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得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也〔70〕。圆率犹为微少〔71〕。按：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半〔72〕。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也〔73〕。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也〔74〕。 晋武库中汉时王莽作铜斛〔75〕，其铭曰：律嘉量斛〔76〕，内方尺而圆其外〔77〕，庣旁九厘五毫〔78〕，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗〔79〕。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇〔80〕，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五〔81〕。以一百九十二觚之幂以率消息〔82〕，当取此分寸之三十六〔83〕，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四〔84〕。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也〔85〕。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也〔86〕。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率〔87〕。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂〔88〕，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳〔89〕。 臣淳风等谨按：旧术求圆，皆以周三径一为率〔90〕。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹以难晓〔91〕，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣〔92〕。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲略而言之。刘徽将以为疏，遂乃改张其率〔93〕。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法〔94〕，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数〔95〕。今者修撰，攈摭诸家〔96〕，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉〔97〕。
【注释】
〔1〕圆田：即圆，如图1-5。
图1-5 圆
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕由此问及下问知当时取“周三径一”之率，即π=3。后来的数学著作常将此率称为“古率”。
〔3〕密率：精密之率。密率是个相对概念。此处李淳风等将圆周率近似值称作密率，元明以前的数学著作皆如此。盖比3精确，也比徽率精确。而在《隋书·律历志》中祖冲之则将他求出的圆周率近似值称作密率，而将称作约率。
〔4〕徽术：又称作“徽率”，即下文刘徽所求出的圆周率近似值。
〔5〕此即圆面积公式
其中S，L，r分别是圆的面积、周长和半径。
〔6〕半周为从，半径为广，故广从相乘为积步：这是刘徽记载的前人对《九章算术》圆面积公式的推证。它是以圆内接正六边形的周长代替圆周长，以圆内接正十二边形的面积代替圆面积，推证方法大体是：如图1-6，将圆内接正十二边形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11凡16部分，使Ⅰ，1不动，而将Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及2，3，4，5，6，7，8，9，10，11移到Ⅱ′，Ⅲ′，Ⅳ′，Ⅴ′及2′，3′，4′，5′，6′，7′，8′，9′，10′，11′处，形成一个以圆半径为广，正六边形周长的一半为纵的长方形。再由方田术，就得到《九章算术》的圆面积公式。
图1-6 《九章算术》时代圆面积之推导
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔7〕六觚：本是正六角形，今称正六边形。同样，n觚本是正n角形，今称正n边形。下面的注释与今译一般不再使用正n角形，而径直使用正n边形。觚，多棱角的器物。《史记·酷吏列传》：“破觚而为圆。” 面：边。
〔8〕合径率一而弧周率三：刘徽指出，以上的推证是以周三径一为前提的，实际上是以圆内接正六边形的周长代替圆周长，以圆内接正十二边形的面积代替圆面积，因而并没有真正证明《九章算术》的圆面积公式（1-8-1）。
〔9〕此段为刘徽用极限思想和无穷小分割方法对《九章算术》圆面积公式（1-8-1）的证明。为图：作图。
〔10〕一弧半径：即圆半径。
〔11〕因而三之：南宋本、《大典》本讹作“二因而六之”，汇校本及其增补版依戴震辑录校勘本改作“三之”，本书初版从。今依《九章算术新校》校正。
〔12〕十二觚之幂：即圆内接正12边形之面积。设正6边形一边长为l0，正12边形面积为S1，则S1=3l0r。24觚之幂亦可类似求得，即S2=6l1r。其中S2，l1分别是圆内接正24边形的面积及正12边形的一边长。
〔13〕一弧之半径：即圆半径。
〔14〕因而六之：南宋本、《大典》本讹作“四因而六之”，汇校本及其增补版依戴震辑录校勘本改作“六之”，本书初版从。今依《九章算术新校》删“四”字。
〔15〕割之弥细：这里指将圆内接正6边形割成正24，48，96……边形，那么割的次数越多，则它们的边长就越细小。弥细，益加细微。弥，本义是弓张满。引申为满，遍。《周礼·春官·大竹》：“国有大故天烖，弥祀社稷祷祠。”郑玄注：“弥，犹遍也。”《史记·司马相如列传》：“离宫别馆，弥山跨谷。”张守节正义：“弥，满也。”又引申为表示程度加深的副词。《论语·子罕》：“仰之弥高，钻之弥坚。”邢昺疏：“弥，益也。”
〔16〕所失弥少：此谓如果把圆内接正多边形的面积当作圆面积，则圆面积的损失越来越少。换言之，设第n次分割得到正6·2n边形的面积为Sn，显然Sn＜S，但S-Sn越来越小。失，损失。这里指圆面积的损失。弥少，益加少。
〔17〕不可割：不可再割。这里指无限分割下去，会达到对圆内接多边形不可再分割的境地。当然只有圆内接多边形的边都变成点，才会不可再割。《墨经·经下》：“非半弗则不动，说在端。”《经说下》：“半，进前取也。前，则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。必半；毋与非半，不可也。”显然刘徽的割圆会达到“不可割”的境地，与《墨经》的无限分割会达到“不可”的端的思想是一脉相承的。（zhuó），破，析，可以理解为分割。
