3〕。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤，白银一十一，亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一枚一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银，复减一枚银，以益金，则金重一十七斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五〔4〕。以盈不足为之，如法，得金重〔5〕。“分母乘法以除”者，为银两分母故同之〔6〕。须通法而后乃除得银重。余皆约之者，术省故也。
【注释】
〔1〕《九章算术》的方法是
将黄金3斤，不足49，黄金2斤，盈余15代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔2〕将白银斤，不足49，白银斤，盈余15代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕这是刘徽阐释《九章算术》术文“不足四十九”的来源。假令9枚金，或11枚白银，其重量都是27斤。换言之，1枚金重3斤，1枚银重斤。在9枚金重的27斤中减去1枚金重，加1枚银重，则；在11枚银重的27斤中减去1枚银重，加1枚金重，则。以小减大，，与题设中的金这边轻13两相比较，，通分内子，为，所以说不足为49。
〔4〕这是刘徽阐释《九章算术》术文“多一十五”的来源：假令9枚黄金，1枚重2斤，9枚重18斤。11枚白银，也重18斤，斤。在9枚金重的18斤中减去1枚金重，加1枚银重，则；在11枚银重的18斤中减去1枚银重，加1枚金重，则。以小减大，，与题设中的金这边轻13两相比较，，通分内子，为两，所以说多15。
〔5〕“以盈不足为之”三句：以盈不足术解决之，如法计算，便得到1枚黄金的重量。
〔6〕“分母乘法以除”者，为银两分母故同之：“以分母乘法，以除实”，是因为所出白银的两分母本来是相同的。
【译文】
假设有9枚黄金，11枚白银，称它们的重量，恰好相等。交换其一枚，黄金这边轻13两。问：1枚黄金、1枚白银各重多少？
答：
1枚黄金重2斤3两18铢，
1枚白银重1斤13两6铢。
术：假令1枚黄金重3斤，1枚白银重斤，不足是49，布置于右行。假令1枚黄金重2斤，1枚白银重斤，多是15，布置于左行。以分母分别乘各自行内之数，以盈、不足与所出率交叉相乘，相加，作为实。将盈、不足相加，作为法。实除以法，得1枚黄金的重量。以分母乘法，以除实，便得到1枚白银的重量。将它们约简，得到分数。按：此术中假令9枚黄金，11枚白银，重量都是27斤。黄金的重量，以9约之，得3斤；白银的重量，以11约之，得斤，分别是1枚黄金、白银的重量数。在黄金的重量27斤之中减去1枚黄金的重量，再加1枚白银的重量，在白银的重量27斤之中减去1枚白银的重量，再加1枚黄金的重量，就是黄金这边重斤，白银这边重斤。以小减大，那么黄金这边轻两。与13两相比较，多了两。通过通分纳入分子表示之，这就是不足49。又假令9枚黄金，1枚重2斤，9枚重18斤，11枚白银总重也应该是18斤。于是以11除之，得到1枚斤，为1枚白银的重量数。现在在黄金的重量18斤之中减去1枚黄金的重量，增加到白银的重量上，再从白银的重量中减去1枚白银的重量，增加到黄金的重量上，就是黄金这边重斤，白银这边重斤。以小减大，就是黄金这边轻斤。与13两相比较，少了两。通过通分纳入分子表示之，这就是多15。以盈不足术解决之，如法计算，便得到1枚黄金的重量。“以分母乘法，以除实”，是因为所出白银的两分母本来是相同的，必须使法相通之后才能除实，得到1枚白银的重量。其余的都要约简，是要方法简省的缘故。
今有良马与驽马发长安〔1〕，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何？
荅曰：
一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢，
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六，驽马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。
术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分〔2〕。 求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之行里数，以乘十五日，得良马十五日之凡行〔3〕。又以十五乘益疾里数，加良马初日之行〔4〕。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得〔5〕。其不尽而命分。 求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日，得驽马十五日之凡行〔6〕。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行〔7〕。余，以乘日分子，如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数〔8〕。其奇半里者，为半法，以半法增残分，即得。其不尽者而命分〔9〕。按：令十五日，不足三百三十七里半者，据良马十五日凡行四千二百六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里。驽马十五日凡行一千四百二里半。并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三十七里半，故曰不足。令之十六日，多一百四十里者，据良马十六日凡行四千六百四十八里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里。驽马十六日凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里，余有一百四十里，故谓之多也。以盈不足之。“实如法而一，得日数”者，即设差不盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数〔10〕。求初末益疾减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积〔11〕；又令益疾减迟里数乘之，各为减益之中平里，故各减益平行数，得一十五日定行里〔12〕。若求后一日，以十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残分，即合所问也。
