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。交换其一枚，黄金这边轻13两。问：1枚黄金、1枚白银各重多少？”与此相同。
今有五雀六燕〔1〕，集称之衡〔2〕，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平〔3〕。并雀、燕重一斤。问：雀、燕一枚各重几何？
荅曰：
雀重一两一十九分两之一十三，
燕重一两一十九分两之五。
术曰：如方程。交易质之〔4〕，各重八两〔5〕。此四雀一燕与一雀五燕衡适平。并重一斤，故各八两。列两行程数。左行头位其数有一者，令右行遍除〔6〕。亦可令于左行，而取其法、实于左。左行数多，以右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动，左上空。中法，下实，即每枚当重宜可知也〔7〕。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀四燕重相当，雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也〔8〕，即其数也。
【注释】
〔1〕成语“五雀六燕”即由此衍化而成，喻双方分量相等，如五雀六燕，铢两悉称。亦省作“五雀”。清赵翼《哭汪文端师》诗：“乙鸿精鉴别，五雀定衡铨。”
〔2〕称（chēnɡ）：称量。李籍云：“正斤两也。” 衡：衡器，秤。李籍云：“权衡也。”
〔3〕《艺文类聚》卷九十二鸟部下于“燕”字云：“《九章算术》曰：‘五雀六燕，飞集衡，衡适平。’”文字与此稍异。
〔4〕质：称，衡量。《汉语大字典》、《汉语大词典》此释义均以《九章算术》此问为例句。疑“称量”之义由“质”训评断、评量引申而来。《周礼·夏官·马质》：“马质掌质马。”贾公彦疏：“质，平也。”笔者故乡山东胶州至今说称量某物为“质质”，当是古语。
〔5〕《九章算术》实际上给出形如图8-5（1）的方程。设1只雀、燕的重量分别为x，y，它相当于线性方程组
4x+y=8
x+5y=8。
图8-5
〔6〕由于左行头位为1，令从右行四度减去左行，右行头位化为0，下位为-19，实为-24。整行乘以-1，如图8-5（2）所示，即得1只燕的重量。
〔7〕此是消去方程左行头位的程序。因为左行燕的只数多，所以求燕的重量可以用此行，在此行求燕的法与实。以右行的头位4乘左行整行，减去右行，左行头位为0，法为19，实为24。如图8-5（3）所示。
〔8〕异术：实际上就是刘徽在麻麦问提出的方程新术。由原方程即图8-5（1）中的两行相减，下方的实变为0，雀的系数为3，燕的系数为-4，也就是3雀相当于4燕，于是
雀:燕=4:3， 或 x:y=4:3。
任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，即
于是
【译文】
假设有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀重，燕子轻。将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡。麻雀与燕子合起来共重1斤。问：1只麻雀、1只燕子各重多少？
答：
1只麻雀重两，
1只燕子重两。
术：如同方程术那样求解。将1只麻雀与1只燕子交换，再称量它们，各重8两。这里4只麻雀、1只燕子与1只麻雀、5只燕子恰好使衡平衡。它们合起来重1斤，所以各重为8两。列出两行用以求解的数。左行头位的数为1，使左行整个地去减右行。也可使右行与左行对减，而在左行取得法与实。左行的下位与实的数值大，以右行消减它的数。左行的头位减尽，中位与下位应当是燕与实的算数。右行不动，左行上位空。中位是法，下位是实，那么每1只燕子的重量应当是可以知道的。按：此4只麻雀、1只燕子与1只麻雀、5只燕子，它们的重量相等，这就是3只麻雀与4只燕子的重量相当，所以麻雀重的率是4，燕子重的率是3。各种求若干率的问题都可以用特殊的方法解决，就得到其数值。
今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十〔1〕。问：甲、乙持钱各几何？
荅曰：
甲持三十七钱半，
乙持二十五钱。
术曰：如方程。损益之〔2〕。此问者言一甲、半乙而五十，太半甲、一乙亦五十也。各以分母乘其全，内子，行定：二甲、一乙而钱一百；二甲、三乙而钱一百五十〔3〕。于是乃如方程。诸物有分者放此〔4〕。
今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价〔5〕。问：牛、马价各几何？
荅曰：
马价五千四百五十四钱一十一分钱之六，
牛价一千八百一十八钱一十一分钱之二。
术曰：如方程。损益之。此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也〔6〕。“一马半与一牛直钱一万”，通分内子，右行为三马、二牛，直钱二万。“二牛半与一马直钱一万”，通分内子，左行为二马、五牛，直钱二万也〔7〕。
【注释】
〔1〕设甲、乙持钱分别是x，y，《九章算术》的题设相当于给出关系式
此问与下问都是通过损益得到分数系数方程组，合为一组。
〔2〕损益之：此处的“损益”与第2问的意义及其他有关问题的用法有所不同，是指将分数系数通过通分损益成整数系数。
〔3〕刘徽指出其方程相当于线性方程组
2x+y=100
2x+3y=150。