〔18〕合体：合为一体，重合。此谓无限分割下去，割到不可再分割的境地，则圆内接正无穷多边形就与圆周完全重合。 无所失：没有损失。与圆周合体而无所失，此谓此时将圆内接正多边形的面积作为圆面积，则圆面积就不再有损失。换言之，当n→∞时，则。如图1-7（1）所示。
图1-7 刘徽对圆面积公式的证明
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔19〕余径：半径剩余的部分，即圆半径与圆内接正多边形的边心距之差。
〔20〕幂出弧表：面积超出了圆周。弧表，即圆周。将余径乘正多边形的每边之积加到正多边形的面积上，则大于圆面积，即Sn+6×2nlnrn=Sn+2（Sn+1-Sn）＞S，其中rn是圆内接正n边形的余径。如图1-7（2）。
〔21〕“若夫觚之细者”三句：至于觚间的距离非常细微，圆内接正多边形与圆周合体的时候，则不再有余径。亦即n→∞时，有。若夫，至于。《周易·系辞下》：“若夫杂物撰德，辩是与非，则非其中爻不备。”
〔22〕表无余径，则幂不外出矣：刘徽认为，当不再有余径时，则余径乘正多边形的每边之积与正多边形的面积之和不再大于圆面积。亦即时，有
〔23〕以一面乘半径，觚而裁之：此谓以正多边形的一边乘圆半径，当然这得将与圆周合体的正多边形从每个角将其裁开。刘徽考虑与圆周合体的正无穷多边形，将它分割成以圆心为顶点，以每边为底的无穷多个小等腰三角形。“觚而裁之”四字，本书初版误植于“以一面乘半径”之前，今依《九章算术新校》恢复原序。盖“觚而裁之”是刘徽自注“以一面乘半径”。
〔24〕每辄自倍：由于每个小等腰三角形的高就是圆半径，显然以正多边形的一边乘圆半径，总是每个小等腰三角形面积的2倍。设每个小等腰三角形的底边长为li，其面积为Ai，则lir=2Ai。如图1-7（3）所示。辄，总是。《史记·李斯列传》：“二世拜赵高为中丞相，事无大小辄决于高。”自倍，自身的2倍。
〔25〕故以半周乘半径而为圆幂：所以以圆周长的乘半径就得到圆面积。盖所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长，它们的面积之和为圆面积。因此，。由此式反求出S，就得到（181）式，即。这是一个使用极限思想和无穷小分割方法对《九章算术》圆面积公式的完整证明。可是在20世纪70年代末以前，所有涉及刘徽割圆术的著述都有意无意地忽略了刘徽“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”这几句画龙点睛之语————甚至一篇逐字逐句翻译刘徽割圆术的文章对这几句话竟略而不译，因此都没有认识到刘徽在证明《九章算术》的圆面积公式（1-8-1）。而证明《九章算术》的圆面积公式，是刘徽割圆术的主旨所在。同时，所有著述都将刘徽此注中的几个极限过程说成是为了求圆周率。实际上，下面将看到，求圆周率用不到极限过程和无穷小分割，只是极限思想在近似计算中的应用。并且，由于没有认清刘徽割圆术的主旨，20世纪70年代末以前所有关于刘徽求圆周率程序的论述都背离了刘徽注。
〔26〕至然之数：非常精确的数值。
〔27〕六觚之环：圆内接正六边形的周长。
〔28〕觉（jiào）：“较”之通假字。《孟子·离娄下》赵岐注：“如此贤不肖相觉，何能分寸？”较（jiào），比较，较量。《老子·第二章》：“长短相较，高下相顷。”
〔29〕乃弓之与弦也：此谓圆内接正六边形与圆的关系，就是弓与弦的关系。
〔30〕踵古：追随古人。踵，本义是脚后跟，引申为追，追逐，追随。《左传·昭公二十四年》：“吴踵楚，而疆埸无备，邑能无亡乎？”
〔31〕习：沿袭。“习”的本义是鸟类频频试飞。《说文解字》：“习，数飞也。”引申为学习、习惯，沿袭，重复。《书经·大禹谟》：“龟筮协从，卜不习吉。”孔传：“习，因耶。” 谬失：错误。谬，荒谬，谬误，差错。《说文解字》：“谬，狂者之妄言也。”《汉书·司马迁传》：“故《易》曰：‘差以豪厘，谬以千里。’”失，错误，过失。《汉书·路温舒传》：“臣闻秦有十失，其一尚存，治狱之吏是也。”
〔32〕“方圆之率”三句：此谓在近处求出方率与圆率，在远处也是可以知道的。其意思是，方率与圆率是常数，在任何地方都是一样的。
〔33〕昧：冥，昏暗，不清楚。 譬：明白，通晓。《后汉书·鲍永传论》：“若乃言之者虽诚，而闻之者未譬。”但此例句已在刘徽之后。
〔34〕检括：法则，法度。晋刘越石《答卢逊诗并书》：“昔在少年，未尝检括。”此例句亦在刘徽之后。
〔35〕其记注就是刘徽在中国首创的求圆周率的程序。
〔36〕这是考虑由圆内接正六边形的边长的一半AC作为勾，边心距OC作为股，圆半径OA作为弦的勾股形OAC。已知弦、勾，求股。如图1-8。
图1-8 刘徽求圆周率
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔37〕句幂：是以勾为边长的正方形的面积。该正方形称为勾方。 弦幂：是以弦为边长的正方形的面积。该正方形称为弦方。下“股幂”、“股方”同。见卷九勾股术注释。
〔38〕秒、忽：都是长度单位。李籍云：“忽者，数之始也。一蚕所吐谓之忽。”又引《孙子算术》曰：“蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分。”即1分=10厘，1厘=10毫，1毫=10秒，1秒=10忽。李籍所引与《隋书·律历志》所引《孙子算经》的文字相同，而与南宋本、《大典》本不同。
〔39〕微数：微小的数。求微数是刘徽创造的以十进分数逼近无理根的近似值方法，见卷四开方术注释。
〔40〕知：训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔41〕考虑以圆内接正6边形一边长之半AC为勾，边心距OC为股，圆半径OA为弦的勾股形OAC，那么忽。
〔42〕考虑以圆内接正6边形的余径CA1为勾，其边长之半AC为股，正12边形一边长AA1为弦的勾股形A1AC，余径。
〔43〕亿：万万曰亿。李籍云：“十万曰亿。万者，物数也。以人之意数为足以胜物数故也。或曰：万万曰亿。黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，谓亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载也。三等者，谓上、中、下之数也。下数者，十十变之。若言：十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京。中数者，万万变之。若言：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变。若言：万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京。《诗》云：‘不稼不穑，胡取禾三百亿兮？’毛氏曰：‘万万曰亿。’郑氏曰：‘十万曰亿。’据如此言，则郑用下数，毛用中数也。”数有十等之说，李籍引自东汉末徐岳《数术记遗》。北周甄鸾《数术记遗注》引用《诗经》及其毛、郑注释三等数。