【注释】
〔1〕驽马：能力低下的马。驽，李籍引《字林》曰：“骀也。”骀（tái），劣马。
〔2〕假令16日相逢，盈140里，假令15日，不足里，将其代入盈不足术之不盈不朒之正数公式（7-1），得
然而，此问亦非线性问题，答案也是近似的。由下文所给出的等差数列求和公式（7-7），设良、驽二马n日相逢，则良马所行为
驽马所行为
依题设
整理得
5n2+227n=4 800，
为相逢日。
〔3〕设良马日疾里数为d，第n日所行为an，《九章算术》计算良马15日所行里数为
《九章算术》实际上使用了等差数列求和公式：
这是中国数学史上第一次有记载的等差数列求和公式。
〔4〕又以十五乘益疾里数，加良马初日之行：此给出了良马在第16日所行里数，则
a16=a1+15×d=193+15×13=388（里）。
这里实际上使用了等差数列的通项公式
an=a1+nd。
这是中国数学史上第一次有记载的等差数列通项公式。
〔5〕《九章算术》先计算出良马在第16日的中所行为。良马在日中共行。
〔6〕设驽马日减里数为e，第n日所行为bn，《九章算术》计算驽马15日所行里数为
〔7〕此得驽马第16日所行里数
〔8〕驽马在第16日的中所行为，那么驽马在日中共行。
〔9〕其不尽者而命分：如果除不尽，就以法作分母命名一个分数。
〔10〕平行：匀速行进。平，齐一，均等。《诗经·小雅·伐木》：“神之听之，终和且平。”郑玄笺：“平，齐等也。”
〔11〕求初末益疾减迟之数：就是求从第1日到最后1日增加的或减少的里数。疾，急速。 中平之积：各项平均值之和，即，实际上是自然数列1，2，3，……n-1之和。这是中国数学史上第一次出现此公式，即后来宋元时期的茭草形垛的求积公式。中平，平均。见卷一圭田术注释〔8〕。
〔12〕刘徽给出了等差数列前n项之和公式的另一形式
【译文】
假设有良马与劣马自长安出发到齐。齐距长安有3 000里。良马第1日走193里，每日增加13里，劣马第1日走97里，每日减少里。良马先到达齐，又回头迎接劣马。问：它们几日相逢及各走多少？
答：
日相逢，
良马走里，
劣马走里。
术：假令它们15日相逢，不足里。假令16日相逢，多了140里。以盈、不足与假令之数交叉相乘，相加而作为实。将盈、不足相加作为法。实除以法，而得到相逢日数。如果除不尽，就以等数约简之而命名一个分数。 求良马走的里数：以14乘每日增加的里数而除以2，加良马第1日所走的里数，以15日乘之，便得到良马15日走的总里数。又以15乘每日增加的里数，加良马第1日所走的里数。以此乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的结果，加良马前面走的总里数，就得到良马所走的确定里数。如果除不尽就命名一个分数。 求劣马走的里数：以14乘里，又除以2，以减劣马第1日所走的里数，以此乘15日，便得到劣马15日走的总里数。又以15日乘里，以此减劣马第1日所走的里数。以其余数乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的结果，加劣马前面走的总里数，就是劣马所走的确定里数。其奇零是里的，就以2作为法，将以2为法的分数加到剩余的分数上，即得到结果。如果除不尽，就命名一个分数。按，“假令它们15日相逢，不足里”，这是因为，根据良马15日所总共走4 260里，减去它先到齐的3 000里，那么回头迎接劣马一定是1 260里。劣马15日总共走里。良、劣二马所走的里数相加，得到里。与3 000里相比较，少了里，所以说不足。“假令16日相逢，多了140里”，这是因为，根据良马16日总共走4 648里，减去它先到齐的3 000里，那么回头迎接劣马一定是1 648里。劣马16日总共走1 492里。将良、劣二马所走的里数相加，得到3 140里。与3 000里相比较，有盈余140里，所以叫作多。以盈不足术求解之。“实除以法，而得到相逢日数”，就是把本来有设差的数变成了不盈不朒的准确的数。以良、劣二马第1日所走的里数乘15日，就是15日按匀速所走的里数。如果求从第1日到最后1日增加的或减少的里数，就将1与14相加，以14乘之而除以2，就是各项平均值之和。又以每日增加或减少的里数乘之，各为增加或减少的中平里数，所以，将它分别与按匀速所走的里数相加或相减，就得到15日所走的确定的里数。如果求最后一日到某时刻所走的里数，则以第16日所走的确定的里数乘第16日的分子，除以该日的分母，就分别得到在该日分子内所走的确定的里数。故分别与15日所走的确定的里数相加，即得到良、劣二马所走的里数。当劣马所走里数有里的奇零时，法是由1整里的分数产生的，所以以2破开1里，以2作为法，增加到剩余产生的分数上，即符合所问的问题。
今有人持钱之蜀贾〔1〕，利：十，三〔2〕。初返，归一万四千；次返，归一万三千；次返，归一万二千；次返，归一万一千；后返，归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问：本持钱及利各几何？
荅曰：