〔4〕放：训“仿”。此问是《九章算术》第一个分数系数方程，故刘徽指出其他有关分数系数的方程，仿此处理。
〔5〕设马、牛之价分别是x，y，《九章算术》的题设相当于给出关系式
〔6〕损益之，得出
这里既有未知数和常数项的互其算，又有未知数的合并同类项。
〔7〕刘徽说，通过通分纳子，将方程化成
3x+2y=20 000
2x+5y=20 000。
【译文】
假设甲、乙二人带着钱，不知是多少。如果甲得到乙的钱数的，就有50钱，乙得到甲的钱数的，也就有50钱。问：甲、乙各带了多少钱？
答：
甲带了钱，
乙带了25钱。
术：如同方程术那样求解。先对之减损增益。这一问题是说，1份甲带的钱与份乙带的钱而共有50钱，份甲带的钱与1份乙带的钱也共有50钱。各以分母乘其整数部分，纳入分子，确定两行为：甲的份数2、乙的份数1而共有100钱，甲的份数2、乙的份数3而共有150钱。于是就如同方程术那样求解。各种物品有分数的都仿照此问。
假设有2匹马、1头牛，它们的价钱超过10 000钱的部分，如同1匹马的价钱的；1匹马、2头牛，它们的价钱不满10 000钱的部分，如同1头牛的价钱的。问：1头牛、1匹马的价钱各是多少？
答：
1匹马的价钱是钱，
1头牛的价钱是钱。
术：如同方程术那样求解。先对之减损增益。这里匹马与1头牛的价钱值10 000钱，头牛与1匹马的价钱也是10 000钱。“匹马与1头牛的价钱值10 000钱”，通分纳子，右行为：马的匹数3、牛的头数2，值钱20 000钱。“头牛与1匹马的价钱也是10 000钱”，通分纳子，左行为：马的匹数2、牛的头数5，值钱20 000钱。
今有武马一匹〔1〕，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至坂〔2〕，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上〔3〕。问：武、中、下马一匹各力引几何〔4〕？
荅曰：
武马一匹力引二十二石七分石之六，
中马一匹力引一十七石七分石之一，
下马一匹力引五石七分石之五。
术曰：如方程。各置所借。以正负术入之〔5〕。
【注释】
〔1〕武马：上等马。李籍云：“武马，戎马也。戎马言武马者，犹《曲礼》谓戎车为武车也。取其健猛而善行也。”
〔2〕坂（bǎn）：斜坡。《说文解字》：“坂，坡者曰坂。”李籍云：“不平也。”
〔3〕借：李籍云：“从人假物也。”设1匹武马、中马、下马之力引分别是x，y，z，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
x+y=40
2y+z=40
x+3z=40。
〔4〕力引：拉力，牵引力。引，本义是拉弓，开弓。引申为牵引，拉。李籍云：“引，重也。《易》曰：‘引重致远。’”
〔5〕此问的方程是已经讨论过的类型，刘徽没有注。
【译文】
假设有1匹上等马，2匹中等马，3匹下等马，分别载40石的物品至一陡坡，都上不去。这匹上等马借1匹中等马，这些中等马借1匹下等马，这些下等马借1匹上等马，于是都能上去。问：1匹上等马、中等马、下等马的拉力各是多少？
答：
1匹上等马的拉力石，
1匹中等马的拉力石，
1匹下等马的拉力石。
术：如同方程术那样求解。分别布置所借的1匹马。将正负术纳入之。
今有五家共井，甲二绠不足〔1〕，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮〔2〕。问：井深、绠长各几何？
荅曰：
井深七丈二尺一寸，
甲绠长二丈六尺五寸，
乙绠长一丈九尺一寸，
丙绠长一丈四尺八寸，
丁绠长一丈二尺九寸，
戊绠长七尺六寸。
术曰：如方程〔3〕。以正负术入之。此率初如方程为之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，实七十六，是为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。以法除实者，而戊一绠逮井之数定，逮七百二十一分之七十六〔4〕。是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以言之〔5〕。
【注释】
〔1〕绠：汲水用的绳索。《说文解字》：“绠，汲井缏也。”李籍云：绠，“汲水索”。
〔2〕逮（dài）：及，及至。《说文解字》：“逮，及也。”设甲、乙、丙、丁、戊绠长与井深分别是x，y，z，u，v，w，《九章算术》的题设相当于给出线性方程组
2x+y=w
3y+z=w
4z+u=w
5u+v=w
6v+x=w。
〔3〕《九章算术》依方程术求解。然而此方程6个未知数，只能列出5行，实际上是一个不定问题，有无穷多组解。《九章算术》的编纂者未认识到这一点。
〔4〕刘徽求出戊1绠逮井之数是井深的。
〔5〕刘徽指出，以721为井深，76为戊绠长，129为丁绠长……是“举率以言之”。这是在中国数学史上第一次明确指出不定方程问题。事实上，上述方程经过消元，可以化成：
721x=265w
721y=191w
721z=148w
721u=129w
721v=76w。
这实际上给出了
x:y:z:u:v:w=265:191:148:129:76:721。
显然，只要令w=721n，n=1，2，3，…，都会给出满足题设的x，y，z，u，v，w的值。《九章算术》只是把其中的最小一组正整数解作为定解。
【译文】