〔44〕余分弃之：舍去分数部分。此谓
〔45〕那么弦
就是圆内接正12边形的一边长l1。
〔46〕考虑以圆内接正12边形一边长之半AC1为勾，边心距OC1为股，圆半径OA为弦的勾股形OAC1。
〔47〕
〔48〕那么勾股形OAC1的股即正12边形的边心距
〔49〕考虑以圆内接正12边形的余径C1A2为勾，其边长AA1之半AC1为股，正24边形一边长A2A为弦的勾股形A2AC1，余径即勾
求其弦A2A。
〔50〕那么弦幂为
弃去余分，则弦幂
A2A2=68 148 349 466忽2。
〔51〕开方除之，得
就是圆内接正24边形的一边长l2。
〔52〕考虑以圆内接正24边形一边长之半AC2为勾，边心距OC2为股，圆半径OA为弦的勾股形OAC2。
〔53〕勾AC2之幂。弃去余分，得。
〔54〕则股即正24边形的边心距
〔55〕勾即余径C2A3=OA3-OC2=10寸-忽=忽。
〔56〕考虑以圆内接正24边形的余径C2A3为勾，其边长AA2之半AC2为股，正48边形一边长A3A为弦的勾股形A3AC2。
〔57〕
就是圆内接正48边形的一边长l3。
〔58〕圆内接正96边形的面积
〔59〕考虑以圆内接正48边形一边长之半AC3为勾，边心距OC3为股，圆半径OA为弦的勾股形OAC3。
〔60〕勾AC3之幂。
〔61〕那么股即正48边形的边心距
〔62〕考虑以圆内接正48边形的余径C3A4为勾，其边长AA3之半AC3为股，正96边形一边长A4A为弦的勾股形A4AC3。
〔63〕余径，那么弦，就是圆内接正96边形的一边长l4。
〔64〕圆内接正192边形的面积
〔65〕差幂：谓圆内接正192边形与96边形的面积之差。即
〔66〕以弦乘矢之凡幂：以弦乘矢的总面积。此即96l4r4，其中r4是圆内接正96边形的余径。凡，总共，总计。《史记·陈涉世家》：“陈胜王凡六月。”凡幂，总面积。
〔67〕此即。
〔68〕定率：确定的率。此谓取圆内接正192边形面积的整数部分314寸2作为圆面积的近似值S≈314寸2。
〔69〕“以半径一尺除圆幂”四句：以半径1尺除圆面积，将结果加倍，得到6尺2寸8分，就是圆周长。此借助圆面积公式（1-8-1），由圆面积近似值314寸2反求出圆周长的近似值8分。
〔70〕方幂二百，其中容圆幂一百五十七也：圆的外切正方形与圆的面积之比为
S外:S=200:157。（1-9-1）
〔71〕圆率犹为微少：圆率仍然微少。犹，还，仍。《诗经·卫风·氓》：“士之耽兮，犹可说也。”
〔72〕圆中容方，内方合外方之半：圆内接一个正方形，则圆内接正方形的面积是其外切正方形的，如图1-9。
图1-9 圆与外切大方及内接中方
（采自译注本《九章算术》）
〔73〕圆幂一百五十七，其中容方幂一百：圆与圆内接正方形的面积之比为
S:S内=157:100。（1-9-2）
由（1-9-1）与（1-9-2），得
S外:S:S内=200:157:100。（1-9-3）
〔74〕刘徽用圆直径2尺与圆周长6尺2寸8分相约，得到
这就是徽术或徽率。20世纪70年代末以前，所有著述由于没有认识到刘徽在证明圆面积公式（1-8-1），将求圆周率的程序也搞错了。这些著述皆认为在确定了圆面积的近似值314寸2之后，使用中学数学教科书中的圆面积公式S=πr2。这不仅背离了刘徽注，而且会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误境地。因为刘徽此时并未证明这个圆面积公式，而是在求出圆周率（1-10-1）之后，用它修正了与之相当的圆面积公式，即下文之（1-8-3）。
〔75〕晋武库：刘徽所称“晋武库”是晋朝之武库，还是晋王之武库，学术界有争论。盖魏景元四年（263）司马昭称晋公，旋为晋王。笔者倾向于此为晋王甚或晋公之武库。因为在魏朝，刘徽可以说晋王之武库为“晋武库”。若是晋朝之武库，则刘徽肯定入晋，不当加“晋”字。武库，储藏兵器的仓库。《汉书·毋将隆传》：“武库兵器，天下公用。”从晋武库藏王莽铜斛看，武库不仅藏兵器，还藏国家的重要器物。 王莽铜斛：西汉末年刘歆为王莽制造的标准量器。新始建国元年（9）颁行，合斛、斗、升、合、龠为一器。上部为斛，下部为斗，左耳为升，右耳为合、龠。今藏台北故宫博物院。如图1-10。
图1-10 王莽铜斛
（引自译注本《九章算术》）
〔76〕律嘉量斛：标准量器中的斛器。律，本是用竹管或金属管制成的定音仪器，后引申为标准、法纪，如乐律、历律、格律、律尺、律吕等。嘉量，古代的标准量器。有鬴、豆、升三量。 《周礼·考工记》：“?氏为量……其铭曰：‘时文思索，允臻其极，嘉量既成，以观四国。’”
〔77〕内方尺而圆其外：王莽铜斛的斛量的截面是圆形的，内部的一个边长1尺的正方形，这是虚拟的，实际上并不存在。
〔78〕庣（tiāo）旁：是铜斛的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线不满外圆周的部分。如图1-11。庣，凹下或不满之处。李籍云：“不满之貌也。”王莽铜斛之庣旁与齐量之庣旁恰好相反，在那里是量器的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线超过外圆周的部分，见卷五委粟术刘徽注及图5-46。
图1-11 王莽铜斛之庣旁
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔79〕现存王莽铜斛之斛铭是：“律嘉量斛，内方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”刘徽注所述与此略有不同，而与《隋书·律历志》的记载基本一致。《隋书·律历志》是李淳风撰写的，刘徽所述的斛铭或许经过李淳风等改窜，亦未可知。
〔80〕奇（jī）：奇零。李籍云：“余数也。”假设的正方形边长为1尺，那么铜斛的圆直径为。以徽术计算，底面积为，故云161寸2有奇。
〔81〕觚差幂：两个正多边形面积之差，这里是圆内接正192边形与96边形的面积之差，即。
〔82〕这是说以圆内接正192边形的面积作为增减的基础。以：训“为”。裴学海《古书虚字集释》卷一：“‘以’犹‘为’也。” 消息：谓一消一长。《周易·丰》：“天地盈虚，与时消息。”
〔83〕寸2是如何取得的，学术界有不同看法。笔者认为是估值。盖寸2，而S-S4大约是S5-S4的，即约寸2，如图1-12。为化简方便，取其为寸2。
图1-12 估值
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔84〕此确定圆面积的近似值。
〔85〕此即
S外:S:S内=5 000:3 927:2 500。（1-9-4）
〔86〕此亦借助圆面积公式（1-8-1），由圆面积近似值寸2，反求出圆周长的近似值
〔87〕刘徽用圆直径2尺与圆周长的近似值6尺2寸分相约，得到
这是刘徽求得的第二个圆周率近似值，相当于3.141 6。
〔88〕据严敦杰计算，圆内接正1 536边形的边长忽，正3 072边形的面积寸2。
