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魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
方程〔1〕以御错糅正负〔2〕
今有上禾三秉〔3〕，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉九斗四分斗之一，
中禾一秉四斗四分斗之一，
下禾一秉二斗四分斗之三。
方程程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率〔4〕，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程〔5〕。行之左右无所同存，且为有所据而言耳〔6〕。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之〔7〕。术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方〔8〕。又列中、左行如右行也〔9〕。右行上禾遍乘中行，而以直除〔10〕。为术之意，令少行减多行，返覆相减，则头位必先尽。上无一位，则此行亦阙一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也〔11〕。若消去头位，则下去一物之实。如是叠令左右行相减〔12〕，审其正负，则可得而知。先令右行上禾乘中行，为齐同之意。为齐同者，谓中行直减右行也〔13〕。从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣〔14〕。又乘其次，亦以直除。复去左行首〔15〕。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。亦令两行相去行之中禾也〔16〕。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实〔17〕。上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。欲约众秉之实，当以禾秉数为法。列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣〔18〕。各以其余一位之秉除其下实。即计数矣，用算繁而不省〔19〕。所以别为法，约也。然犹不如自用其旧，广异法也〔20〕。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实〔21〕。此谓中两禾实〔22〕，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾〔23〕，其列实以减下实〔24〕。而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通〔25〕。故先以法乘，其通而同之〔26〕。俱令法为母，而除下禾实〔27〕。以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实〔28〕。减于下实，则其数是中禾之实也〔29〕。余，如中禾秉数而一，即中禾之实〔30〕。余，中禾一位之实也。故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实〔31〕。此右行三禾共实，合三位之实，故以二位秉数约之，乃得一秉之实〔32〕。今中、下禾之实，其数并见，令乘右行之禾秉以减之，故亦如前，各求列实，以减下实也。余，如上禾秉数而一，即上禾之实〔33〕。实皆如法，各得一斗〔34〕。三实同用。不满法者，以法命之。母、实皆当约之。
【注释】
〔1〕方程：中国古典数学的重要科目，“九数”之一，即今之线性方程组解法，与今之“方程”的含义不同。今之方程古代称为开方。1859年李善兰（1811——1882）与传教士伟烈亚力（A.Wylie，1815——1887）合译棣么甘（De Morgen，1806——1871）的《代数学》时，将equation译作“方程”，1872年华蘅芳（1833——1902）与传教士傅兰雅（J.Fryer，1839——？）合译华里司（William Wallace，1768——1843）的《代数术》时将equation译作“方程式”。华蘅芳在《学算笔谈》（1896）等著作中“方程”与“方程式”并用，前者仍是《九章算术》本义，后者指equation。1934年数学名词委员会确定用“方程（式）”表示equation，用“线性方程组”表示中国古代的“方程”。1950年傅钟孙力主去掉“式”字，1956年科学出版社出版的《数学名词》去掉了“式”字，最终改变了“方程”的本义。
〔2〕错糅（róu）：就是交错混杂。糅，本义是杂饭，引申为混杂，混合。《仪礼·乡射礼》：“旌各以其物，无物，则以白羽与朱羽糅杠。”郑玄注：“糅，杂也。”
〔3〕禾：粟，今之小米。《说文解字》：“禾，嘉谷也。”又指庄稼的茎秆。《说文解字》：“稼，禾之秀实为稼，茎节为禾。”这里应该是带谷穗的谷秸。 秉：禾束，禾把。《诗经·小雅·大田》：“彼有遗秉，此有滞穗。”毛传：“秉，把也。”李籍云：“一禾为秉。”
〔4〕令每行为率：此谓每一个数量关系构成一个有顺序的整体，并投入运算，类似于今之线性方程组中之行向量的概念。行，古代竖置为行，横置为列，与今相反。因此古代方程的一行，仍是今之线性方程组的一行。只不过古代的行是自右向左排列。