假设有五家共同使用一口井，甲家的2根井绳不如井的深度，如同乙家的1根井绳；乙家的3根井绳不如井的深度，如同丙家的1根井绳；丙家的4根井绳不如井的深度，如同丁家的1根井绳；丁家的5根井绳不如井的深度，如同戊家的1根井绳；戊家的6根井绳不如井的深度，如同甲家的1根井绳。如果各家分别得到所不足的那一根井绳，都恰好及至井底。问：井深及各家的井绳长度是多少？
答：
井深是7丈2尺1寸，
甲家的井绳长是2丈6尺5寸，
乙家的井绳长是1丈9尺1寸，
丙家的井绳长是1丈4尺8寸，
丁家的井绳长是1丈2尺9寸，
戊家的井绳长是7尺6寸。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。这些率最初是如方程术那样求解出来的，指的是各达到一次井深。其后，得到法是721，实是76。这就是721根戊家的井绳而能76次达到井底，这是合并了达到井底的次数。如果以法除实，那么就确定了戊家1根井绳达到井底的数，达到井深的。所以把721作为井深，76作为戊家1根井绳之长，这只是用率将它们表示出来。
今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青各一步，而实满斗〔1〕。问：白、青、黄、黑禾实一步各几何？
荅曰：
白禾一步实一百一十一分斗之三十三，
青禾一步实一百一十一分斗之二十八，
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰：如方程。各置所取。以正负术入之。
今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石：甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一〔2〕。问：甲、乙、丙禾一秉各重几何？
荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之一十七，
乙禾一秉重二十三分石之一十一，
丙禾一秉重二十三分石之一十。
术曰：如方程。置重过于石之物为负〔3〕。此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云〔4〕？如乙一秉重矣。互言其算〔5〕，令相折除，而一以石为之差实〔6〕。差实者，如甲禾余实，故置算相与同也。以正负术入之。此入，头位异名相除者，正无人正之，负无人负之也。
今有令一人〔7〕、吏五人〔8〕、从者一十人〔9〕，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六〔10〕。问：令、吏、从者食鸡各几何？
荅曰：
令一人食一百二十二分鸡之四十五，
吏一人食一百二十二分鸡之四十一，
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有五羊、四犬、三鸡、二兔直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔直钱八百六十一〔11〕。问：羊、犬、鸡、兔价各几何？
荅曰：
羊价一百七十七，
犬价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
术曰：如方程。以正负术入之。
【注释】
〔1〕设1步白禾、青禾、黄禾、黑禾之实分别是x，y，z，u，《九章算术》的题设相当于给出线性方程组
2x+y+z=1
3y+z+u=1
x+4z+u=1
x+y+5u=1。
消元中会产生负数，所以纳入正负术。这也是已经讨论过的情形，刘徽未出注。此问及以下三问都比较简单，合为一组。
〔2〕甲二重如乙一：是说2秉甲禾超过1石的重量与1秉乙禾的重量相等。《九章算术》给出关系式
2x-1=y
3y-1=z
4z-1=x。
〔3〕重过于石之物：指与某种禾的重量超过1石的部分相当的那种物品。《九章算术》列出方程，相当于线性方程组
2x-y=1
3y-z=1
-x+4z=1。
〔4〕其过者何云：那超过的部分是什么呢？
〔5〕互言其算：互相置换它们的算数。
〔6〕而一以石为之差实：谓二甲减一乙，三乙减一丙，四丙减一甲，差实都是一石也。一，都，一概。《诗·邶风·北门》：“王事适我，政事一埤益我。”朱熹注：“一，犹皆也。”
〔7〕令：官名，古代政府某机构的长官，如尚书令、大司农令等。也专指县级行政长官。
〔8〕吏：古代官员的通称。《说文解字》：“吏，治人者也。”汉以后特指官府中的小官和差役。
〔9〕从：随从。李籍云：“随也。”
〔10〕设令、吏、从者1人食鸡分别是x，y，z，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
x+5y+10z=10
10x+y+5z=8
5x+10y+z=6。
此亦为已经讨论过的类型，刘徽未出注。
〔11〕设羊、犬、鸡、兔1只的价钱分别是x，y，z，u，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
5x+4y+3z+2u=1 496
4x+2y+6z+3u=1 175
3x+y+7z+5u=958
2x+3y+5z+u=861。
此亦为已经讨论过的类型，刘徽未出注。
【译文】
假设有2步白禾、3步青禾、4步黄禾、5步黑禾，各种禾的实都不满1斗。2步白禾取青禾、黄禾各1步，3步青禾取黄禾、黑禾各1步，4步黄禾取黑禾、白禾各1步，5步黑禾取白禾、青禾各1步，而它们的实都满1斗。问：1步白禾、青禾、黄禾、黑禾的实各是多少？