〔89〕刘徽以寸2作为圆面积的近似值，再利用（1-8-1）式反求出圆周长的近似值，与圆直径2尺相约，重新验证了（1-10-2）式。
〔90〕旧术：指《九章算术》时代的圆周率。
〔91〕如此简单的问题，李淳风等还恐算学馆的学子不懂，可见当时数学水平之低下。以：训“为”。
〔92〕畔：本指田界。《说文解字》：“畔，田界也。”引申为界限，边。规：这里指用圆规画出的圆。
〔93〕将：训“则”。裴学海《古书虚字集释》卷八：“将，犹则也。”《左传·襄公二十九年》：“专责速及，侈将以其力毙。”
〔94〕二法：指刘徽求出的两个圆周率近似值。有的学者根据戴震辑录本认为此当作“一法”，仅指，并将此作为系祖冲之所创的根据，失之。
〔95〕祖冲之（429——500）：南北朝宋、齐数学家、天文学家。字文远。祖籍范阳遒（今河北涞水），父、祖均仕南朝。冲之少稽古，有机思，专攻数术。青年时直华林学省（学术机关），后任南徐州（今江苏镇江）从事史、娄县（今江苏昆山）令。入齐，官至长水校尉。注《九章算术》，撰《缀术》，均亡佚。特善算，推算出圆周率近似值领先世界约千年。制定《大明历》，首先引入岁差，其日月运行周期的数据比以前的历法更为准确。撰《驳议》，不畏权贵，坚持科学真理，反对“虚推古人”。又曾改造指南车、水碓磨、千里船、木牛流马、欹器，解钟律、博、塞，当时独绝。注《周易》、《老子》、《庄子》，释《论语》，亦亡佚。又撰《述异记》，今有辑本。严敦杰撰有《祖冲之科学著作校释》（辽宁教育出版社，2000年；山东科学技术出版社，2017年），校释了现传世的祖冲之的著作及有关祖冲之的史料。 更推其数：重新计算圆周率的数值。《隋书·律历志》（李淳风撰）云：“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”这相当于3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，密率，约率。李淳风等在此将后者称为密率，并显之于徽术之下。
〔96〕攈摭（jùn zhí）：摘取，搜集。《汉书·刑法志》：“三章之法，不足以御奸，于是相国萧何攈摭秦法，取其宜于时者，作律九章。”李籍云：“攈摭，取拾也。”攈，或作捃。是当时还有一“攈”作“捃”的抄本。
〔97〕李淳风等指出祖冲之所求的圆周率比徽率精确，是对的。但对刘徽有微词，则不妥。刘徽在中国数学史上首创求圆周率的科学方法，理论意义与实践意义十分重大。祖冲之的方法已失传，一般认为，他使用的是刘徽的方法。钱宝琮指出：“李淳风等缺乏历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义，徒然暴露了他们自己的无知。”
【译文】
假设有一块圆田，周长30步，直径10步。淳风等按：问题的意思是以周三径一作为率，那么周长30步，直径应当是10步。现在依照密率，直径应当是步。问：田的面积是多少？
答：75步2。用我的方法，此田的面积应当是步2。 淳风等按：依照密率，此田的面积是步2。
又假设有一块圆田，周长181步，直径步。淳风等按：按照周三径一，周长181步，直径应当是步。依照密率，直径为。问：田的面积是多少？
答：11亩步2。用我的方法，此田的面积应当是10亩步2。 淳风等按：依照密率，此田的面积是10亩步2。
术：半周与半径相乘便得到圆面积的积步。按：以圆内接正六边形的周长之半作为长，圆半径作为宽，所以宽、长相乘就成为圆面积的积步。假设圆的直径为2尺，圆内接正六边形的一边与圆半径，其数值相等。这符合周三径一。 又按：作图。以圆内接正6边形的一边乘圆半径，以3乘之，便得到正12边形的面积。如果再分割它，以正12边形的一边乘圆半径，又以6乘之，便得到正24边形的面积。分割得越细，正多边形与圆的面积之差就越小。这样分割了又分割，一直分割到不可再分割的地步，则正多边形就与圆周完全吻合而没有什么差别了。正多边形每边之外，还有余径。以每边长乘余径，加到正多边形上，则其面积就超出了圆弧的表面。如果是其边非常细微的正多边形，因为与圆吻合，那么每边之外就没有余径。每边之外没有余径，则它的面积就不会超出圆弧的表面。以正多边形的每边乘圆半径————将与圆周合体的正多边形从每个角到圆心裁开，分割成无穷多个小等腰三角形。其乘积总是每个小等腰三角形的面积的二倍。所以以圆的周长之半乘半径，就成为圆面积。这里所用的圆周和直径，说的是非常精确的数值，而不是周三径一之率。周3，只符合正6边形的周长，用来推算与圆周多少的差别，就像弓与弦一样。然而世代传袭这一方法，不肯精确地核验；学者跟随古人的脚步，沿袭他们的谬失。没有明晰的证据，辩论这个问题就很困难。凡是事物的形象，不是圆的，就是方的。方率与圆率，如果在切近处确实很明显，那么即使在邈远处也是可以知道的。由此说来，它的应用是非常广博的。我谨借助图形作为验证，提出计算精密圆周率值的方法。我担心凭空设立一种方法数值不清晰而且使人难以通晓，因此把它置于一个法度之中，谨详细地写下这个注释。 割圆内接正6边形为正12边形之术：布置圆直径2尺，取其一半，为1尺，就是圆内接正6边形之一边长。取圆半径1尺作为弦，正6边形边长之半5寸作为勾，求它们的股：以勾方的面积25寸2减弦方的面积，余75寸2。对它作开方除法，求至秒、忽。又再退法，求它的微数。微数中没有名数单位的，就作为分子，以10作为分母，约简成忽。因此得到股是8寸6分6厘2秒忽。以它减圆半径，余1寸3分3厘9毫7秒忽，称作小勾。正6边形边长之半又称作小股。求它们的弦。它的面积是267 949 193 445忽2，舍弃了忽以下剩余的分数。对它作开方除法，就是圆内接正12边形的一边长。 割圆内接正12边形为正24边形之术：也取圆半径作为弦，正12边形边长之一半作为勾，求它们的股。布置上述小弦方的面积，除以4，得66 987 298 361忽2，舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是9寸6分5厘9毫2秒忽。以它减圆半径，余3分4厘7秒忽，称作小勾。正12边形边长之半又称作小股。求它们的小弦。它的面积是68 148 349 466忽2，舍弃了忽以下剩余的分数。对它作开方除法，就是圆内接正24边形的一边长。 割圆内接正24边形为正48边形之术：也取圆半径作为弦，正24边形边长之一半作为勾，求它们的股。布置上述小弦方的面积，除以4，得17 037 087 366忽2，舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是9寸9分1厘4毫4秒忽。以它减圆半径，余8厘5毫5秒忽，称作小勾。正24边形边长之半又称作小股。求它们的小弦。它的面积是17 110 278 813忽2，舍弃了忽以下剩余的分数。对它作开方除法，就是圆内接正48边形的一边长。以圆半径1尺乘之，又以24乘之，得到面积3 139 344 000 000忽2。以10 000 000 000除之，得到面积寸2，就是圆内接正96边形的面积。 割圆内接正48边形为正96边形之术：也取圆半径作为弦，正48边形边长之一半作为勾，求它们的股。布置上述小弦方的面积，除以4，得4 277 569 703忽2，舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是9寸9分7厘8毫5秒忽。