〔5〕此为刘徽关于方程的定义。自宋以来，直到20世纪，关于方程的含义多有误解，比如将“方”理解成方形，方阵，正，比，比方等；将“程”理解成式、表达式等。这都是望文生义。方程：本义是并而程之。方，并也。《说文解字》：“方，并船也。像两舟，省总头形。”程，本义是度量名，引申为事务的标准。《荀子·致仕》：“程者，物之准也。”《九章算术》“冬（春、夏、秋）程人功”、“程功”、“程行”、“程粟”等皆指标准度量。因此，方程就是并而程之，即将诸物之间的几个数量关系并列起来，考察其度量标准。一个数量关系排成有顺序的一行，像一枝竹或木棍。将它们一行行并列起来，恰似一条竹筏或木筏，这正是方程的形状。显然，刘徽的定义完全符合《九章算术》方程的本义。李籍云：“方者，左右也。程者，课率也。左右课率，总统群物，故曰方程。”李籍的说法接近本义。《仪礼·大射礼》：“左右曰方。”郑玄注：“方，出旁也。”应该是由“并”引申出来的。
〔6〕行之左右无所同存，且为有所据而言耳：此谓方程中没有等价的行，同时，每一行都是有根据的。前者符合现代线性方程组有解的条件。
〔7〕刘徽认为，方程术是“都术”，即普遍方法。但是，由于方程术太复杂，只好借助于禾来阐释。 决：古多作“決”。本义是开凿壅塞，疏通水道，引申为解决问题。
〔8〕这是列出方程，如图8-1（1），设x，y，z分别表示上、中、下禾一秉之实，它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26。
图8-1
〔9〕又列中、左行如右行也：各本均窜于“术曰”之前，今校正。
〔10〕遍乘：整个地乘，普遍地乘。遍，普遍地。 直除：面对面相减，两行对减。直，当，临。《仪礼·士冠礼》：“直东序西面。”贾公彦疏：“直，当也。谓当堂上东序墙也。”除，减。此是以右行上禾系数3乘整个中行，如图8-1（2）。然后以右行与中行对减，两度减，中行上禾的系数变为0，如图8-1（3）。它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
x+2y+3z=26。
〔11〕举率以相减，不害余数之课也：方程整个的行互相减，不影响方程的解。刘徽在此提出了方程术消元的理论基础。刘徽对此没有证明，显然认为这是一条不证自明的公理。刘徽“令每行为率”，则举率就是整行。
〔12〕叠：重复，重叠。《玉篇》：“叠，重也，累也。”
〔13〕为齐同者，谓中行直减右行也：为了做到齐同，就是说应当从中行对减去右行。
〔14〕以齐同之意观之，其义然矣：不过以齐同的意图考察之，其意义确实是这样。刘徽以齐同原理阐释方程术的消元法。他“令每行为率”，因此便可以将率的三种等量变换“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”施用于方程。以某数乘整行，如上述以右行的上禾系数3乘中行，就是乘以散之。同样，如果一行中诸系数和常数项有等数，可以约去，就是约以聚之。而消元的过程就是齐同以通之。也就是说，以右行首项系数乘整个中行，就是使中行其他项与其首项相齐；而从中行直减右行，直到使中行首项系数化为0，实际上减去的右行首项系数的总数量与中行首项相同，就是同。后来李淳风等在《张丘建算经注释》中称为“同齐者，谓同行首，齐诸下”。对其他行、其他项亦如此。
〔15〕此是以右行上禾系数3乘整个左行，以右行直减左行，使左行上禾系数也化为0，如图8-1（4）。它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
4y+8z=39。
〔16〕这是以中行中禾系数5乘左行整行，以中行直减左行，4度减，则左行中禾系数亦化为0。
〔17〕左行下禾系数为36，实为99。下禾系数与实有等数9，以其约简，下禾系数为4，作为法，实为11。实只是下禾的实。如图8-1（5），它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
4z=11。
〔18〕皆决：皆去。决，训“绝”。此处刘徽仍用直除法由左行下禾系数消去中、右行的下禾系数，如图8-1（6）所示。它相当于线性方程组
12x+8y=145
4y=17
4z=11。
同样，再用中行中禾的系数消去右行中禾的系数，如图8-1（7）。它相当于线性方程组
4x=37
4y=17
4z=11。
显然，这是一种将直除法进行到底的方法，与《九章算术》的方法（见下）有所不同。
〔19〕即计数矣，用算繁而不省：那么统计用算的次数，运算太繁琐而不简省。即，训“则”。数，用算的次数。
〔20〕然犹不如自用其旧，广异法也：然而这种方法还不如仍用其旧法，不过，这是为了扩充不同的方法。
〔21〕“求中禾”三句：《九章算术》为了求中禾，以左行的法（即下禾的系数）乘中行的下实，减去左行下禾的实。记直除后中行的实为B′，中禾系数为，下禾系数为，左行的法（即下禾系数）为，下实为C′，则得。在此问中即24×4-11×1=85。
〔22〕中两禾实：即中行的中、下两种禾之实。中，谓中行。此下是刘徽解释《九章算术》的方法。
〔23〕下禾一秉实数先见（xiàn），将中秉求中禾：1捆下等禾的实数已先显现出来了，那么就中等禾的捆数求中等禾的实。见，显现。中秉，指中禾秉数。
〔24〕其列实以减下实：就用它（下禾）的列实去减中行下方的实。此处“列实”指下禾的列实，即左行下禾的实乘中行的下禾秉数。此问中即是11×1。其，它的。
〔25〕“左方下禾虽去一秉”三句：虽可以减去左行1捆下等禾的实，可是以法作为分母，对于率不能通达。此谓由左行可以求出下禾一秉之实，减中行、右行，可是那样做会出现以法为分母的分数，于率不通。
〔26〕其通而同之：使其通达而做到同。“通而同之”系汉、魏关于齐同术的术语，它是通过“通”而做到“同”，与方田章等处的“同而通之”通过“同”做到“通”不同。
〔27〕俱令法为母，而除下禾实：都以左行的法作为分母，而减去下等禾的实。
〔28〕以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实：以左行下等禾先显现的实乘中行下等禾的捆数，就得到下等禾一位的列实。
〔29〕减于下实，则其数是中禾之实也：以它去减中行下方的实，则其余数就是中等禾之实。