答：
1步白禾的实是斗，
1步青禾的实是斗，
1步黄禾的实是斗，
1步黑禾的实是斗。
术：如同方程术那样求解。分别布置所取的数量。将正负术纳入之。
假设有2捆甲等禾，3捆乙等禾，4捆丙等禾，它们的重量都超过1石：2捆甲等禾超过1石的恰好是1捆乙等禾的重量，3捆乙等禾超过1石的恰好是1捆丙等禾的重量，4捆丙等禾超过1石的恰好是1捆甲等禾的重量。问：1捆甲等禾、乙等禾、丙等禾各重多少？
答：
1捆甲等禾重石，
1捆乙等禾重石，
1捆丙等禾重石。
术：如同方程术那样求解。布置与重量超过1石的部分相当的那种物品，为负的。这个问题是说，2捆甲等禾的重量超过1石。那超过的部分是什么呢？就如同1捆乙等禾的重量。互相置换它们的算数，使其互相折算，那么都以1石作为差实。差实，如同甲等禾余下的实，所以布置的算数都是相同的。将正负术纳入之。这里的“纳入”就是，头位的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减，正数如果无偶就是正数，负数如果无偶就是负数。
假设有1位县令、5位官吏、10位随从，吃了10只鸡；10位县令、1位官吏、5位随从，吃了8只鸡；5位县令、10位官吏、1位随从，吃了6只鸡。问：1位县令、1位官吏、1位随从，各吃多少只鸡？
答：
1位县令吃了只鸡，
1位官吏吃了只鸡，
1位随从吃了只鸡。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。
假设有5只羊、4条狗、3只鸡、2只兔子值钱1 496钱；4只羊、2条狗、6只鸡、3只兔子值钱1 175钱；3只羊、1条狗、7只鸡、5只兔子值钱958钱；2只羊、3条狗、5只鸡、1只兔子值钱861钱。问：1只羊、1条狗、1只鸡、1只兔子价钱各是多少？
答：
1只羊的价钱是177钱，
1条狗的价钱是121钱，
1只鸡的价钱是23钱，
1只兔子的价钱是29钱。
术曰：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。
今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五〔1〕。问：一斗直几何？
荅曰：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
荅一斗五钱，
黍一斗六钱。
术曰：如方程。以正负术入之。此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事〔2〕。其拙于精理徒按本术者，或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗于设通而专于一端〔3〕。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约〔4〕。更有异术者，庖丁解牛〔5〕，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡《九章》为大事，按法皆不尽一百算也〔6〕。虽布算不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论其设动无方。斯胶柱调瑟之类〔7〕。聊复恢演，为作新术〔8〕，著之于此，将亦启导疑意。网罗道精〔9〕，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉〔10〕。方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其求一行二物正、负相借者，是其相当之率〔11〕。又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也〔12〕。更置成行及其下实〔13〕，各以其物本率今有之，求其所同，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余以为法。以下置为实〔14〕。实如法，即合所问也〔15〕。一物各以本率今有之，即皆合所问也〔16〕。率不通者，齐之〔17〕。其一术曰〔18〕：置群物通率为列衰〔19〕。更置成行群物之数，各以其率乘之，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘列衰，各自为实。实如法而一，即得〔20〕。以旧术为之〔21〕，凡应置五行〔22〕。今欲要约。先置第三行，减以第四行〔23〕，又减第五行〔24〕；次置第二行，以第二行减第一行〔25〕，又减第四行〔26〕，去其头位；余，可半〔27〕；次置右行及第二行，去其头位〔28〕；次以右行去第四行头位〔29〕；次以左行去第二行头位〔30〕；次以第五行去第一行头位〔31〕；次以第二行去第四行头位；余，可半〔32〕；以右行去第二行头位〔33〕；以第二行去第四行头位〔34〕。余，约之为法、实，实如法而一，得六，即有黍价〔35〕。以法治第二行，得荅价〔36〕，右行得菽价〔37〕，左行得麦价〔38〕，第三行麻价〔39〕。如此凡用七十七算〔40〕。以新术为此〔41〕：先以第四行减第三行〔42〕。次以第三行去右行及第二行、第四行下位〔43〕。又以减左行下位，不足减乃止〔44〕。次以左行减第三行下位〔45〕。次以第三行去左行下位。讫，废去第三行〔46〕。次以第四行去左行下位，又以减右行下位〔47〕。