以它减圆半径，余2厘1毫4秒忽，称作小勾。正48边形边长之半又称作小股。求它们的小弦。它的面积是4 282 154 012忽2，舍弃了忽以下剩余的分数。对它作开方除法，得小弦6分5厘4毫3秒8忽，舍弃了忽以下剩余的分数，就是圆内接正96边形的一边长。以圆半径1尺乘之，又以48乘之，得到面积3 141 024 000 000忽2。以10 000 000 000除之，得到面积寸2，就是圆内接正192边形的面积。以圆内接正96边形的面积减之，余寸2，称作差幂。将其加倍，为寸2，就是圆内接正96边形之外96块位于圆弧上的田，是以弦乘矢之总面积。将此面积加到正96边形的面积上，得到寸2，则就超出于圆弧的表面了。因而回过头来取圆内接正192边形的面积的整数部分314寸2作为圆面积的定率，而舍弃了寸以下剩余的分数。以圆半径1尺除圆面积，将所得的数加倍，为6尺2寸8分，就是圆周长。使圆的直径自乘，为正方形的面积400寸2，与圆面积相折算，圆面积得157作为率，正方形面积得200作为率。如果正方形面积是200，其内切圆的面积就是157，而圆面积之率仍然稍微小一点。按：弧田图中，使正方形中有内切圆，内切圆中又有内接正方形，内接正方形的面积恰恰是外切正方形的一半。那么，如果圆面积是157，其内接正方形的面积就是100。又使圆直径2尺与圆周长6尺2寸8分相约，圆周得157，直径得50，就是它们的相与之率。而圆周的率仍然稍微小一点。 晋武库中西汉王莽制作的铜斛，其铭文说：律嘉量斛：外面是圆形的，而内部相当于一个有9厘5毫的庣旁而边长为1尺的正方形，面积是162寸2，深是1尺，容积是1 620寸3，容量为10斗。用这种周径之率计算之，得到面积为161寸2，还带有奇零。它们的数值相近，而这样的计算结果稍微小一点。而圆内接正192边形与正96边形的面积差为寸2。以192边形的面积作为求率时增减的基础，应该取寸2，加到正192边形的面积上，作为圆面积，即寸2。布置圆直径自乘的正方形面积400寸2，使之与圆面积通分约简，圆面积得3 927，正方形面积得5 000，这就是方圆之率。如果正方形面积是5 000，其内切圆的面积就是3 927；如果圆面积是3 927，则其内接正方形的面积是2 500。以圆半径1尺除圆面积寸2，将所得的数加倍，为6尺2寸分，就是圆周长。圆直径2尺与圆周长通分相约，直径得1 250，圆周得3 927，就是它们的相与之率。如果取这样的值，大概达到非常精确的地步了。拿来应用，上述方法是简约一些。应当求出圆内接正1 536边形的一边长，得出正3 072边形的面积，裁去其微小的分数，其数值也是这样，再次得到验证。 淳风等按：以旧术解决圆的各种问题，皆以周三径一为率。若用之求圆周长，则圆周小，直径大。用来求正6边形的田地，才与此率相吻合。为什么呢？假设正6边形的田，棱角之间各是1尺，作为边长，那么自然可以知道，从角至角，直径为2尺。这就是周六径二，与周三径一相吻合。我们担心，这仍然使人难以明白，今进一步拿一种物品作为比喻。假设将一种物品刻成三角形，共6枚，每一枚各有三边，每边1尺。把这6个物品集中起来，使它们的尖头都朝里，就成为正6边形的周长，相邻两角间的长度都是1尺。再从棱角的外缘，围绕成圆弧形，则正6边形的直径全都抵达圆弧。而正6边形对边之间的直径短，不能抵达外圆弧。如果以圆直径说来，则应该为圆弧6尺，直径2尺，每边长都是1尺。然而每边的股不能抵达外圆弧，可以知道肯定不足2尺长。所以周三径一之率对圆直径而言就是直径略大而圆周长略小。径一周三，从数理上说并不精密。因为数学方法都要遵从简易的原则，所以略举它的大纲，概略地表示之。刘徽则认为这个率太粗疏，于是就改变它的率。但是圆周长与直径相乘，其数值难以吻合。刘徽尽管提出了这两种方法，终究不能穷尽其纤毫。祖冲之因为他的值不精确，就此重新推求其数值。现在修撰，搜集各家的方法，考察他们的是非，认为祖冲之的值是精密的。因此，将它显扬于刘徽的方法之下，希望读者有所裁断。
又术曰：周、径相乘，四而一〔1〕。此周与上弧同耳。周、径相乘各当以半。而今周、径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也〔2〕。以一百五十七乘径，五十而一，即周也〔3〕。新术径率犹当微少。则据周以求径，则失之长〔4〕；据径以求周，则失之短〔5〕。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多〔6〕。 臣淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径〔7〕；以二十二乘径，七而一，即周〔8〕。依术求之，即得。
【注释】
〔1〕此即圆面积的又一公式
〔2〕此为刘徽修正的由圆周求直径的公式。
〔3〕此为刘徽修正的由圆直径求圆周的公式。
〔4〕此谓的失误在于稍微大了点。
〔5〕此谓的失误在于稍微小了点。
〔6〕此谓稍微小，稍微大。
〔7〕此为李淳风等修正的由圆周求直径的公式。
〔8〕此为李淳风等修正的由圆直径求圆周的公式。
【译文】
又术：圆周与直径相乘，除以4。此处的圆周与上术中的周是相同的。圆周与直径相乘，应当各用它们的一半。而现在圆周与直径两者都是整个的，所以两者的分母相乘为4，回报以除。用我的方法，用50乘圆周，除以157，就是直径；用157乘直径，除以50，就是圆周。新的方法中，直径的率还应当再稍微小一点。那么，根据圆周来求直径，则产生的失误在于长了；根据直径来求圆周，则产生的失误在于短了。至于根据已给的直径来求圆面积，那么产生的失误都在于稍微小了一点；根据已给的圆周来求圆面积，那么产生的失误都在于稍微大了一点。 淳风等按：依照密率，用7乘圆周，除以22，就是直径；用22乘直径，除以7，就是圆周。用这种方法求，就得到了。
又术曰：径自相乘，三之，四而一〔1〕。按：圆径自乘为外方〔2〕。“三之，四而一”者，是为圆居外方四分之三也〔3〕。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也〔4〕。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一〔5〕。 臣淳风等谨按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也〔6〕。
【注释】
〔1〕此即圆面积的第三个公式
〔2〕外方：即圆的外切正方形。它的面积是d2。
〔3〕这是说，圆面积是其外切正方形面积的。
〔4〕此谓以圆内接正12边形的面积为圆面积，用出入相补原理推证圆田又术。如图1-13，将图1-13（1）中的圆内接正12边形分割成Ⅰ——Ⅸ，1——9等18份，移到图1-13（2）中的Ⅰ′——Ⅸ′，1′——9′上，恰占满该正方形的。这是刘徽采前人之说记入注中。
图1-13 圆田第三术的推导
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔5〕此为刘徽修正的公式
〔6〕此为李淳风等修正的公式
【译文】
