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欽定四庫全書
九章録要卷一
松江屠文漪撰
乗除諸法
九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先講也具詳於左
并乗并除 算以速見巧乗或屢乗除或屢除不若一乗一除之捷也假如有數須用一十五乗復一十八乗者直以二百七十乗之〈先以十五與十八相乗〉餘可意推其在除法尤以并為便葢使分除而前除不盡以後必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除適盡則後除雖有零餘亦當無幾特便於命分而并除者餘實反多然約之亦正相同耳
分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有時宜用分者不可以一律拘假如有數須二百四十五乗〈凡為四十九者五〉則先以五乗之復以七乗之又以七乗之既無易誤之患而算較?也其在除法則須審量何也恐前除不盡而後仍用零除也葢以法除實或不能盡者非必如三六七九等除雖破實之一為十為百與千〈如實米一石破為十斗為百升為千合之類是也〉而終不盡也即如二四五八等除但破實之一為十與百千自無不盡而若不破實則仍不盡矣前除既破實以至於盡後除勢不中止此於命分反逺特求分釐數者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分釐數既得分釐數而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取?豈須借徑此其宜審者也更恐前除破實且不盡則雖求分釐數亦未能精細故所分之除法孰先孰後〈大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末〉又不可不審總之運算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有銀四百五十兩用一百六十八除若并除得二兩又一百六十八分兩之一百一十四即不復破實細除但約之為二十八分兩之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除〈以原數四百五十故先用三除若係三百五十便當先用七除次八次三也〉得二兩六錢七分八釐五毫七絲又七分絲之一〈尚可再除而數微已甚矣〉倘欲以兩命分則惟二兩整數已定外餘須以原法乗之乃得一百一十四之數仍再約之反不?也〈右一條新增〉
乗除相減歸一法 數須乗除並用而可用乗省除或用除省乗則歸一尤為至便如數須一十八乗復三除者直以六乗之須四乗復十二除者直以三除之其法乗數多則從乗除數多則從除而必先取乗除兩數以少除多除之可盡即用除得之數不可盡者不能歸一也省乗用除倘有零餘則約分簡易更非原數乗除之比〈右一條新訂〉
兩數一半一倍乗法 置兩數欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得數同如一數五百二十五一數三十二倍上數為一千零五十半下數為一十六乗之視以原數相乗者?矣此特宜於數之少者葢直可以臆計而不煩布算也〈右一條新增〉
倍除法 置兩數欲以法除實者若倍其法除之所得數亦倍之即應得之數如有數須四十五除則用九十除須一百三十五除則用二百七十除亦倍所得數?於以原法除也遇零分欲求分釐數者依此除之若欲命分則仍其子還用原母〈即原法也〉以命之或須約者更約之滿原母者歸整為一數俱不用倍〈右一條新增〉
乗除通用法 二乗與五除同二除與五乗同〈置銀十兩以二乗之得二十兩以五除之得二兩其差十倍然而可通用者其乗除俱得二數則同耳〉 四乗與二五除同四除與二五乗同〈其差百倍〉 八乗與一二五除同八除與一二五乗同〈其差千倍〉
以加減代乗法 假如有數須八乗者即於實下一位減二若實數係五二五當減一十則於實之本位減一也有數須一零五乗者即於實下第二位加五若實數係二二五當加一十則於實下一位加一也加減俱從小數始
三率準測乗除法 數有已知者因以測所未知則列前三率求後一率先定三率之位第一率與第三率相準第二率與未知之第四率相準如穀準穀錢準錢之類乃以二率三率相乗為實以一率為法除之得四率為所求數舊名異乗同除〈左例原銀與原米是為同今銀與原米是為異〉
假如原有銀三十六兩糴米四十八石今銀六十三兩問米幾何
一率 原銀三十六兩
二率 原米四十八石
三率 今銀六十三兩
四率 八十四石為今米數
右法若先以一率除二率得數乃以乗三率或先以一率除三率得數乃以乗二率所得四率皆同但除之不盡必用零乗之法則不若從前先乗後除為?〈凡數須乗除並用者每以乗居先倣此〉
右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
三率化多為寡乗除法 别求一通數可以除盡率中之兩數者〈其一必係第一率其一或第二率或第三率〉即以通數除率數所得數列本率下以代率數乗除如前無通數者則否
一率 三十六 三〈此以十二為通數〉
二率 四十八 四
三率 六十三
四率 八十四
又式
一率 三十六 四〈此以九為通數〉
二率 四十八
三率 六十三 七
四率 八十四
三率易位乗除法 前法以原銀原米相連置一二率而今銀置三率葢以二率視四率猶以一率視三率三率視四率亦猶一率視二率其數可例推也若如左例原珠數多其價數反少今珠數少其價數反多必以一率與三率互換其位而後三率之視四率亦猶一率之視二率矣乗除如前得所求數舊名同乗異除〈若如前置率則當以一率二率相乗以三率除之〉 假如原有小珠五十顆今有珠稍大三十顆其總重適等原珠共價銀一十二兩問今價幾何
一率 今珠三十顆 三〈以十為通數〉
二率 原價十二兩
三率原珠五十顆 五
四率 二十兩為今價
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