次以右行去第二行及第四行下位〔48〕。次以第二行减第四行及左行头位〔49〕。次以第四行减左行菽位，不足减乃止〔50〕。次以左行减第二行头位，余，可再半〔51〕。次以第四行去左行及第二行头位〔52〕。次以第二行去左行头位。余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅三〔53〕。次以左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止〔54〕。次以右行减第二行头位，不足减乃止〔55〕。次以第二行去右行头位〔56〕。次以左行去右行头位。余，上得六，下得五。是为荅六当黍五〔57〕。次以左行去右行荅位。余，约之，上为二，下为一〔58〕。次以右行去第二行下位〔59〕，以第二行去第四行下位，又以减左行下位〔60〕。次，左行去第二行下位。余，上得三，下得四。是为麦三当菽四〔61〕。次以第二行减第四行下位。次以第四行去第二行下位。余，上得四，下得七，是为麻四当麦七〔62〕。是为相当之率举矣〔63〕。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四〔64〕；又麦三当菽四，即为麦价率四而菽价率三〔65〕；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五〔66〕；又荅六当黍五，即为荅价率五而黍价率六〔67〕；而率通矣〔68〕。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗、菽四斗正，荅三斗负，下实四正〔69〕。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数，如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为麻〔70〕，以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实，而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣。以法除得七，即麻一斗之价〔71〕。置麦率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法，所得即各为价〔72〕。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得〔73〕，并，以为法〔74〕。如此，即无正负之异矣〔75〕，择异同而已〔76〕。 又可以一术为之〔77〕：置五行通率，为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六以为列衰〔78〕。成行麻一斗、菽四斗正，荅三斗负〔79〕，各以其率乘之，讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所得各为实〔80〕。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价〔81〕。如此则凡用一百二十四算也〔82〕。
【注释】
〔1〕设1斗麻、麦、菽、荅、黍的实分别是x，y，z，u，v，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
9x+7y+3z+2u+5v=140
7x+6y+4z+5u+3v=128
3x+5y+7z+6u+4v=116
2x+5y+3z+9u+4v=112
x+3y+2z+8u+5v=95。
〔2〕重衰：指均输章用连锁比例求解的各个问题的方法。 积分：指少广章开方及开立方问题。
〔3〕暗于设通：不通晓全面而通达。暗，不通晓，不明白，不了解。
〔4〕约（yào）：要领，关键。《孟子·公孙丑上》：“然而孟施舍守约也。”焦循正义曰：“约之训为要，于众道之中得其大，是得其要也。”
〔5〕庖（páo）丁解牛：是《庄子·养生主》中的一则寓言，云“庖丁为文惠君解牛，手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀然，莫不中音”。文惠君曰：“善哉！技盖至此乎？”庖丁对曰：“臣之所好者，道也，进乎技矣。……方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。……今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚。以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣，是以十九年而刀刃若新发于硎。”庖，厨房。又作厨师，如越俎代庖。
〔6〕不尽：不能穷尽。尽，完，竭。
〔7〕胶柱调瑟：如果用胶黏住瑟的弦柱，就无法调节音调，以比喻拘泥不知变通。又作“胶柱鼓瑟”。瑟，古代的拨弦乐器，如图8-6，春秋时已流行。形似古琴，但无徽位，通常25弦，每弦一柱，鼓瑟者转动弦柱，以调节乐音。
图8-6 瑟
（采自明王圻《三才图会》）
〔8〕聊复恢演，为作新术：姑且展开演算，为之创造新的方法。聊，姑且，暂且，勉强。《诗经·桧风·素冠》：“我心伤悲兮，聊与子同归兮。”郑玄笺：“聊，犹且也。”复，助词。聊复，姑且。南朝刘义庆《世说新语》有“未能免俗，聊复尔耳”之语，在刘徽之后矣。恢，张布，展开。不过李籍云：恢，“大也”。演，演算。不过李籍云：演，“广也”。刘徽提出的方程新术包括两种程序，一种是以今有术求解，即方程新术本术。一种以衰分术求解。