〔30〕余，如中禾秉数而一，即中禾之实：中禾之余实除以中行的中禾的秉数，即就是中禾之实（仍以左行之法为法）。记右行实为A1，右行之上、中、下禾系数为a1，a2，a3，即得。此问中即以（24×4-11×1）÷5=17为中禾之实，以4为法。
〔31〕“求上禾”三句：如果求上禾，《九章算术》亦以左行之法乘右行下实，减去左行下禾之实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾之实乘右行中禾秉数。此问中即39×4-11×1-17×2。
〔32〕乃得一秉之实：就得到1秉一种禾的实。
〔33〕余，如上禾秉数而一，即上禾之实：其余数，除以上等禾的捆数，就是1捆上等禾之实。余，指以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾之实乘右行中禾秉数之余数。它除以右行上禾之秉数，即，就是上禾之实，仍以左行之法为法。在此问中就是（39×4-11×1-17×2）÷3=37，仍以4为法。亦得到形如图8-1（7）的方程。《九章算术》在消去中、左行的首项及左行的中项之后，没有再用直除法，而是采用类似于今之代入法的方法求解。刘徽认为这种方法比一直使用直除法简约。
〔34〕实皆如法，各得一斗：这就是实皆除以法，分别得1捆的斗数。亦即得到1秉上禾之实斗，1秉中禾之实斗，1秉下禾之实斗。
【译文】
方程处理交错混杂及正负问题
假设有3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗实；2捆上等禾，3捆中等禾，1捆下等禾，共34斗实；1捆上等禾，2捆中等禾，3捆下等禾，共26斗实。问：1捆上等禾、1捆中等禾、1捆下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾斗，
1捆中等禾斗，
1捆下等禾斗。
方程程，就是求解其标准。各种物品混杂在一起，各列都有不同的数，总的表示出它们的实。使每行作为率，两个物品有两程，三个物品有三程，程的多少都与物品的种数相等。把各列并列起来，就成为行，所以叫作方程。某行的左右不能有等价的行，而且都是有所根据而表示出来的。这是一种普遍方法，因为太抽象的表示难以使人通晓，所以特地将它与禾联系起来以解决之。
术：在右行布置3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗实。中行、左行的禾也如右行那样列出。又像右行那样列出中行、左行。以右行的上等禾的捆数乘整个中行，而以右行与之对减。造术的意图是，数值小的行减数值大的行，反复相减，则头位必定首先减尽。上面没有了这一位，则此行就去掉了一种物品。然而用整个的行互相减，其余数不影响方程的解。若消去了这一行的头位，则下面也去掉一种物品的实。像这样，反复使左右行相减，考察它们的正负，就可以知道它们的结果。先使右行上等禾的捆数乘整个中行，意图是要让它们齐同。为了做到齐同，就是说应当从中行对减去右行。遵从简易的原则，虽然不叫作齐同，不过以齐同的意图考察之，其意义确实是这样。又以右行上禾的捆数乘下一行，亦以右行对减。再消去左行头一位。然后以中行的中等禾没有减尽的捆数乘整个左行，而以中行对减。又使中、左两行相消除去左行的中等禾。左行的下等禾没有减尽的，上方的作为法，下方的作为实。这里的实就是下等禾之实。左行的上等禾、中等禾皆消去了，所以余数就是下等禾之实，但不是1捆的。想约去众多的捆的实，应当以下等禾的捆数作为法。列出这一行，以下等禾的捆数乘另外两行，以左行对减，则这二行下等禾位置上的数就都被消去了。分别以各行余下的一种禾的捆数除下方的实。那么统计用算的次数，运算太繁琐而不简省。创造别的方法，是为了约简。然而这种方法还不如仍用其旧法，不过，这是为了扩充不同的方法。如果要求中等禾的实，就以左行的法乘中行下方的实，而减去下等禾之实。这是说中行有中等、下等两种禾的实，而1捆下等禾的实数已先显现出来了，那么就中等禾的捆数求中等禾的实，就用下禾的列实去减中行下方的实。————而虽可以减去左行1捆下等禾的实，可是以法作为分母，对于率不能通达。所以先以左行的法乘中行下方的实，使其通达而做到同。都以左行的法作为分母，而减去下等禾的实。以左行下等禾先显现的实乘中行下等禾的捆数，就得到下等禾一位的列实。以它去减中行下方的实，则其余数就是中等禾之实。它的余数，除以中等禾的捆数，就是1捆中等禾的实。余数是中等禾这一种物品的实。所以以它的捆数除之，就得到1捆中等禾的实。如果要求上等禾的实，也以左行的法乘右行下方的实，而减去下等禾、中等禾的实。这右行是三种禾共有的实，是三种物品的实之和，所以去掉二种物品的捆数，就得到一种的实。现在中等禾、下等禾的实，它们的数量都显现出来了，便以它们乘右行中相应的禾的捆数，以减下方的实，所以也像前面那样，分别求出中等禾、下等禾的列实，以它们减下方的实。其余数，除以上等禾的捆数，就是1捆上等禾之实。这就是实皆除以法，分别得1捆的斗数。三个实被同样地使用。如果实有不满法的部分，就以法命名一个分数。分母、分子都应当约简。
今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗〔1〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，
下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。损之曰益，益之曰损〔2〕。问者之辞虽〔3〕？今按：实云上禾七秉、下禾二秉，实一十一斗；上禾二秉、下禾八秉，实九斗也〔4〕。“损之曰益”，言损一斗，余当一十斗。今欲全其实，当加所损也。“益之曰损”，言益实以一斗，乃满一十斗。今欲知本实，当减所加，即得也。损实一斗者，其实过一十斗也；益实一斗者，其实不满一十斗也。重谕损益数者，各以损益之数损益之也。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，题设相当于给出关系
（7x-1）+2y=10