本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六，利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三百九十钱八分〔3〕。按：假令本钱三万，并利为三万九千，除初返归留，余，加利为三万二千五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半；除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半〔4〕。若使本钱四万，并利为五万二千，除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加为利四万七千三百二十，除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三万五千三百九十钱八分，故曰多〔5〕。 又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千，又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一，即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四千，又以十乘之，十三而一，即初持之本〔6〕。并五返之钱以减之，即利也〔7〕。
【注释】
〔1〕之蜀贾（ɡǔ）：到蜀地做买卖。贾，做买卖。《说文解字》：“贾，市也。”《韩非子·五蠹》：“长袖善舞，多钱善贾。”李籍云：“贾，一本作‘价’。”知李籍时代还有一将“贾”讹作“价”的抄本。
〔2〕利：十，三：即的利息，本利之和=本钱×。
〔3〕将假令本钱为30 000钱，不足钱，假令本钱为40 000钱，盈余钱代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），则
〔4〕假令本钱是30 000钱，初返本利为钱。归留14000钱，余25 000钱。二返本利为钱。归留13 000钱，余19 500钱。三返本利为钱。归留12 000钱，余13 350钱。四返本利为钱。归留11 000钱，余6 355钱。五返本利为钱。除去第五返归留10 000钱，，所以说不足钱。
〔5〕假令本钱是40 000钱，初返本利为钱。归留14000钱，余38 000钱。二返本利为钱。归留13 000钱，余36400钱。三返本利为钱。归留12 000钱，余35 320钱。四返本利为钱。归留11 000钱，余34 916钱。五返本利为。除去第五返归留10 000钱，，所以说盈余钱。
〔7〕刘徽提出的求利息的方法是
【译文】
假设有人带着钱到蜀地做买卖，利润是：每10，可得3。第一次返回留下14 000钱，第二次返回留下13 000钱，第三次返回留下12 000钱，第四次返回留下11 000钱，最后一次返回留下10 000钱。第五次返回留下钱之后，本、利俱尽。问：原本带的钱及利润各多少？
答：
本钱是钱，
利润是钱。
术：假令本钱是30 000钱，则不足是钱；假令本钱是40 000钱，则多了钱。按：假令本钱是30 000钱，加利润为39 000钱，减去第一次返回留下的钱，余数加利润为32 500钱；减去第二次返回留下的钱，余数又加利润为25 350钱；减去第三次返回留下的钱，余数又加利润为17 355钱；减去第四次返回留下的钱，余数又加利润为钱；减去第五次返回留下的钱，应当为10 000钱，则不足钱。若本钱为40 000钱，加利润为52 000钱，减去第一次返回留下的钱，余数加利润为49 400钱；减去第二次返回留下的钱，余数又加利润为47 320钱；减去第三次返回留下的钱，余数又加利润为45 916钱；减去第四次返回留下的钱，余数又加利润为钱；减去第五次返回留下的钱，应当为10 000钱，盈余是钱，所以叫作多。
又术：布置最后一次返回留下的10 000钱，乘以10，除以13，就是最后一次所带的本钱。加11 000钱，又乘以10，除以13，就是第四次所带的本钱。加12 000钱，又乘以10，除以13，就是第三次所带的本钱。加13 000钱，又乘以10，除以13，就是第二次所带的本钱。加14 000钱，又乘以10，除以13，就是初次所带的本钱。将五次返回所留下的钱相加，以此减之，就是利润。
今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍〔1〕，小鼠日自半〔2〕。问：几何日相逢？各穿几何？
荅曰：
二日一十七分日之二。
大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二，
小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半〔3〕。大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸，并大鼠所穿，合四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半，并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所问也。
【注释】
〔1〕日自倍：后一日所穿是前一日的2倍，则各日所穿是以2为公比的递升等比数列。
〔2〕日自半：后一日所穿是前一日的倍，则各日所穿是以为公比的递减等比数列。
〔3〕将假令2日，不足5寸，假令3日，盈余寸代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），则
然此亦为近似解。求其准确解的方法是：设二鼠n日相逢，则大小鼠所穿分别为
由题设
整理得
22n-4×2n-2=0，
于是
【译文】
假设有一堵墙，5尺厚，两只老鼠相对穿洞。大老鼠第一日穿1尺，小老鼠第一日也穿1尺。大老鼠每日比前一日加倍，小老鼠每日比前一日减半。问：它们几日相逢？各穿多长？
答：
日相逢，
大老鼠穿3尺寸，
小老鼠穿1尺寸。
术：假令两只老鼠2日相逢，不足5寸；假令3日相逢，有盈余3尺寸。大老鼠每日比前一日加倍，2日应当穿3尺；小老鼠每日比前一日减半，那么2日应当穿1尺5寸。加上大老鼠所穿的，总共应当是4尺5寸。与墙厚5尺相比较，这就是不足5寸。假令3日相逢，大老鼠穿得7尺，小老鼠穿得1尺寸。两者相加，以减墙厚5尺，有盈余3尺寸。以盈不足术求解之，即得相逢日数。以最后一日两只老鼠所穿的长度分别乘该日的分子，除以该日的分母，各得两只老鼠该日的分子之中所穿的长度。所以，以它们分别加2日所穿的长度，就符合所问的问题。