〔9〕网罗：搜罗。 道精：道理的精髓。
〔10〕每举一隅：举一反三。此实际上是方程新术的序，阐发了刘徽关于数学方法的精辟见解。
〔11〕其求一行二物正、负相借者，是其相当之率：由此求出一行中两种物品以正、负表示的互相借取的数，就是它们的相当之率。其，训“以”。相当之率，与相与之率相反的率关系。对易相当之率的两数，就变成相与之率。比如某行消成
bx-ay=0 a＞0，b＞0
那么b，a分别是x，y的相当之率，则
x:y=a:b
a，b就是x，y的相与之率。各行的相与之率，通过通而同之，就求出了所有未知数的相与之率。
〔12〕各当之率：即相与之率。自“令左右行相减”至此，是方程新术的第一步，即求诸未知数的相与之率。其方法就是将方程的每一行都消去下实，再消去某些未知数，使每一行只剩两个未知数，所谓“一行二物正、负相借者”，得出诸未知数的相当之率。根据相当之率，对易其数，成为相与之率。
〔13〕更置成行及其下实：重新布置所确定的一行及其下方的实。成，训“定”。成行，指所确定的一行。
〔14〕以下置为实：以下方所布置的数作为实。
〔15〕这是方程新术的第二步：求一个未知数的值。选定成行，即上述确定的一行，利用诸未知数的相与之率，借助今有术，将各未知数化成同一个未知数。各项系数相加，作为法。以成行之下实作为实。实除以法，即得该未知数之值。设诸未知数为x1，x2，…，xn，已求出诸未知数的相与之率
x1:x2:…:xn=m1:m2:…:mn，
成行为
a1x1+a2x2+…+anxn=A。
若先求xj，则由今有术，，i=1，2，…，n，i≠j。由此，成行化为
或
于是A作为实，作为法，则
成行是相消过程中确定的一行，亦可使用相消前方程的任意一行。当然，使用成行会简单一点。
〔16〕这是方程新术的第三步，即求其他未知数的值，i=1，2，…，n，i≠j。
〔17〕率不通者，齐之：第一步所求出的诸未知数的两两相与之率不一定互相通达，便使用齐同术，使诸率悉通。
〔18〕其一术：是方程新术的另一种方法。即在求出诸未知数的相与之率后，以其为列衰，用衰分术求解。
〔19〕通率：诸未知数的相与之率。通率在应用衰分术时作为列衰。
〔20〕刘徽的其一术是：在成行中，以诸未知数之率乘各自的系数，相加，得，作为法。以未知数之率乘下实，得Amj，j=1，2，…，n，作为实。则
〔21〕旧术：这里的“旧术”不是《九章算术》的方程术，而是刘徽将直除法进行到底的那种方法。参见方程术刘徽注。
〔22〕行、列仍按古代的意义，而以阿拉伯数字记算筹数字，则此5行方程如图8-7（1）。此为1算。
图8-7
〔23〕先置第三行，减以第四行：以第4行减第3行。
〔24〕又减第五行：又去减第5行。由于位值制，这里是以第3行减去第4行后新的第3行去减第5行，第5行头位变为0，其方程如图8-7（2）。此共3算。
〔25〕次置第二行，以第二行减第一行：再布置第2行，以第2行减第1行。
〔26〕又减第四行：这里仍然是以第2行减第1行之后新的第1行减第4行。
〔27〕去其头位；余，可半：消去第4行的头位；剩余的整行，可以被2整除，便除以2。如图8-7（3）。以上共4算。
〔28〕次置右行及第二行，去其头位：此谓布置右行及第2行，分别以第3行二度减、七度减，其头位均变为0，如图8-7（4）。此共11算。
〔29〕次以右行去第四行头位：此谓布置第4行，以右行二度减第4行，第4行头位变为0（头位均就有效数字而言），如图8-7（5）。此共3算。
〔30〕次以左行去第二行头位：此谓布置第2行，以左行二度减第2行，第2行头位变为0，如图8-7（6）。此共3算。
〔31〕次以第五行去第一行头位：此谓布置第1行，以第5行头位3遍乘第1行，减去第5行，第1行头位变为0，如图8-7（7）所示。此共3算。
〔32〕次以第二行去第四行头位；余，可半：此谓布置第4行，将第2行加于第4行，并整行除以2。第4行头位变为0。如图8-7（8）。此共3算。
〔33〕以右行去第二行头位：此谓布置第2行，以右行头位25遍乘第2行，二十度减右行，第2行头位变为0。如图8-7（9）所示。此共21算。
〔34〕以第二行去第四行头位：此谓布置第4行，以第2行头位遍乘第4行，二度减第2行，则第4行头位变为0。第4行仅有黍的系数及下实。如图8-7（10）。此共4算。
〔35〕此谓以等数62约间第4行，作为法、实。实除以法，得1斗黍为6钱。此共2算。
〔36〕将黍价1斗6钱代入第2行，减实，约简，得1斗荅为5钱。此共3算。
〔37〕这里将黍、荅价代入右行，从实中减去，约简，得1斗菽为3钱。此共5算。
〔38〕这里将黍、荅、菽价代入左行，从实中减去，约简，得1斗麦为4钱。此共7算。
〔39〕将菽、荅价代入第3行，从实中减去，得1斗麻为7钱。此共4算。
〔40〕一算即一次运算，如布算，以某数乘或除某一整行，行与行的一度减，实除以法，等等，都是一次运算。以上共77次运算。
〔41〕这是刘徽用方程新术解麻麦问的细草。
〔42〕在图8-7（1）中，使第4行减第3行，其结果如图8-8（1）所示。
图8-8
〔43〕以第3行减右行、第2行、第4行，直到它们的下位（实）变为0，如图8-8（2）所示。
〔44〕又以第3行减左行，以消减左行下位（实），直到不足减为止，其方程如图8-8（3）所示。