2x+（8y+1）=10。
〔2〕损之曰益，益之曰损：在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量，在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量。损益是建立方程的一种重要方法。损之曰益，是说关系式一端减损某量，相当于另一端增益同一量。益之曰损，是说关系式一端增益某量，相当于另一端减损同一量。虽然《九章算术》没有赋予其“损益术”之名，但从许多题目声明“损益之”来看，它与正负术等术文具有同等的功能。损益之说本是先秦哲学家的一种辩证思想。《周易·损》：“损下益上，其道上行。”《老子·四十二章》：“物或损之而益，或益之而损。”其他学者也经常用到“损益”。《九章算术》的编纂者借用“损益”这一术语，仍是增减的意思，与《老子》之说十分接近，当然其含义稍有不同。一般认为，代数“algebra”来自阿拉伯文al jabr，是因为花拉子米（Al-Khowârizmî，约783——约850）写了一部代数著作《算法与代数学》（al-Kitāb al-mukhta sarfi hisab al-jabr wa almuquābala，直译为《还原与对消计算概要》）。Al jabr在阿拉伯文中的意思是“还原”或“移项”，解方程时将负项由一端移到另一端，变成正项，就是“还原”；wa'l muquābalah是“对消”，即将两端相同的项消去或合并同类项。（D.E.Smith，History of Mathematics，vol.Ⅱ，Dover Publications，P.382，1925）显然，《九章算术》使用还原与合并同类项，要比花拉子米早一千年左右。
〔3〕问者之辞虽：提问者的话是什么意思呢？虽，古与“谁”通用，训为“何”。
〔4〕刘徽指出，通过损益，其线性方程组就是
7x+2y=11
2x+8y=9。
【译文】
假设有7捆上等禾，如果它的实减损1斗，又增益2捆下等禾，而实共是10斗；有8捆下等禾，如果它的实增益1斗，与2捆上等禾，而实也共是10斗。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实斗，
1捆下等禾的实斗。
术曰：如同方程术那样求解。在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量，在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量。提问者的话是什么意思呢？今按：这实际上是说，7捆上等禾、2捆下等禾，实是11斗；2捆上等禾、8捆下等禾，实是9斗。“在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量”，是说实减损1斗，余数应当是10斗。今想求它的整个实，应当加所减损的数量。“在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量”，是说实增益1斗，才满10斗。今想知道本来的实，应当减去所增加的数量，就得到了。“它的实减损1斗”，就是它的实超过10斗的部分；“它的实增益1斗”，就是它的实不满10斗的部分。再一次申明减损增益的数量，就是各以减损增益的数量对之减损增益。
今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗〔1〕。问：上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实二十五分斗之九，
中禾一秉实二十五分斗之七，
下禾一秉实二十五分斗之四。
术曰：如方程。各置所取。置上禾二秉为右行之上，中禾三秉为中行之中，下禾四秉为左行之下。所取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物，皆依此例。以正负术入之〔2〕。
正负术曰〔3〕：今两算得失相反，要令正、负以名之〔4〕。正算赤，负算黑。否则以邪、正为异〔5〕。方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术，而其并、减之势不得广通，故使赤、黑相消夺之〔6〕。于算或减或益，同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉〔7〕。著此二条〔8〕，特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率〔9〕。然则其正无人以负之〔10〕，负无人以正之〔11〕，其率不妄也〔12〕。同名相除〔13〕，此谓以赤除赤，以黑除黑。行求相减者〔14〕，为去头位也〔15〕。然则头位同名者当用此条；头位异名者当用下条〔16〕。异名相益〔17〕，益行减行，当各以其类矣〔18〕。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也〔19〕。故赤用黑对则除，黑〔20〕，无对则除，黑〔21〕；黑用赤对则除，赤〔22〕，无对则除，赤〔23〕；赤、黑并于本数。此为相益之〔24〕，皆所以为消、夺。消、夺之与减、益成一实也〔25〕。术本取要，必除行首，至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异而一也〔26〕。正无人负之〔27〕，负无人正之〔28〕。无人，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实〔29〕，而行中正、负杂者亦用此条〔30〕。此条者，同名减实、异名益实，正无人负之，负无人正之也。 其异名相除〔31〕，同名相益〔32〕，正无人正之〔33〕，负无人负之〔34〕。此条“异名相除”为例，故亦与上条互取。凡正负所以记其同异，使二品互相取而已矣〔35〕。言负者未必负于少，言正者未必正于多〔36〕。故每一行之中虽复赤、黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名〔37〕。此条之实兼通矣，遂以二条返覆一率。观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也〔38〕。又，本设诸行，欲因成数以相去耳〔39〕，故其多少无限，令上下相命而已。若以正、负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也〔40〕。