又术：圆直径自乘，乘以3，除以4。按：圆的直径自乘为它的外切正方形。“乘以3，除以4”，这是因为圆占据外切正方形的。若令圆内接正6边形的一边长乘圆半径，其面积就是外切正方形的。乘以3，就占据外切正方形的，这就成为圆内接正12边形的面积。取它作为圆，产生的失误在于小了一点。用我的方法，应该使圆直径自乘，又乘以157，除以200。 淳风等按：依照密率，使圆直径自乘，乘以11，除以14，就是圆面积。
又术曰：周自相乘，十二而一〔1〕。六觚之周，其于圆径，三与一也〔2〕。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方〔3〕，九方凡为十二觚者十有二〔4〕，故曰十二而一，即十二觚之幂也〔5〕。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已〔6〕。然则十二而一，所得又非十二觚之类也〔7〕。若欲以为圆幂，失之于多矣〔8〕。以六觚之周，十二而一可也〔9〕。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂〔10〕。其率：二十五者，圆幂也；三百一十四者，周自乘之幂也〔11〕。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率〔12〕。 臣淳风等谨按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一〔13〕。
【注释】
〔1〕此即圆面积的第四个公式
〔2〕三与一：3与1之率。此谓圆内接正六边形的周长是圆直径的3倍。
〔3〕如图1-14，以圆直径自乘形成一个正方形（含有4个以半径为边长的小正方形），而以圆内接正六边形的边长自乘形成一个大正方形，含有9个以直径为边长的正方形。
图1-14 圆田第四术的推导
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔4〕这里仍以圆内接正12边形的面积代替圆面积，由图1-13，圆内接正12边形的面积是圆直径形成的正方形的，因此圆内接正六边形的周长形成的大正方形有12个圆内接正12边形。
〔5〕此谓1个正12边形的面积恰为大正方形的。这也是刘徽采前人用出入相补原理推证圆田又术（1-8-4）的方法记入注中。
〔6〕此谓以圆周形成的正方形不只9个圆直径形成的正方形，换言之，不只12个圆内接正12边形的面积。 非但：不仅，不只。 若：乃，就。
〔7〕此谓不是圆内接正12边形的面积。
〔8〕此谓如果以作为圆面积，失误在于多了一点。
〔9〕此谓圆内接正六边形周长形成的正方形的面积，除以12，是圆内接正12边形的面积，是可以的。
〔10〕此为刘徽的修正公式
〔11〕此谓L2:S=314:25。
〔12〕以上的率这样得到：L2=（628分）2=394384分2，S=314寸2=31 400分2。两者有等数1 256，以其约简即可。
〔13〕此为李淳风等的修正公式
【译文】
又术：圆周自乘，除以12。圆内接正6边形的周长对于圆的直径是3比1。因此，正6边形的周自乘形成的面积，相当于9个圆直径自乘所形成的正方形。这9个正方形总共形成12个正12边形，所以说除以12，就是正12边形的面积。现在使圆周自乘，那就不只是9个圆直径自乘所形成的正方形。那么，除以12，更不是正12边形之类。如果想把它作为圆面积，产生的失误就在于多了一点。用正6边形的周长作正方形，除以12，作为正12边形的面积是可以的。用我的新方法，径直使圆周自乘，又乘以25，除以314，就得到圆面积。其中的率：25是圆面积的，314是圆周自乘的面积的。布置圆周数6尺2寸8分，使自乘，得到面积394 384分2。又布置圆面积31 400分2，都以1 256约简，就得到这个率。 淳风等按：边长自乘就得到它的面积。用圆周求它的面积，借助于率就会通达。但是这一方法中所求的却是用周三径一作为率。正确的圆田面积方法是半圆周与半径相乘。现在却是整个圆周自乘，所以须以12作为分母。为什么呢？根据整个圆周而求半圆周，则必须以2作为法。根据整个圆周而求它的半径，应再除以6。这就是用2与6相乘，去除圆周自乘之数。依照密率，乘以7，除以88。
今有宛田〔1〕，下周三十步，径十六步。问：为田几何？
荅曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问：为田几何？
荅曰：五亩六十二步四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一〔2〕。此术不验〔3〕。故推方锥以见其形〔4〕。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为句。正面邪为弦〔5〕，弦五尺也。令句、弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂〔6〕。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也〔7〕。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦方锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣〔8〕。然其术难用，故略举大较〔9〕，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备〔10〕，可以验此。
【注释】
〔1〕宛田：是类似于球冠的曲面形。其径指宛田表面上穿过顶心的大弧，如图1-15。李籍云：“宛田者，中央隆高。《尔雅》曰：‘宛中宛丘。’又曰：‘丘上有丘为宛丘。’皆中央隆高之义也。”亦有人根据所设的两个例题的数值，计算出若为球冠，必为优球冠，而世间不可能有此类田地，从而认为宛田不是球冠形，而是优扇形。今按：《九章算术》的例题只是说明其术文的应用，并不是都来源于人们的生产生活实践。元朱世杰《四元玉鉴·混积问元门》的畹田有图示，正是球冠形。
图1-15 宛田
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕此是《九章算术》提出的宛田面积公式
其中S，L，D为宛田的面积、下周和径。
〔3〕刘徽指出，《九章算术》宛田术是错误的。
〔4〕此谓通过计算方锥的体积以显现《九章算术》宛田术不正确。推：计算。 见（xiàn）：显现。
〔5〕刘徽考虑以方锥下方之半为勾，方锥高为股，正面邪为弦构成的勾股形。 正面邪：即方锥侧面上的高。
〔6〕方锥四面见者之幂：即“方锥见幂”，也就是方锥的表面积（不计底面）。
〔7〕圆锥见幂：即圆锥的表面积（不计底面）。此即刘徽提出的重要原理S方锥:S圆锥=4:π，其中S方锥、S圆锥分别是方锥、圆锥的见幂。如图1-16。
图1-16 圆锥与方锥见幂
（采自译注本《九章算术》）
〔8〕刘徽指出《九章算术》宛田术“不验”是对的，然而此处的论证并不充分。《九章算术》提出的宛田术是，刘徽提出的圆锥见幂公式是，其中d为圆锥两母线之和，两者取同一形式。但由于D＞d，当然有，因而无法由两者同术而证明比真值小。刘徽在此混淆了D与d，犯了反驳中混淆概念的失误。这是刘徽极为罕见的失误。