〔45〕以左行减第3行，以消减其下位，如图8-8（4）所示。
〔46〕以第3行减左行，直到其下位变为0。然后废去第3行，其余四行的下位变为0，如图8-8（5）所示。以下的程序是消去物位。
〔47〕以第4行（仍是原来的序号）减左行，直到其下位变为0；又以第4行减右行，消减其下位；如图8-8（6）。
〔48〕以右行减第2行、第4行，直到其下位变为0，如图8-8（7）。
〔49〕以第2行减第4行、左行，以消减其头位，如图8-8（8）。
〔50〕以第4行减左行，以消减其菽位（第3位），直到不足减为止，如图8-8（9）所示。
〔51〕以左行加第2行，以消减其头位（绝对值）。剩余的第2行整行，除以4。如图8-8（10）所示。
〔52〕以第4行加左行，减第2行，直到其头位变为0，如图8-8（11）。
〔53〕以第2行加左行，直到其头位变为0。左行之剩余，上为-310，下为186，以等数62约简，上为-5，下为3。这表示菽5相当于荅3。如图8-8（12）所示。
〔54〕以左行减第2行，直到其菽位变为0。又以左行加第4行，减右行，直到菽位不足减为止，如图8-8（13）所示。
〔55〕以右行减第2行，直到头位不足减为止，如图8-8（14）所示。
〔56〕以第2行减右行，直到头位变为0，如图8-8（15）所示。
〔57〕以左行减右行，直到头位变为0。上为-6，下为5。这表示荅6相当于黍5，如图8-8（16）所示。
〔58〕以左行加右行，直到荅位变为0。右行上为-10，下为5，以等数5约简，上为-2，下为1，如图8-8（17）所示。
〔59〕以右行加第2行，直到其下位变为0，如图8-8（18）所示。
〔60〕以第2行加第4行，其下位变为0。又以第2行加左行，消减其下位，如图8-8（19）所示。
〔61〕以左行加第2行，直到其下位变为0。上得-3，下得4。这表示麦3相当于菽4，如图8-8（20）所示。
〔62〕以第2行减第4行，消减其下位。以第4行减第2行，直到其下位变为0。第2行上为4，下为-7。这表示麻4相当于麦7。如图8-8（21）所示。
〔63〕诸物的相当之率：麻4相当于麦7，麦3相当于菽4，菽5相当于荅3，荅6相当于黍5。
〔64〕此由麻4相当于麦7得出：麻:麦=7:4。
〔65〕此由麦3相当于菽4得出：麦:菽=4:3。
〔66〕此由菽5相当于荅3得出：菽:荅=3:5。
〔67〕此由荅6相当于黍5得出：荅:黍=5:6。
〔68〕由于麻与麦，麦与菽，菽与荅，荅与黍的四组率中，麦、菽、荅的率已分别相等，故不必再进行齐同，直接得出
麻:麦:菽:荅:黍=7:4:3:5:6，
或
x:y:z:u:v=7:4:3:5:6。
〔69〕此谓重新布置第3行，以第4行减第3行，得到图8-7（11）中的第3行，它相当于
x+4z-3u=4。
〔70〕欲先求1斗麻（x）之价，需根据菽（z）、荅（u）与麻的相与之率，求菽、荅同为麻之数，即将z，u化为x，得
〔71〕由上条注释得到
所以1斗麻之价x=7。
〔72〕这是说根据已得到的麻价，利用已求出的麻、麦、菽、荅、黍各价的相与率，援引今有术，求出麦、菽、荅、黍诸价
〔73〕此谓也可以布置本来的行，将诸物与实同而通之，求其本率所对应的结果。这里“本行”不是用两行对减所得到的行，而是指原方程的任一行，比如左行，它相当于
x+3y+2z+8u+5v=95。
由诸未知数的相与之率，利用今有术，将其化成同一未知数，比如x，则
〔74〕于是
以作为法，求出x，即麻价7。
〔75〕无正负之异：没有正负数的加减问题。
〔76〕择异同而已：只是选择所同于的谷物罢了。
〔77〕此是以上述“其一术”解麻麦问的细草，它归结到衰分术。
〔78〕以麻、麦、菽、荅、黍的相与之率作为列衰。即
m1:m2:m3:m4:m5=7:4:3:5:6。
〔79〕这里以第4行减第3行，得到图8-7（11）中的第3行为成行，它相当于
x+4z-3u=4。
〔80〕这里法为；诸未知数的实为
麻的实Am1=4×7，
麦的实Am2=4×4，
菽的实Am3=4×3，
荅的实Am4=4×5，
麻的实Am5=4×6。
〔81〕各以列衰为价：分别以列衰作为价格。此术用衰分术求解。一般情况下，以下实乘列衰各为实，成行中的系数分别以列衰乘之，并为法，实如法，各得所求。然此问恰巧“下实”与“法”相等，可以约法，故不必以下实乘列衰，径以列衰作为所求数即可。
〔82〕刘徽认为，以方程新术计算，需124算，比使用方程旧术的77算多。刘徽提出方程新术的意图在于说明同一类数学问题，可以用不同的方法解决。
【译文】
假设有9斗麻、7斗小麦、3斗菽、2斗荅、5斗黍，值140钱；7斗麻、6斗小麦、4斗菽、5斗荅、3斗黍，值128钱；3斗麻、5斗小麦、7斗菽、6斗荅、4斗黍，值116钱；2斗麻、5斗小麦、3斗菽、9斗荅、4斗黍，值112钱；1斗麻、3斗小麦、2斗菽、8斗荅、5斗黍，值95钱。问：1斗麻、小麦、菽、荅、黍各值多少钱？
答：
1斗麻值7钱，
1斗小麦值4钱，
1斗菽值3钱，
1斗荅值5钱，