【注释】
〔1〕设x，y，z分别表示上、中、下禾一秉之实，它相当于线性方程组
2x+y=1
3y+z=1
x+4z=1。
其筹式如图8-2（1）。
图8-2
〔2〕以正负术入之：将正负术纳入其解法。入，纳入。此问的方程在消去左行上禾的系数时，其中会出现0-1=-1的运算，从而变成
2x+y=1
3y+z=1
-y+8z=1。
其筹式如图8-2（2），所以要将正负术纳入此术的解法。
〔3〕正负术：即正负数加减法则。《九章算术》中负数的引入及正负数加减法则的提出，都是世界上最早的，超前其他文化传统几百年甚至上千年。
〔4〕这是刘徽的正负数定义。它表示，正数与负数是互相依存的，相对的。正数相对于负数而言为正数，负数相对于正数而言为负数。因此，正数与负数可以互相转化，已经摆脱了以盈为正，以欠为负的素朴观念。
〔5〕正算赤，负算黑：这是正负数的算筹表示法。不过学术界在理解上尚有不同意见。有的学者认为是整个算筹涂成红色或黑色，有的学者认为只是在算筹上有红色或黑色的标记。“以邪正为异”，有的学者认为是指邪置、正置，有的学者认为指正算的截面为正三角形（有三廉），负算的截面为正方形（有四廉）。宋元时期常在算筹上置一邪筹表示负数。本书亦以这种方式表示负数，如图8-2（2）左行的，就表示-1。
〔6〕消夺：指相消与夺位两种运算。相消是以某数消减另一个数。如果将该数相消化为0，则就是夺，即夺其位。
〔7〕“于算或减或益”三句：对于算数有的减损，有的增益，它们在同一行的不同位置上完全表示两种不同的物品，它们各有加，有减，其和差显现于下方。益，增益，加。见，显现。刘徽在此说明为什么必须建立正负术，即赤、黑相消夺之术。
〔8〕二条：指正负数加法法则与正负数减法法则。
〔9〕赤、黑相杂：指方程的一行中正负数相杂。 减、益虽殊：指方程中左右行相对的正负数相加减。 差、实虽分：指各行中诸未知数的系数与实的关系。刘徽在此说明正负术在这三种情况中的应用。这里的“率”指计算方法。“率”的本义是标准，引申为按标准计算，计算方法。《隋书·律历志》在谈到数学方法时说：“夫所谓率者，有九流焉。”
〔10〕正无人以负之：正的算数如果无偶，就变成负的。无人，就是“无偶”。人，偶，伴侣。《庄子·大宗师》：“彼方且与造物者为人，而游乎天地之一气。”王先谦集解引王引之云：“为人，犹言为偶。”“无人”系《大典》本、杨辉本之原文，不误。杨辉本“卖牛羊”问在“一法”之“无入”下注：“古本误刻‘无人’者，非。”所谓“古本”即北宋贾宪的《黄帝九章算经细草》，它是杨辉本的底本。宋景昌据此认为“杨氏亦从‘入’”。戴震辑录校勘本改“人”作“入”。钱宝琮认定戴震此处参考过《永乐大典》中所引杨辉本。此后诸本均改作“入”。汪莱、李潢不同意戴震的意见。汪莱云：“‘无人’，‘人’不误。‘无人’谓有空位也。”李潢云：“‘入’字原本作‘人’，孔刻改为‘入’，非是。”李潢本“于经、注作‘入’，仍微波榭本也。‘说’中作‘人’，遵原本也”。然此后各本均从戴校。今恢复《大典》本、杨辉本原文。下“无人”均同，恕不再注。以，训“则”。
〔11〕负无人以正之：负的算数如果无偶，就变成正的。
〔12〕率：这里亦指计算方法。
〔13〕同名相除：相减的两个数如果符号相同，则它们的数值相减。这是《九章算术》提出的正负数减法法则。名，名分，指称，此处即今之正负号。同名，同号。除，这里是减的意思。此谓符号相同的数相减，即刘徽所说的“以赤除赤”，“以黑除黑”，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）-（±b）=±（a-b），a＞b，
（±a）-（±b）=?（b-a），a＜b。
〔14〕相减：这里指相加减，偏词复义。
〔15〕为去头位：为的是消去头位。《九章算术》的直除法只是消去某行的头位。
〔16〕此条：指正负数减法法则中的“同名相除”。 下条：指下文正负数减法法则中的“异名相益”。
〔17〕异名相益：相减的两个数如果符号不同，则它们的数值相加。异名，即不同号。这里是说，符号不同的数相减，即以赤除黑，或以黑除赤，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）-（?b）=±（a+b）。
〔18〕益行减行，当各以其类矣：两行相加或相减，都应当分别依据它们的类别。其类，它们的类别。这里指同号、异号。
〔19〕“非其类者”三句：不是它那一类的，就好像是没有对减的数，则就不可以相减了。无对，没有相对的数。这是说在建立正负数加减法则之前正负数是无法相加减的。
〔20〕故赤用黑对则除，黑：红算数如果用黑算数作对减的数，则得黑算数。此即
（-a）-（+b）=-（a+b）。
〔21〕无对则除，黑：如果红算数没有与之对减的数，也得黑算数，即
0-（+a）=-a。
〔22〕黑用赤对则除，赤：黑算数如果用红算数对减，则得红算数，即
（+a）-（-b）=+（a+b）。
〔23〕无对则除，赤：如果黑算数没有与之对减的数，也得红算数，即
0-（-a）=a。
〔24〕之：语气词。
〔25〕消夺之与减益成一实：此谓通过消夺减益化成一种物品的实。
〔26〕刘徽在此又一次强调，《九章算术》的直除法是消去某行有效数字的头位，而其他位或者相减，或者相加，都是同一个道理。而：训“乃”。王引之《经传释词》卷七：“‘而’，犹‘乃’也。”
〔27〕正无人负之：《九章算术》的术文是说，正数没有与之对减的数，则为负数。即