〔9〕大较：大略，大致。《史记·货殖列传》：“夫山西饶材、竹、榖、、旄、玉石，山东多鱼、盐、漆、丝、声色，江南出楠、梓……此其大较也。”
〔10〕开立圆术：见卷四。
【译文】
假设有一块宛田，下周长30步，穹径16步。问：田的面积是多少？
答：120步2。
又假设有一块宛田，下周长99步，穹径51步。问：田的面积是多少？
答：5亩步2。
术：以穹径乘下周，除以4。这一方法不正确。特地用方锥进行推算，以显现这一问题的真相。假令方锥底面是6尺见方，高是4尺。把4尺作为股，底边长的一半3尺作为勾，那么侧面上的高就是弦，弦是5尺。使勾与弦相乘，乘以4，得60尺2，就是方锥四个侧面所显现的面积。如果使其中内切一个圆锥，那么圆锥所显现的面积与方锥所显现的面积，其率如同正方形的面积之对于内切圆的面积。按：方锥底边6尺，那么底的周长是24尺，乘以5，取其一半，那么也是方锥所显现的面积。所以求圆锥的数值，将穹径折半，乘以底周长的一半，就是圆锥的面积。现在宛田的上径是一段圆弧，而与圆锥用同一种方法，则产生的面积误差在于过小。然而这一方法难以处置，因此粗略地举出其大概，应用于大的田地。求圆锥的面积，如同求圆田的面积。现在用两个整体相乘，因此以4作为法除之，也像圆田那样。开立圆术注解释圆方诸率非常详细，可以检验这里的方法。
今有弧田〔1〕，弦三十步，矢十五步。问：为田几何？
荅曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。
问：为田几何？
荅曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一〔2〕。方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱、青合外方四分之一也〔3〕。弧田，半圆之幂也〔4〕，故依半圆之体而为之术〔5〕。以弦乘矢而半之则为黄幂〔6〕，矢自乘而半之为二青幂〔7〕。青、黄相连为弧体〔8〕。弧体法当应规〔9〕。今觚面不至外畔〔10〕，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也。与此相似，指验半圆之弧耳。若不满半圆者，益复疏阔。 宜依句股锯圆材之术〔11〕，以弧弦为锯道长，以矢为句深〔12〕，而求其径〔13〕。既知圆径，则弧可割分也〔14〕。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也〔15〕。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股〔16〕，以减半径，其余即小弦之矢也〔17〕。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣〔18〕。然于算数差繁〔19〕，必欲有所寻究也〔20〕。若但度田，取其大数，旧术为约耳〔21〕。
【注释】
〔1〕弧田：即今之弓形，如图1-17。李籍云：“弧田者，有弧有矢，如弧之形。”
图1-17 弧田
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕设S，c，v分别是弓形的面积、弦和矢，此即弓形面积公式
〔3〕刘徽以半圆作为弧田以论证《九章算术》弧田术之不准确。如图1-18（1）。“中方”是圆内接正方形，其面积是外方之半。两朱幂、两青幂是圆内接正12边形减去中方所剩余的部分，如图1-18（2）。两青幂分别是ABCD和ALKJ，两朱幂分别是DEFG和GHIJ。将青幂ALKJ中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别移到AMDCB的Ⅰ′，Ⅱ′，Ⅲ′上，便知一个青幂为外方的。朱幂亦然。两朱幂与两青幂的总面积是外方的。
图1-18 刘徽证明弧田术之不准确
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕“弧田”二句：弧田可以是半圆之幂。
〔5〕故依半圆之体而为之木：故以半圆为例论证《九章算术》弧田术之不准确。
〔6〕以弦乘矢而半之则为黄幂：黄幂是弦矢相乘之半即勾股形ADJ。
〔7〕矢自乘而半之为两青幂：即勾股形AMD，亦即ABCD与ALKJ之和。
〔8〕青、黄相连为弧体：二青幂与黄幂形成所设的弧体，亦即半圆ABCDJKL，其结构应如图1-18（2）。
〔9〕弧体法当应规：此谓弧田的弧应与圆弧重合。
〔10〕觚面不至外畔：这是说，如此算出的面积是圆内接正12边形的一半，达不到外面的圆弧。
〔11〕如图1-19。已知弧田之弦AB，记为c，及弧田之矢A1D，记为v，勾股锯圆材之术见卷九。
图1-19 弧田密率
〔12〕弦AB相当于锯道长，矢A1D就是锯道深。
〔13〕依据勾股章勾股锯圆材之法，那么弧田所在的圆直径为。
〔14〕这是将弧田分割成以弦AB为底的等腰三角形A1AB，以及分别以AA1，A1B为弦的两个小弧田。将小弧田AA2A1再分割成小等腰三角形A2AA1，以及分别以AA2，A2A1为弦的两个更小弧田。对小弧田BA′2A1亦可分割成小等腰三角形A′2BA1，以及分别以A1A′2，A′2B为弦的两个更小弧田。如此可以继续下去。
〔15〕考虑勾股形AA1D，由勾股术，小弧之弦为。
〔16〕由勾股形OA1D1，求出。
〔17〕小弦之矢即小弧之矢。
〔18〕上述的分割过程可以无限继续下去，依次求出，i=1，2，3，…n。显然，当n足够大时，k=1就相当准确，故云“必近密率矣”。显然，这里不是一个极限过程，而是极限思想在近似计算中的应用。
〔19〕差（cī）繁：繁杂。差，不整齐，参差。
〔20〕刘徽的意思是，有所寻究，才这样做。这种“寻究”无疑是数学家的数学研究，具有纯数学的性质。 寻究：查考，研求。
〔21〕约：简约。刘徽认为，如果实际应用，还是用旧的方法。显然，在刘徽的头脑中有明确的纯数学研究与数学的实际应用的区分。
【译文】
假设有一块弧田，弦是30步，矢是15步。问：田的面积是多少？
答：1亩步2。
又假设有一块弧田，弦是步，矢是步。问：田的面积是多少？
答：2亩步2。
术：以弦乘矢，矢又自乘，两者相加，除以2。正方形中有一个内切圆，圆中的内接正12边形的面积等于外切正方形面积的。中间的正方形的面积等于外正方形的一半，那么朱青的面积等于外正方形的。这里的弧田是半圆的面积，因此就依照半圆的图形而考察该术。以弦乘矢，取其一半，作为黄色的面积；矢自乘，取其一半，是二青色的面积。如果青色的与黄色的面积连在一起成为弧体，那么弧体在道理上应当与圆弧相吻合。但现在这个多边形的边达不到圆弧的外周，产生的失误在于小了。旧的圆田面积的方法以周三径一为率，都是得到圆内接正12边形的面积，产生的失误也在于太小了，与此相同。这里只考察了半圆形弧田，如果不是半圆形弧田，这种方法更加疏漏。 应当按照勾股章勾股锯圆材之术，把弧田的弦作为锯道长，把矢作为锯道深，而求弧田所在圆的直径。既然知道了圆的直径，那么弧田就可以被分割。如果分割它的话，以弧田弦的一半作为股，它的矢作为勾，求它的弦，就是小弧的弦。以小弧弦的一半作为勾，圆半径作为弦，求它的股。以股减半径，其剩余就是小弦的矢。对弧分割了再分割，使至极细。只要全部列出弦与矢相乘的数值，将它们相加，则必定会接近密率。然而这种方法的算数非常繁杂，必定要有所研求才这样做。如果只是度量田地，取它大概的数值，那么旧的方法还是简约的。