1斗黍值6钱。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。此麻麦问与均输章的重衰、少广章的积分等都是重要问题。那些对数理的精髓认识肤浅，只知道按本来方法做的人，有时为了布置算数而铺下毡毯，正是喜好烦琐而导致错误，竟然不知道这样做不好，反而想以布算多为贵。所以他们都不通晓全面而通达的知识而拘泥于一孔之见。至于此类做法，即使努力使其成功，然而有时会产生失误，不能说是抓住了关键。更有一种新异的方法，就像是庖丁解牛，使刀刃在牛的肌理间游动，所以能历经很久其刀刃却像新的一样。数学方法，就好像是刀刃，遵从易简的原则使用之，就常常正合于庖丁解牛的道理。所以只要能和谐精神，爱护刀刃，就会做得迅速而错误极少。凡是《九章算术》中成为大的问题，按方法都不足100步计算。虽然布算不多，然足以计算很复杂的问题。世间的人大都把方程术看得很难，或者认为布算之象只不过在点缀正负数而已，没有花时间讨论它们的无穷变换。这是胶柱调瑟那样的事情。我姑且展示演算，为之创作新术，撰著于此，只不过是想启发开导疑惑之处。搜罗数理的精髓，岂能只说空话？我记述其施用的例子，运算的方法，在这里只举其一隅而已。
方程新术：将正负术纳入之。使左、右相减，先消去下方的实，又转而消去某些位置上的物品，则由此求出某一行中二种物品以正、负表示的互相借取的数，就是它们的相当之率。又使此二种物品的系数与其他行互相去取，转而求出那些行的二种物品的互相借取之数，则全都是相当之率。分别根据二种物品的相当之率，对易其数，那么就是它们分别对应的率。重新布置那确定的一行及其下方的实，分别以各种物品的本率应用今有术，求出各物同为某物的数，相加，作为法。如果其中应当相加而行中正负数相混杂的，那么同一符号的就相加，不同符号的就相消，余数作为法。以下方布置的数作为实。实除以法，便应该是所问的那种物品的数量。每一种物品各以其本率应用今有术，便都应该是所问的物品的数量。其中如果有互相不通达的率，就使它们相齐。
其一术曰：布置所有物品的通率，作为列衰。重新布置那确定的一行各个物品之数，各以其率乘之，相加，作为法。如果其中有应当相加而行中正负数相混杂的，那么同一符号的就相加，不同符号的就相消，余数作为法。以确定的这行下方的实乘列衰，各自作为实。实除以法，即得到答案。
用旧的方程术求解之，共应该布置五行。现在想抓住问题的关键，并使之简约。先布置第三行，减去第四行，又减第五行；再布置第二行，以第二行减第一行，又减第四行，消去它的头位；剩余的整行，可以被2整除；再布置右行及第二行，消去它们的头位；再以右行消去第四行的头位；再以左行消去第二行的头位；再以第五行去第一行的头位；再以第二行消去第四行的头位；剩余的整行，可以被2整除；以右行消去第二行的头位；以第二行消去第四行的头位。剩余的整行，约简，作为法、实，实除以法，得6，就是1斗黍的价钱。分别以法处理，第二行得到1斗荅的价钱，右行得到1斗菽的价钱，左行得到1斗麦的价钱，第三行得到1斗麻的价钱。这样做，共用了77步运算。
以方程新术解决这个问题：先以第四行减第三行。再以第三行消去右行及第二行、第四行的下位。又以第三行消减左行，直到其下位不足减才停止。再以左行减第三行，消减其下位。再以第三行消去左行的下位。完了，废去第三行。再以第四行消去左行的下位，又以第四行减右行，消减其下位。再以右行消去第二行及第四行的下位。再以第二行减第四行及左行，消减它们的头位。再以第四行减左行，直到其菽位不足减才停止。再以左行减第二行，消减其头位，其剩余的行，可以两次被2整除。再以第四行加左行，减第二行，消去它们的头位。再以第二行加左行，消去其头位。余数，约简之，上方得到5，下方得到3，这就是菽5相当于荅3。再以左行减第二行，消去其菽位，又以左行加第四行，减右行，消减其菽位，直到不足减才停止。再以右行减第二行，直到其头位不足减才停止。再以第二行消去右行的头位。再以左行消去右行的头位。余数，上方得到6，下方得到5。这就是荅6相当于黍5。再以左行加右行，消去其荅位。余数，约简之，上方为2，下方为1。再以右行加第二行，消去其下位，再第二行加第四行，消去其下位，又以第二行加左行，消减其下位。再以左行加第二行，消去其下位。余数，上方得到3，下方得到4。这就是麦3相当于菽4。再以第二行减第四行，消减其下位。再以第四行减第二行，消去其下位。余数，上方得到4，下方得到7。这就是麻4相当于麦7。这样，各种谷物的相当之率都列举出来了。根据麻4相当于麦7，就是麻价率是7而麦价率是4；又根据麦3相当于菽4，就是麦价率是4而菽价率是3；又根据菽5相当于荅3，就是菽价率是3而荅价率是5；又根据荅6相当于黍5，就是荅价率是5而黍价率是6；因而诸率都互相通达了。重新布置第三行，以第四行减之，余有1斗麻、4斗菽，都是正的，3斗荅，是负的，下方的实4，是正的。求出它们同为麻的数，就以菽率3、荅率5各乘菽、荅的斗数，除以麻率7，得到菽为斗，是正的，得到荅为斗，是负的。那么菽、荅都化成了麻，将它们相加，使同一符号的相加，不同符号的相消，那么确定麻的余数是斗，作为法。布置4作为实，而以分母乘之，得到实为28，而分子化为法。以法除，得到7，就是1斗麻的价钱。布置麦率4、菽率3、荅率5、黍率6，皆以1斗麻的价钱乘之，各自作为实。以麻率7作为法，实除以法，所得就是各种谷物的价钱。也可以布置原来某一行的实与诸谷物的斗数，将它们同而通之，分别以其本率，应用今有术，求其本率所相应的某谷物的数，相加，作为法。这样做，就没有正负数的差异了，只是选择它们所同于的谷物罢了。 又可以用另一术求解它：布置五行的通率，就是麻7、麦4、菽3、荅5、黍6，作为列衰。取确定的一行：1斗麻、4斗菽，是正的，3斗荅，是负的，分别以它们各自的率乘之。完了，使它们符号相同的就相加，符号不同的就相消，余数作为法。又布置下方的实乘列衰，所得分别作为实。而在这一问题中，下方布置的实可以与法互约，则不再乘列衰，分别以列衰作为1斗的价钱。这样做，共用了124步运算。