0-（+a）=-a，a＞0。
〔28〕负无人正之：《九章算术》的术文是说，负数没有与之对减的数，则为正数。即
0-（-a）=+a，a＞0。
以上两种情形都是刘徽所说的“消夺者居位”。
〔29〕或：与“有”通，训“而”，见裴学海《古书虚字集释》卷二。
〔30〕此条：指正负数减法法则。
〔31〕其异名相除：如果两者是异号的，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）+（?b）=±（a-b），a＞b。
自此起是《九章算术》提出的正负数加法法则。
〔32〕同名相益：如果相加的两者是同号的，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）+（±b）=±（a+b）。
〔33〕正无人正之：如果正数没有与之相加的，则为正数。即
0+（+a）=+a，a＞0。
〔34〕负无人负之：如果负数没有与之相加的，则为负数。即
0+（-a）=-a，a＞0。
〔35〕使二品互相取而已：只是使二种物品互取而已。
〔36〕刘徽在此再一次阐明正数与负数是相对的，就其绝对值而言，正的未必就大，负的未必就小。
〔37〕刘徽指出，在一行中，赤算统统变成黑算，黑算统统变成赤算，其数量关系不变。因此，可以将用来消元的两行的头位变成互相异号，以使它们相加。
〔38〕刘徽认为，由于正数与负数是相对而言的，并且减一正数相当于加一负数，减一负数相当于加一正数，那么，正负数的加减法则可合为一术。即
（±a）-（±b）=（±a）+（?b）=±（a-b）。
〔39〕成数：指每行都有确定之数，故可相减。成，训“定”，犹如开方术“成方”之“成”。
〔40〕“如数有旧增（cénɡ）法者”三句：如一行诸数中有原来的法的重叠，那么这一行可以自行调节，不只是对各物品的数量利用左右行相消。换言之，如果某行的诸数中有公因子，可以用它约简，不只是左右行相消。增，训“层”。刘向《说苑·反质》：“宫室台阁，连属增累。”增法，重叠的法。均，调和，调节。《诗经·小雅·皇皇者华》：“我马维骃，六辔既均。”毛传：“均，调也。”
【译文】
假设有2捆上等禾，3捆中等禾，4捆下等禾，它们各自的实都不满1斗。如果上等禾借取中等禾、中等禾借取下等禾、下等禾借取上等禾各1捆，则它们的实恰好都满1斗。问：1捆上等禾、中等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是斗，
1捆中等禾的实是斗，
1捆下等禾的实是斗。
术：如同方程术那样求解。分别布置所借取的数量。布置上等禾的捆数2为右行的上位，中等禾的捆数3为中行的中位，下等禾的捆数4为左行的下位。每行所借取的1捆及实1斗都遵从自己的位置。凡是各行之间有互相借取物品的问题，皆依照此例。将正负术纳入之。
正负术：如果两个算数所表示的得与失是相反的，必须引入正负数以命名之。正的算数用红筹，负的算数用黑筹。否则就用邪筹与正筹区别它们。方程术自有红算数与黑算数互相借取，法与实的数值互相推求的方法，然而它们相加、相减的态势不能广泛通达，所以使红算数与黑算数互相消减、夺位。对于算数，有的减损，有的增益，它们在同一行的不同位置上，完全表示两种不同的物品，它们各有加、有减，其和、差显现于下方的位置上。于是，撰著这二条法则，并且特地将它们与禾联系起来，为的是阐明此二条的意义。因此红算数与黑算数虽然互相错杂，却足以确定上下的程式，相减、相加虽然不同却足以使左右行之数互相通达，差与实虽然有区别，却足以适应于同号异号的计算。那么在减法运算中正的算数如果无偶，就变成负的，负的算数如果无偶，就变成正的，其计算方法并不是虚妄的。相减的两个数如果符号相同，则它们的数值相减，这是说以红算数减红算数，以黑算数减黑算数。诸行中要求相加减，为的是消去它的头位。那么两行的头位如果是同号的，应当用此条；头位如果是异号的，应当用下条。相减的两个数如果符号不相同，则它们的数值相加，不管是两行相加，还是相减，都应当分别依据它们的类别。如果是与它符号不同的，就不是它那一类的。不是它那一类的，就好像是没有对减的数，则就不可以相减了。红算数如果用黑算数作对减的数，则得黑算数，如果没有对减的数，也得黑算数；黑算数如果用红算数对减，则得红算数，如果没有对减的数，也得红算数；红算数与黑算数都是原本的数相加。这里是两者相增益，都是用来消减、夺位。消减、夺位与减损、增益使之成为一种物品的实。一种术最根本的是要抓住其关键。方程术中必定要消去某一行的首位，至于其他位，不管是多少，所以有时是它们相减，有时是它们相加，不论符号是相同还是不同，原理都是一样的。正数如果无偶，就变成负的，负数如果无偶，就变成正的。无偶，就是没有与之对减的数。没有能够被减的，则就使用来消减的数居于这个位置。那些应当以列实去减下方的实的，以及一行中正负数相错杂的，也应当应用这一条。这一条就是，同符号的就减实、不同符号的就加实，正数如果无偶就变成负数，负数如果无偶就变成正数。相加的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减，相加的两个数如果符号相同，则它们的数值相加，正数如果无偶就是正数，负数如果无偶就是负数。这一条以“相加的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减”为例，所以也与上一条互取。凡是正负数所以记出它们的同号异号，只是使二种物品互取而已。表示成负的，负的其数值未必就小，表示成正的，正的其数值未必就大。所以每一行之中即使将红算与黑算互易其符号，也没有什么障碍。那么可以使两行的头位取成互相不同的符号。这些条文的实质全都是相通的，于是以上二条翻来覆去都是同一种运算。考察它们在一行中上下互相选取的符号，则总是根据运算的需要而表示出来的，仍然是同一种方法。又，设置诸行，本意是想凭借已有的数互相消减，所以不管行数是多少，使上下相命就可以了。若用正负数相减，如一行诸数中有原来的法的重叠，那么这一行可以自行调节，不只是对各物品的数量利用左右行相消。