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步〔1〕。此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也〔2〕。 臣淳风等谨按：依密率，合径四步二十二分步之十七〔3〕。问：为田几何？
荅曰：二亩五十五步。于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三〔4〕。 臣淳风等依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五〔5〕。
又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。此田环而不通匝〔6〕，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一〔7〕。 臣淳风等谨按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一〔8〕。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三〔9〕。问：为田几何？
荅曰：四亩一百五十六步四分步之一。于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也〔10〕。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五〔11〕。 臣淳风等谨按密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也〔12〕。
术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步〔13〕。此田截而中之周则为长。并而半之知〔14〕，亦以盈补虚也〔15〕。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也〔16〕。
密率术曰〔17〕：置中、外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为密实。分母相乘为法。除之为积步，余，积步之分。以亩法除之，即亩数也〔18〕。按：此术，并中、外周步数于上，分母、子于下。母互乘子者，为中、外周俱有分，故以互乘齐其子。母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。“半之”知〔19〕，以盈补虚，得中平之周。〔20〕周则为从，径则为广，故广、从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。
【注释】
〔1〕环田：即今之圆环，如图1-20（1）。李籍云：“环田者，有肉有好，如环之形。《尔雅》曰：‘肉好若一，谓之环。’或作镮。”知当时还有一抄本作“镮田”。 中周：即圆环的内圆之周。 外周：即圆环的外圆之周。 径：即中外周之间的距离。
图1-20 圆环
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕记圆环之径为d，构成圆环的内圆的周长和半径分别是L1，r1，外圆的周长和半径分别是L2，r2。则刘徽求出圆环之径
〔3〕李淳风等求出圆环之径。
〔4〕刘徽求得面积。
〔5〕李淳风等求得面积。
〔6〕此问之环田为大约240°的环缺，如图1-20（2），故刘徽说“此田环而不通匝”。 匝：周。环绕一周曰一匝。《史记·高祖本纪》：“围宛城三匝。”
〔7〕不知为什么，刘徽和李淳风等都将其看成“通匝”的圆环进行计算。刘徽的计算应是
〔8〕李淳风等依周3径1的计算是
由下文刘徽计算了按周3径1的面积，刘徽应按周3径1计算过直径。
〔9〕李淳风等依密率的计算是
〔10〕刘徽依环田密率术的计算是
〔11〕刘徽依周3径1之率的计算是
〔12〕李淳风等依环田密率术的计算是
〔13〕此即圆环面积公式
〔14〕知：训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔15〕此处“以盈补虚”是将圆环沿环径剪开，展成等腰梯形，如图1-21。然后如梯形（箕田）那样出入相补。
图1-21 环田展为梯形
（采自沈康身《九章算术导读》）
〔16〕这是刘徽提出的圆环的另一面积公式
其中S1，S2分别是构成圆环的内圆和外圆的面积。
〔17〕此术是针对各项数值都带有分数的情形而设的，比关于整数的上术精密，故称“密率术”。
〔18〕用现代符号写出，此术亦是（1-15）式。
〔19〕知：训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔20〕中平之周：中周与外周长的平均值。中平，平均。
【译文】
假设有一块环田，中周长92步，外周长122步，环径5步。这里想与周三径一之率相应，所以说环径5步。根据中、外周，用我的方法处理它，环径应当是步。 淳风等按：依照密率，环径是步。问：田的面积是多少？
答：2亩55步2。用我的方法，田的面积应当是2亩步2。 淳风等按：依照密率，田的面积是2亩步2。
又假设有一块环田，中周长是步，外周长是步，环径是步。这块田是环形的但不满一周，所以环径为步。如果根据上述周长求环径，这一环径的误差在于太大，超过了周三径一之率，很粗疏。用我的方法，环径应当是步。 淳风等按：依照周三径一之率考察之，环径是步。依照密率，环径是步。问：田的面积是多少？
答：4亩步2。用我的方法，田的面积应当是2亩步2。依周三径一之率，田的面积是3亩步2。 淳风等按：依照密率，田的面积是2亩步2。
术：中外周长相加，取其一半，乘以环径长，就是积步。这块田被截割而得到的中平之周，就作为长。“中外周长相加，取其一半”，也是以盈补虚。这里也可以使中、外周各自构成圆田，以中周减外周，由其余数就得到环田的面积。
密率术：布置中、外周长的步数，分子、分母各置于下方，分母互乘分子，将整数部分通分，纳入分子。以中周减外周，取其余数的一半，增益到中周上。对环径亦通分，纳入分子。以它乘周长，作为密实。周、径的分母相乘，作为法。实除以法，就是积步；余数是积步中的分数。以亩法除之，就是亩数。按：在此术中，将中、外周长步数相加，置于上方，分子、分母置于下方。“分母互乘分子”，是因为中、外周长都有分数，所以通过互乘使它们的分子相齐。分母相乘，是使它们的分母相同。分子相齐，分母相同，所以可以将步数的整数部分通分，纳入分子。取中、外周长之和的一半，这是为了以盈补虚，得中平之周。中平之周就是纵，环径就是广，所以广纵相乘就得到它们的积。既然分子中融合了分母，还需把分母分离出去，所以要使周、径的分母相乘而合起来除，就得到积步。如不尽，就用等数约之，命名一个分数。以亩数除积步，便得到亩数。