今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉〔1〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。
术曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正〔2〕。言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。故互其算，令相折除，以一斗一升为差〔3〕。为差者，上禾之余实也。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正〔4〕。以正负术入之。按：正负之术本设列行，物程之数不限多少，必令与实上、下相次，而以每行各自为率。然而或减或益，同行异位殊为二品，各自并、减之差见于下也〔5〕。
今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升，当上禾五秉〔6〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八升，
下禾一秉实三升。
术曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次〔7〕，上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正〔8〕。以正负术入之。言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余，是与下禾十秉相当之数。故亦互其算，而以一斗八升为差实。差实者，上禾之余实。
今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉〔9〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八斗，
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负〔10〕。以正负术入之。言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也〔11〕。故亦互其算，而以六斗为差实。差实者，下禾之余实。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
5x-11=7y
7x-25=5y。
此下3问都是常数项和未知数项的损益问题，合为一组。
〔2〕《九章算术》列出方程的右行，相当于
5x-7y=11。
未知数的系数有负数。
〔3〕互其算：交换算数，即损益。
〔4〕《九章算术》列出方程的左行，相当于
7x-5y=25。
〔5〕各自并、减之差见（xiàn）于下也：各自有加有减，其和差显现于下方。见，显现。
〔6〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
6x-18=10y
15y-5=5x。
〔7〕次：即“次置”。
〔8〕《九章算术》得出方程，相当于
6x-10y=18
-5x+15y=5。
两个未知数的系数都有负数。
〔9〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
3x+6=10y
5y+1=2x。
〔10〕《九章算术》得出方程，相当于
3x-10y=-6
-2x+5y=-1。
此不仅两个未知数都有负系数，而且实亦为负数。
〔11〕于下禾十秉相当：与10秉下禾相当。于，训“与”。裴学海《古书虚字集释》卷一：“‘于’，犹‘与’也。”
【译文】
假设有5捆上等禾，将它的实减损1斗1升，等于7捆下等禾；7捆上等禾，将它的实减损2斗5升，等于5捆下等禾。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是5升，
1捆下等禾的实是2升。
术：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数5，是正的，下等禾的捆数7，是负的，减损的实1斗1升，是正的。这是说5捆上等禾的实多，减损它1斗1升，余数就与7捆下等禾的实相等。所以互相置换算数，使它们互相折消，以1斗1升作为差。成为这个差的，就是上等禾余下的实。其次布置7捆上等禾，是正的，5捆下等禾，是负的，减损的实2斗5升，是正的。将正负术纳入之。按：应用正负术，本来设置各列各行，需要求解的物品个数不管多少，必须使它们与实上下一一排列，而以每行各自作为率。然而有的减损，有的增益，它们在同一行不同位置完全表示二种不同的物品，各自有加有减，其和差显现于下方。
假设有6捆上等禾，将它的实减损1斗8升，与10捆下等禾的实相等；15捆下等禾，将它的实减损5升，与5捆上等禾的实相等。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是8升，
1捆下等禾的实是3升。
术曰：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数6，是正的，下等禾的捆数10，是负的，所减损的实1斗8升，是正的。接着，布置上等禾的捆数5，是负的，下等禾的捆数15，是正的，所减损的实5升，是正的。将正负术纳入之。这是说6捆上等禾的实多，减损它1斗8升，余数与10捆下等禾的实相等。所以也互相置换算数，而以1斗8升作为差实。差实就是上等禾余下的实。
假设有3捆上等禾，将它的实增益6斗，与10捆下等禾的实相等；5捆下等禾，将它的实增益1斗，与2捆上等禾的实相等。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是8斗，
1捆下等禾的实是3斗。
术：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数3，是正的，下等禾的捆数10，是负的，增益的实6斗，是负的。接着布置上等禾的捆数2，是负的，下等禾的捆数5，是正的，增益的实1斗，是负的。将正负术纳入之。这是说3捆上等禾的实少，给它增益6斗，然后与10捆下等禾的实相等。所以也互相置换算数，而以6斗作为差实。差实就是下等禾余下的实。
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两〔1〕。问：牛、羊各直金几何？
荅曰：
牛一直金一两二十一分两之一十三，
羊一直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。假令为同齐，头位为牛，当相乘。右行定〔2〕，更置牛十、羊四，直金二十两；左行牛十、羊二十五，直金四十两〔3〕。牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使之然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也〔4〕。以小推大，虽四、五行不异也〔5〕。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示牛、羊直金，题设给出的方程图8-3（1），相当于线性方程组
5x+2y=10
2x+5y=8。
图8-3
〔2〕相乘：指头位互相乘，以做到齐同。这是刘徽创造的解线性方程组的互乘相消法。
〔3〕“更置牛十、羊四”四句：此谓通过齐同运算，右行由“牛五、羊二，直金十两”变换成“牛十、羊四，直金二十两”，左行由“牛二、羊五，直金八两”变成“牛十、羊二十五，直金四十两”，得到如图8-3（2）的方程，它相当于
10x+4y=20
10x+25y=40。
〔4〕以少行减多行，即以右行减左行，得方程如图8-3（3），它相当于
10x+4y=20
21y=20。
因此1只羊直金两。
〔5〕刘徽认为，这一方法可以推广到任意多行的方程。可惜，刘徽的这一创造长期未引起数学家的重视。直到北宋贾宪《黄帝九章算经细草》才大量使用互乘相消法，同时也使用直除法。南宋秦九韶《数书九章》才废止直除法，完全使用互乘相消法。
【译文】
假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金。问：1头牛、1只羊各值多少金？
答：
1头牛值两金，
1只羊值两金。
术：如同方程术那样求解。假令作齐同变换，两行的头位是牛，应当互相乘。右行就确定了，重新布置牛的头数10，羊的只数4，值金数20两；左行牛的头数10，羊的只数25，值金数40两。两行牛的头数相等，那么金多20两，是羊多了21只造成的。以数值少的行减多的行，则牛的头数减尽，只有羊的只数与所值的金数显现出来，因此可以知道一只羊所值的金的两数。以小推大，即使是四、五行的方程也没有什么不同。
今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百〔1〕。问：牛、羊、豕价各几何？
荅曰：
牛价一千二百，
羊价五百，
豕价三百。
术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次，五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负〔2〕。以正负术入之。此中行买、卖相折，钱适足，故但互买、卖算而已〔3〕。故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣，故注曰“正无实负，负无实正”，方为类也〔4〕。方将以别实加适足之数与实物作实。
盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九、白银一十一，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问：金、银一枚各重几何？”与此同。
【注释】
〔1〕设牛、羊、豕价分别是x，y，z，《九章算术》的题设相当于关系式
2x+5y=13z+1 000
3x+3z=9y
6y+8z=5x-600。
〔2〕《九章算术》列出方程，如图8-4（1），它相当于线性方程组
2x+5y-13z=1 000
3x-9y+3z=0
-5x+6y+8z=-600。
图8-4
〔3〕故但互买、卖算而已：所以只是互相置换买卖的算数即可。故但，所以只是。
〔4〕故注：旧注。刘徽此处所引，当然是前人的旧注。
【译文】
假设卖了2头牛、5只羊，用来买13头猪，还剩余1 000钱；卖了3头牛、3头猪，用来买9只羊，钱恰好足够；卖了6只羊、8头猪，用来买5头牛，不足600钱。问：1头牛、1只羊、1头猪的价格各是多少？
答：
1头牛的价格是1 200钱，
1只羊的价格是500钱，
1头猪的价格是300钱。
术：如同方程术那样求解。布置牛的头数2、羊的只数5，都是正的，猪的头数13，是负的，余钱数是正的；接着布置牛的头数3，是正的，羊的只数9，是负的，猪的头数3，是正的；再布置牛的头数5，是负的，羊的只数6，是正的，猪的头数8，是正的，不足的钱是负的。将正负术纳入之。这里中行的买卖互相折算，钱数恰好足够，所以只是互相置换买卖的算数即可。因而下方没有值的钱数。如果想把方程的解法用于这一行，须先使牛的头数2整个地乘中行，而用右行与之对减。中行下方的实既然虚缺，那么旧注说“正的没有实被减，就是负的，负的没有实被减，就是正的”，就是为了这一类问题。将用别的实加适足的数，以实物作为实。盈不足章的黄金白银问题与此相似。“假设有9枚黄金，11枚白银，称它们的重量，恰好相等。交换... -->>
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